Probabilidade e Estatistica, Notas de estudo de Cultura

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Notas de apoio da disciplina de

Probabilidades e Estat´ıstica

(Licenciaturas e Mestrados Integrados em Engenharia)

Manuel Cabral Morais

Lisboa, 11 de Setembro de 2010

´Indice

• 1 Nota introdut´oria - licenciaturas e mestrados integrados em Engenharia 1.1 Enquadramento da disciplina de Probabilidades e Estat´ıstica nas
  • 1.2 Objectivos operacionais
• 2 No¸c˜oes b´asicas de probabilidade
  • 2.1 Experiˆencias aleat´orias. Espa¸co de resultados. Acontecimentos.
    • subjectivista. Axiomas e teoremas decorrentes. 2.2 No¸c˜ao de probabilidade. Interpreta¸c˜oes de Laplace, frequencista e
  • 2.3 Probabilidade condicionada.
    • Bayes. 2.4 Leis das probabilidades compostas e da probabilidade total. Teorema de
  • 2.5 Acontecimentos independentes.
• 3 Vari´aveis aleat´orias e distribui¸c˜oes discretas
  • 3.1 Vari´aveis aleat´orias discretas.
  • 3.2 Fun¸c˜ao de probabilidade.
  • 3.3 Fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao.
  • 3.4 Valor esperado, variˆancia e algumas das suas propriedades. Moda e quantis.
  • 3.5 Distribui¸c˜ao uniforme discreta.
  • 3.6 Distribui¸c˜ao binomial.
  • 3.7 Distribui¸c˜ao geom´etrica.
  • 3.8 Distribui¸c˜ao hipergeom´etrica.
  • 3.9 Distribui¸c˜ao de Poisson.
  • 3.10 Algumas notas sobre an´alise combinat´oria
• 4 Vari´aveis aleat´orias e distribui¸c˜oes cont´ınuas
  • 4.1 Vari´aveis aleat´orias cont´ınuas.
  • 4.2 Fun¸c˜ao de densidade de probabilidade.
  • 4.3 Fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao.
  • 4.4 Valor esperado, variˆancia e algumas das suas propriedades. Moda e quantis.
  • 4.5 Distribui¸c˜ao uniforme cont´ınua.
  • 4.6 Distribui¸c˜ao normal.
  • 4.7 Distribui¸c˜ao exponencial.
• 5 Distribui¸c˜oes conjuntas de probabilidade e complementos - condicionais. Independˆencia. 5.1 Duas vari´aveis aleat´orias discretas. Distribui¸c˜oes conjuntas, marginais e - condicionais. Independˆencia. 5.2 Duas vari´aveis aleat´orias cont´ınuas. Distribui¸c˜oes conjuntas, marginais e
  • 5.3 Covariˆancia e correla¸c˜ao. Propriedades.
  • 5.4 Combina¸c˜oes lineares de vari´aveis aleat´orias.
  • 5.5 Desigualdade de Chebychev.
  • 5.6 Teorema do Limite Central. Aplica¸c˜oes `as distribui¸c˜oes binomial e de Poisson.
• 6 Estima¸c˜ao pontual
  • 6.1 Inferˆencia Estat´ıstica. Amostragem aleat´oria.
  • 6.2 Estimadores e suas propriedades.
  • 6.3 M´etodo da m´axima verosimilhan¸ca.
  • 6.4 Distribui¸c˜oes amostrais.
