Probabilidade e Estatística, Notas de estudo de Física

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR ´A

CENTRO DE CIˆENCIAS EXATAS E NATURAIS

DEPARTAMENTO DE ESTAT´ISTICA

Jos´e Gracildo de Carvalho J´unior

PROBABILIDADE E ESTAT´ISTICA

Bel´em/PA

Sum´ario

Cap´ıtulo 1

PROBABILIDADE

1.1 - Introdu¸c˜ao

Todas as vezes que se estuda algum fenˆomeno observ´avel, objetiva-se distinguir o pr´oprio fenˆomeno e o modelo matem´atico (determin´ıstico ou probabil´ıstico), que melhor o explique. Os fenˆomenos estudados pela estat´ıstica s˜ao fenˆomenos cujo resultado, mesmo em condi¸c˜oes normais de experimenta¸c˜ao varia de uma observa¸c˜ao para outra, dificultando dessa forma a previs˜ao de um resultado futuro. Para a explica¸c˜ao desses fenˆomenos (fenˆomenos aleat´orios), adotaremos um modelo matem´atico probabil´ıstico. Que neste caso ser´a o C´alculo das Probabilidades.

1.2 - Experimentos Aleat´orios

Hoje em dia grande quantidade de jogos ´e oferecida, entre os quais citamos, por exemplo: A Loteria Federal, A Sena e a Loteria Esportiva. E natural que se pense nas chances de ganhar um´ prˆemio antes de se decidir em qual deles jogar. Um torcedor procura avaliar as chances de vit´oria de seu clube antes de cada jogo do qual o mesmo participar´a. A loteria esportiva foi criada em fun¸c˜ao do interesse do brasileiro pelo futebol e de sua paix˜ao por jogos. Na loteria esportiva a cada rodada ´e escolhido um determinado n´umero de jogos e a aposta consiste da escolha em cada jogo de um dos poss´ıveis resultados, ou seja, vit´oria de um dos dois clubes ou empate.

Muitas vezes ao acordar nos perguntamos: Ser´a que vai chover? De um modo ou de outro atribu´ımos um valor a chance de chover e ent˜ao decidimos o tipo de roupa que usaremos e se levaremos ou n˜ao um guarda chuva conosco. Pode-se imaginar uma s´erie de outras situa¸c˜oes na qual nos deparamos, com a incerteza quantoa ocorrˆencia de uma das poss´ıveis alternativas dentro de um contexto no qual se est´a inserido. Por exemplo, ao chegar a uma bifurca¸c˜ao na qual h´a duas op¸c˜oes de tr´afego para se dirigir a um local desejado, procura-se avaliar as condi¸c˜oes de trˆansito nos dois caminhos para ent˜ao decidir-se por um deles.

1.2 - Experimentos Aleat´orios 3

Um analista de sistemas atribui chances aos poss´ıveis n´umeros de usu´arios que estar˜ao ligados, a uma rede durante certo per´ıodo. Um engenheiro industrial avalia as chances de um determinado processo encontrar-se em equil´ıbrio, ou atribui chances para as poss´ıveis propor¸c˜oes de pe¸cas defeituosas por ele produzidas. Um m´edico defronta-se com a incerteza em rela¸c˜ao ao efeito provocado pela administra¸c˜ao de um novo rem´edio a um determinado paciente.

H´a uma grande classe de experimentos que, ao serem repetidos nas mesmas condi¸c˜oes, pro- duzem resultados diferentes. Em outras palavras, experimentos que, quando realizados, n˜ao apresentam resultados previs´ıveis de antem˜ao.

Defini¸c˜ao 1.2.1. Experimentos que ao serem repetidos nas mesmas condi¸c˜oes n˜ao produzem o mesmo resultado s˜ao denominados experimentos aleat´orios. Apresenta-se a seguir alguns exemplos de experimentos aleat´orios:

Exemplo 1.2.1. Quando retiramos um lote de pe¸cas em um processo de produ¸c˜ao, observamos que o n´umero de pe¸cas defeituosas varia de lote para lote.

Exemplo 1.2.2. O n´umero de chamados telefˆonicas que chegam a uma central em um deter- minado intervalo de tempo n˜ao pode ser determinado de antem˜ao.

Exemplo 1.2.3. Se escolhermos uma lˆampada do processo de fabrica¸c˜ao e observarmos o seu tempo de dura¸c˜ao, verificaremos que este tempo varia de lˆampada para lˆampada.

Exemplo 1.2.4. Se lan¸carmos um dado sobre uma superf´ıcie plana e observarmos o n´umero que aparece na face superior, n˜ao poderemos determinar “a priori”qual ser´a esse n´umero.

Exemplo 1.2.5. Se selecionarmos um casal dentre v´arios outros casais e observarmos o sexo do primogˆenito, n˜ao ser´a poss´ıvel determin´a-lo “a priori”, e o mesmo ir´a variar de casal para casal.

Defini¸c˜ao 1.2.2. Os experimentos que ao serem repetidos nas mesmas condi¸c˜oes conduzem ao mesmo resultado s˜ao denominados determin´ısticos. Eis alguns exemplos de experimentos determin´ısticos

Exemplo 1.2.6. Se deixarmos uma pedra cair de certa altura pode-se determinar sua posi¸c˜ao e velocidade para qualquer instante de tempo posterior `a queda.

Exemplo 1.2.7. Se aquecermos a ´agua a 100 graus cent´ıgrados, a mesma entrar´a em ebuli¸c˜ao.

1.3 - Espa¸co Amostral e Eventos 5

cara, faz-se um quarto lan¸camento e assim por diante at´e se verificar a ocorrˆencia da primeira cara, que ´e quando o experimento termina. O espa¸co amostral ´e o conjunto:

{K, CK, CCK, CCCK, CCCCK, ......}

Note que os pontos desse espa¸co amostral, podem ser postos em correspondˆencia biun´ıvuca com o conjunto dos n´umeros naturais e portanto, ele ´e infinito, por´em enumer´avel.