  • 6.5 Distribui¸c˜oes amostrais de m´edias.
• 7 Estima¸c˜ao por intervalos
  • 7.1 No¸c˜oes b´asicas.
  • 7.2 Intervalos de confian¸ca para o valor esperado, variˆancia conhecida.
    • variˆancias conhecidas. 7.3 Intervalos de confian¸ca para a diferen¸ca de dois valores esperados,
  • 7.4 Intervalos de confian¸ca para o valor esperado, variˆancia desconhecida.
    • variˆancias desconhecidas. 7.5 Intervalos de confian¸ca para a diferen¸ca de dois valores esperados,
  • 7.6 Intervalo de confian¸ca para a variˆancia de uma popula¸c˜ao normal.
    • uniparam´etricas 7.7 Intervalos de confian¸ca para parˆametros de popula¸c˜oes n˜ao normais
• 8 Testes de hip´oteses
  • 8.1 No¸c˜oes b´asicas
  • 8.2 Testes de hip´oteses para o valor esperado, variˆancia conhecida.
    • conhecidas. 8.3 Testes de hip´oteses sobre a igualdade de dois valores esperados, variˆancias
  • 8.4 Fun¸c˜ao potˆencia de um teste
  • 8.5 Testes de hip´oteses para o valor esperado, variˆancia desconhecida.
  • 8.6 Um m´etodo alternativo de decis˜ao em testes de hip´oteses: c´alculo do p-value
    • popula¸c˜oes, variˆancias desconhecidas. 8.7 Testes de hip´oteses sobre a igualdade de valores esperados de duas
  • 8.8 Testes de hip´oteses para a variˆancia de uma popula¸c˜ao normal.
    • intervalos de confian¸ca e testes bilaterais. 8.9 Outro m´etodo alternativo de decis˜ao em testes de hip´oteses: rela¸c˜ao entre
    • uniparam´etricas. 8.10 Testes de hip´oteses para parˆametros de popula¸c˜oes n˜ao normais
  • 8.11 Teste de ajustamento do qui-quadrado de Pearson.
    • 8.11.1 Ajustamento de uma distribui¸c˜ao discreta
    • 8.11.2 Ajustamento de uma fam´ılia de distribui¸c˜oes discretas
    • 8.11.3 Agrupamento de classes
    • 8.11.4 Dados cont´ınuos — hip´otese simples/composta
    • 8.11.5 Classes equiprov´aveis e dados cont´ınuos
    • contingˆencia. 8.12 Teste de independˆencia do qui-quadrado de Pearson em tabelas de
• 9 Introdu¸c˜ao `a regress˜ao linear simples
  • 9.1 Modelos de regress˜ao.
    • linear simples. 9.2 M´etodos dos m´ınimos quadrados e da m´axima verosimilhan¸ca em regress˜ao
    • 9.2.1 Estima¸c˜ao de β 0 e β 1 — m´etodo dos m´ınimos quadrados
    • 9.2.2 Estima¸c˜ao de β 0 e β 1 — m´etodo da MV
    • 9.2.3 Recta de regress˜ao
    • variˆancia. 9.3 Propriedades dos estimadores dos m´ınimos quadrados e estima¸c˜ao da
  • 9.4 Alguns abusos do modelo de regress˜ao.
  • 9.5 Intervalos de confian¸ca para β 0 , β 1 e para o valor esperado da resposta.
  • 9.6 Testes de hip´oteses sobre β 0 , β 1 e o valor esperado da resposta.

9.7 Coeficiente de determina¸c˜ao e an´alise de res´ıduos na avalia¸c˜ao do modelo. 345

Referˆencias e formul´ario 354

i

transcendentes elementares, s´eries num´ericas;

• diferenciabilidade, derivadas parciais, estudo de extremos, integrais duplos.

Com efeito estabelece-se como desej´avel que as/os alunas/os tenham obtido aprova¸c˜ao as disciplinas de C´alculo Diferencial e Integral I e II de cujos programas se plasmaram os dois blocos de t´opicos listados acima.^1 Posto isto, o facto de a disciplina poder ser introduzida no primeiro semestre do segundo ano de algumas licenciaturas e de as/os alunas/os poderem ainda n˜ao ter obtido aprova¸c˜aoa disciplina de C´alculo Diferencial e Integral II requer alguns cuidados especiais na lecciona¸c˜ao de alguns t´opicos, nomeadamente pares aleat´orios cont´ınuos.

Importa referir que a disciplina de Probabilidades e Estat´ıstica ´e a primeira e ´ultima disciplina da ´area leccionada pela Sec¸c˜ao de Probabilidades e Estat´ıstica em licenciaturas e mestrados integrados em Engenharia do IST, salvo rar´ıssimas excep¸c˜oes. Realce-se que a disciplina de Probabilidades e Estat´ıstica e os conceitos nela apreendidos abrem, no entanto, as portas a outras disciplinas que surgem posteriormente no plano curricular das licenciaturas e mestrados integrados do IST e que podem ter car´acter complementar na ´area de Probabilidades e Estat´ıstica ou estarem directamente ligadas a aplica¸c˜oes espec´ıficas em Engenharia. A t´ıtulo meramente exemplificativo ocorre nomear

• uma disciplina cujo programa assenta em ´area de An´alise Multivariada,
• outras duas mais especializadas e de cujos programas constam cadeias de Markov e simula¸c˜ao estoc´astica e de Monte Carlo, num dos casos, processos estoc´asticos, probabilidades de erro e canais gaussianos, noutro caso.

S˜ao elas as disciplinas de:

• An´alise de Dados e Avalia¸c˜ao da ´area de especializa¸c˜ao em Transportes, Sistemas e Infra-Estruturas do Mestrado Integrado em Engenharia Civil (5o. ano, 1o. semestre);
• Modela¸c˜ao e Simula¸c˜ao e Fundamentos de Telecomunica¸c˜oes, ambas do Mestrado Integrado em Eng. Electrot´ecnica e de Computadores (3o. ano, 2o. semestre).

(^1) Estes t´opicos s˜ao aqui mencionados pela ordem em surgem naqueles programas e n˜ao pela ordem em que s˜ao necess´arios na disciplina de Probabilidades e Estat´ıstica.

1.2 Objectivos operacionais

A disciplina de Probabilidades e Estat´ıstica tem por objectivo a inicia¸c˜ao ao estudo da teoria das probabilidades e inferˆencia estat´ıstica, tendo em vista a compreens˜ao e aplica¸c˜ao dos seus principais conceitos e m´etodos.^2 Ap´os a aprova¸c˜ao `a disciplina as/os alunas/os devem ser capazes de:

• identificar eventos e calcular as respectivas probabilidades por recurso a resultados como as leis da probabilidade composta e da probabilidade total e o teorema de Bayes; averiguar a (in)dependˆencia de eventos;
• destrin¸car as vari´aveis aleat´orias das cont´ınuas; identificar as diversas distribui¸c˜oes discretas e cont´ınuas e as circunstˆancias em que devem ser usadas; calcular probabilidades de eventos e momentos que lhes digam respeito; averiguar a (in)dependˆencia de vari´aveis aleat´orias e avaliar a associa¸c˜ao entre elas;
• identificar as distribui¸c˜oes exactas ou aproximadas de combina¸c˜oes lineares de vari´aveis aleat´orias, tirando partido das propriedades de fecho de algumas fam´ılias de distribui¸c˜oes e do teorema do limite central;
• obter estimadores de parˆametros desconhecidos pelo m´etodo da m´axima verosimilhan¸ca e avaliar as suas propriedades; obter uma vari´avel fulcral para um parˆametro desconhecido, como o valor esperado, e a partir dela uma estat´ıstica de teste sobre esse mesmo parˆametro nos mais variados contextos distribucionais;
• construir um intervalo de confian¸ca e efectuar testes de hip´oteses sobre um parˆametro desconhecido em diversas situa¸c˜oes distribuicionais; averiguar a adequa¸c˜ao de uma distribui¸c˜ao ou de uma fam´ılia de distribui¸c˜oes a um conjunto de dados; efectuar testes de hip´oteses, recorrendo ao procedimento geral ou, em alternativa, por recurso ao p-value;
• estimar os diversos parˆametros desconhecidos do modelo de regress˜ao linear simples; obter intervalos de confian¸ca e efectuar testes de hip´oteses sobre tais parˆametros; avaliar a qualidade do ajustamento da recta de regress˜ao ao conjunto de dados.

De modo a atingir plenamente estes objectivos operacionais parece-nos essencial que a estrutura de apresenta¸c˜ao dos cap´ıtulos destas notas de apoio respeite a filosofia aprender (^2) Ver, por exemplo, o link da disciplina de Probabilidades e Estat´ıstica no plano curricular do Mestrado integrado em Eng. Electrot´ecnica e de Computadores.

Exemplo 1.2 — Duas vari´aveis aleat´orias discretas Um computador possui um n´umero elevado de componentes de um mesmo tipo que falham de modo independente. O n´umero de componentes desse tipo que falham por mˆes ´e uma vari´avel aleat´oria com distribui¸c˜ao de Poisson com variˆancia igual a um. Admita que o computador s´o falha se pelo menos doze dessas componentes falharem. Calcule a probabilidade de o computador n˜ao ter falhado ao fim de um ano.

• Vari´avel aleat´oria X 1 = n´umero de componentes que falham em um mˆes
• Distribui¸c˜ao de X 1 X 1 ∼ Poisson(λ)
• Parˆametro

λ : V (X) = 1 λ = 1

• Nova vari´avel aleat´oria X 12 = n´umero de componentes que falham num ano (12 meses)
• Distribui¸c˜ao de X 12 Tirando partido do facto de as componentes falharem de modo independente e recorrendo `a propriedade reprodutiva da distribui¸c˜ao de Poisson, pode concluir-se que: X 12 ∼ Poisson(λ 12 = 12 × λ = 12)
• Fun¸c˜ao de probabilidade de X 12

P (X 12 = x) = e

− 1212 x x! , x^ = 0,^1 ,^2 ,...

• Probabilidade pedida

P (comp. n˜ao falhar num ano) = P (X 12 ≤ 11) = FP oisson(12)(11) tabela ' 0. 4616.

Exemplo 1.3 — Duas vari´aveis aleat´orias cont´ınuas A resistˆencia el´ectrica^3 (X) de um objecto e a sua condutˆancia el´ectrica^4 (Y ) est˜ao relacionadas do seguinte modo: Y = X−^1. Assuma que

P (X ≤ x) =

  

0 , x < 900 x− 200900 , 900 ≤ x ≤ 1100 1 , x > 1100

e determine a probabilidade de a condutˆancia el´ectrica exceder 10−^3 mho.

• Vari´avel aleat´oria X = resistˆencia el´ectrica
• Nova vari´avel aleat´oria Y = X−^1 = condutˆancia el´ectrica
• Probabilidade pedida

P (Y > 10 −^3 mho) = P

X >^10

− 3

)

= P

( X < 103

)

= 1000 −^900

Importa fazer um reparo sobre a resolu¸c˜ao dos exemplos/exerc´ıcios das notas de apoio. Ela ´e apresentada em pequenas sec¸c˜oes com cabe¸calho logo tem um car´acter aparentemente repetitivo que se tem revelado, por sinal, ´util para que as/os alunas/os aprendam a estruturar devidamente a resolu¸c˜ao de qualquer exerc´ıcio da disciplina de Probabilidades e Estat´ıstica. (^3) A resistˆencia el´ectrica ´e a capacidade de um corpo qualquer se opor `a passagem de corrente el´etrica pelo mesmo; de acordo com o Sistema Internacional de Unidades (SI), a resistˆencia el´ectrica ´e medida em ohm (http://pt.wikipedia.org/wiki/Resistˆencia el´etrica). (^4) A condutˆancia el´ectrica mede a facilidade com que a corrente el´ectrica flui atrav´es de uma componente el´ectrica, logo trata-se do rec´ıproco da resistˆencia el´ectrica; de acordo com o SI, a condutˆancia el´ectrica ´e medida em siemens ou mho (http://pt.wikipedia.org/wiki/Condutˆancia el´etrica).

Cap´ıtulo 2

No¸c˜oes b´asicas de probabilidade

Palavras como

• prov´avel (provavelmente)
• probabilidade
• acaso
• sorte

pertencem ao vocabul´ario corrente e s˜ao utilizadas com extrema frequˆencia por todos, em parte por termos a convic¸c˜ao de que a natureza ´e mut´avel e incerta, de que o futuro encerra em si in´umeras possibilidades e de que o acaso governa o mundo. Na formaliza¸c˜ao matem´atica actual, a probabilidade ´e um termo medindo o grau de possibilidade ou de credibilidade de ocorrˆencia de um acontecimento.

2.1 Experiˆencias aleat´orias. Espa¸co de resultados.

Acontecimentos.

A formaliza¸c˜ao moderna de Probabilidade assenta nas noc˜oes de

• experiˆencia aleat´oria e seus poss´ıveis resultados e de
• acontecimento.

Defini¸c˜ao 2.1 — Experiˆencia aleat´oria (E.A.) Experiˆencia cujo resultado exacto n˜ao pode ser predito antes da realiza¸c˜ao da mesma devido `a interven¸c˜ao do acaso. •

Nota 2.2 — Experiˆencia aleat´oria No caso de a experiˆencia aleat´oria poder ser repetida um grande n´umero de vezes, em condi¸c˜oes mais ou menos semelhantes, os resultados globais apresentam certa “regularidade estat´ıstica”... •

Exemplo 2.3 — Experiˆencias aleat´orias

Designa¸c˜ao Experiˆencia aleat´oria E 1 Registo do n´umero de viaturas que atingem os 100Km/h em menos de 6 segundos, em 7 viaturas testadas E 2 Contagem do n´umero anual de acidentes de autom´ovel na A E 3 Medi¸c˜ao da resistˆencia de uma mola da suspens˜ao de uma viatura

Defini¸c˜ao 2.4 — Espa¸co de resultados Conjunto de todos os resultados poss´ıveis de uma E.A. E conhecido antes de a E.A. se´ realizar e ´e usualmente representado pela letra grega Ω. •

Nota 2.5 — Espa¸co de resultados Ω diz-se:

• discreto — caso #Ω seja finito ou infinito numer´avel;
• cont´ınuo — se #Ω for infinito n˜ao numer´avel. •

Nota 2.10 — Classifica¸c˜ao de eventos O evento A diz-se:

• elementar — quando constitu´ıdo por um ´unico elemento de Ω, i.e., #A = 1;
• certo — se A = Ω;
• imposs´ıvel — caso A = ∅. •

Defini¸c˜ao 2.11 — Eventos disjuntos Os eventos A e B dizem-se disjuntos (ou mutuamente exclusivos, ou incompat´ıveis) sse

A ∩ B = ∅, (2.1)

i.e., se a realiza¸c˜ao simultˆanea de A e B for imposs´ıvel. •

Defini¸c˜ao 2.12 — Inclus˜ao de eventos Quando o evento A est´a contido (incluso) em B — A ⊂ B — verifica-se:

Realiza¸c˜ao de A ⇒ Realiza¸c˜ao de B (2.2) Realiza¸c˜ao de A 6 ⇐ Realiza¸c˜ao de B, (2.3)

i.e., a realiza¸c˜ao de A implica a de B mas a implica¸c˜ao no sentido contr´ario n˜ao ´e necessariamente verdadeira. •

Uma vez que os eventos n˜ao passam de (sub)conjuntos ´e poss´ıvel efectuar opera¸c˜oes sobre eventos j´a nossas conhecidas como s˜ao o caso da intersec¸c˜ao, da reuni˜ao, etc. Descreveremos o seu significado em termos de realiza¸c˜oes de eventos quer verbalmente, quer `a custa de um diagrama de Venn. Sejam

• Ω o espa¸co de resultados de uma E.A. e
• A e B dois eventos.

Ent˜ao podemos efectuar as seguintes opera¸c˜oes sobre A e B:

Opera¸c˜ao Nota¸c˜ao Descri¸c˜ao verbal Diagrama de Venn

Intersec¸c˜ao A ∩ B Realiza¸c˜ao simultˆanea de A e de B

Reuni˜ao A ∪ B Realiza¸c˜ao de A ou de B, i.e., de pelo menos um dos dois eventos

Diferen¸ca B\A Realiza¸c˜ao de B sem que se realize A (B excepto A)

A\B Realiza¸c˜ao de A sem que se realize B (A excepto B)

Complementar A N˜ao realiza¸c˜ao de A

2.2 No¸c˜ao de probabilidade. Interpreta¸c˜oes de

Laplace, frequencista e subjectivista. Axiomas

e teoremas decorrentes.

A probabilidade ´e um conceito extraordinariamente complexo e, como teremos ocasi˜ao de ver daqui a pouco, somos capazes de adiantar algumas no¸c˜oes de probabilidade que se revelar˜ao insatisfat´orias devido a limita¸c˜oes a elas subjacentes.

Defini¸c˜ao 2.13 — Probabilidade cl´assica de Laplace Considere-se uma E.A. com espa¸co de resultados Ω com as seguintes particularidades: Ω ´e constitu´ıdo por

• n eventos elementares (#Ω = n)
• distintos
• igualmente prov´aveis^1 e em
• n´umero finito.

Considere-se ainda que a realiza¸c˜ao do evento A passa pela ocorrˆencia de m dos n eventos elementares, i.e., #A = m. Ent˜ao a probabilidade de realiza¸c˜ao de A ´e dada por:

P (A) = n´umero de casos favor´n´umero de casos poss´aveis `a ocorrˆıveisencia de A

= # #ΩA

= m n

Nota 2.14 — Limita¸c˜oes da probabilidade cl´assica de Laplace Esta defini¸c˜ao s´o ´e v´alida quando

• #Ω < +∞ (ou seja, o n´umero de eventos elementares ´e finito) e
• Ω ´e constitu´ıdo por eventos elementares igualmente prov´aveis,

pressupostos estes frequentemente violados na pr´atica. •

(^1) Nada leva a crer que a ocorrˆencia de algum dos eventos ´e privilegiada em rela¸c˜ao `a dos restantes.

Exemplo 2.15 — Probabilidade cl´assica de Laplace Admita que num stand se encontram 353 viaturas de somente duas marcas (A e B). Destas:

• 201 s˜ao da marca A;
• 57 possuem direc¸c˜ao assistida;
• 37 s˜ao da marca A e possuem direc¸c˜ao assistida.

Calcule a probabilidade de uma viatura seleccionada ao acaso ser da marca A.

• Evento A = viatura seleccionada ao acaso ser da marca A
• No. casos favor´aveis m = 201
• No. casos poss´ıveis n = 353
• Probabilidade pedida

P (A) = mn =^201353.

Antes de passarmos a uma outra no¸c˜ao de probabilidade ´e conveniente adiantarmos a defini¸c˜ao de frequˆencia relativa de um evento bem como as propriedades alg´ebricas dessa mesma frequˆencia.

Defini¸c˜ao 2.16 — Frequˆencia relativa Sejam:

• N o n´umero de realiza¸c˜oes (nas mesmas condi¸c˜oes) de certa E.A.;
• nN (A) o n´umero de vezes que o evento A ocorreu nas N realiza¸c˜oes da E.A. (i.e., representa a frequˆencia absoluta do evento A).

Ent˜ao a frequˆencia relativa do evento A ´e dada por

fN (A) = nN N^ (A ). (2.5)