Exemplo 1.3.5. Considere o Exemplo 1.2.2, a onde observamos o n´umero de chamadas telefˆonicas que chegam a uma central durante um intervalo de tempo. O espa¸co amostral ´e o conjunto:

S = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ......}

Exemplo 1.3.6. Considere a situa¸c˜ao do Exemplo 1.2.3, a onde observamos o tempo de vida de uma lˆampada. O espa¸co amostral ´e o conjunto dos n´umeros reais n˜ao negativos. Ou seja:

{x : x real, x ≥ 0 }

Exemplo 1.3.7. A umidade do ar pode ser registrada por meio de higrˆometro. Um higrˆometro pode ser acoplado a um dispositivo que possui um ponteiro, que desliza sobre papel milimetrado e registra em cada instante a umidade do ar. Se as leituras s˜ao feitas no intervalo de tempo [0, T ]. Ent˜ao o resultado ´e uma curva que a cada t ∈ [0, T ], associa-se x(t), que designa a umidade do ar no instante t. E razo´´ avel supor-se que x(t), ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua de t. no intervalo [0, T ]. O espa¸co amostral nesse caso ´e o conjunto:

S = {x : x ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em [0, T ]}. Nos Exemplos 1.3.4 e 1.3.5, o espa¸co amostral ´e infinito, por´em enumer´avel, isto ´e, pode ser posto em correspondˆencia biun´ıvoca com o conjunto dos naturais. Nos Exemplos 1.3.6 e 1.3.7, o espa¸co amostral ´e infinito e n˜ao enumer´avel. Seja S o espa¸co amostral associado a um experimento aleat´orio.

Defini¸c˜ao 1.3.2. Denominaremos de evento a todo resultado ou subconjunto de resultados de um experimento. Os eventos ser˜ao representados por subconjuntos do espa¸co amostral. Os eventos repre- sentados por um conjunto unit´ario, isto ´e, contendo apenas um ponto do espa¸co amostral s˜ao denominados eventos simples. Diremos que o evento “A”ocorre quando o resultado do experi- mento ´e um evento simples pertencente `a “A”.

1.4 - Opera¸c˜oes entre Eventos 6

Exemplo 1.3.8. No Exemplo 1.3.3, consideremos o evento “A”: duas pe¸cas s˜ao boas. Tem-se:

A = {BBD, BDB, DBB}

Ent˜ao “A”ocorre se ocorrer um dos trˆes eventos simples BBD, BDB, ou DBB.

Exemplo 1.3.9. No Exemplo 1.3.4, consideramos o evento “A”: A primeira cara ocorre em um lan¸camento que ´e um m´ultiplo de 3. Temos ent˜ao:

A = {CCK, CCCCCK, CCCCCCCCK, .......}

Os eventos simples de “A”tˆem 3n-1, coroas que precedem a ocorrˆencia da primeira cara na posi¸c˜ao 3n, para n = 1, 2, 3,· · ·

Exemplo 1.3.10. No Exemplo 1.3.2, considere o evento “B”: O n´umero de caras ´e igual ao n´umero de coroas, B = {KC, CK}

1.4 - Opera¸c˜oes entre Eventos

Defini¸c˜ao 1.4.1. A reuni˜ao de dois eventos “A”e “B”, denotada A ∪ B, ´e o evento que ocorre se pelo menos um deles ocorre.

Defini¸c˜ao 1.4.2. A interse¸c˜ao de dois eventos “A” e “B”, denotada A ∩ B, ´e o evento que ocorre se ambos ocorrem.

Defini¸c˜ao 1.4.3. O complementar do evento “A”, denotado Ac^ ´e o evento que ocorre quando “A”n˜ao ocorre.

Como os eventos s˜ao subconjuntos do espa¸co amostral, podemos representar a reuni˜ao de dois eventos, a interse¸c˜ao de dois eventos e o complementar de um evento, pelos diagramas utilizados para representar subconjuntos de um determinado conjunto.

Dado dois conjuntos A e B, as seguintes opera¸c˜oes podem ser realizadas: Uni˜ao, Interse¸c˜ao e Complementar de eventos.

1.5 - Defini¸c˜oes: Cl´assica, Freq¨uentista e Subjetiva de Probabilidade 8

Demonstra¸c˜ao: Vamos demonstrar a) e d). Para demonstrar a igualdade em a), precisamos mostrar que todo elemento pertencente ao lado esquerdo da igualdade, pertence ao lado direito da igualdade e vise-versa.

Se w ∈ (A ∪ B) ∩ C, ent˜ao w ∈ (A ∪ B) e w ∈ C. Dai decorre que (w ∈ A ou w ∈ B) e w ∈ C e portanto, (w ∈ A e w ∈ C) ou (w ∈ B e w ∈ C), ou seja, (w ∈ (A ∩ C)) ou (w ∈ (B ∩ C)), que implica em w ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C). Podemos percorrer estas implica¸c˜oes de tr´as para frente e verificar que s˜ao verdadeiras, de onde decorre a igualdade dos conjuntos.

Para demonstrar a igualdade d), precisamos mostrar que; Seja w ∈ (A ∩ B)c, ent˜ao w /∈ (A ∩ B), o que implica em w /∈ A ou w /∈ B, que por sua vez implica em w ∈ Ac^ ou w ∈ Bc, isto ´e, w ∈ (Ac^ ∪ Bc). Partindo de w ∈ (Ac^ ∪ Bc) e fazendo o percurso inverso n´os obtemos a igualdade.

A seguir apresenta-se defini¸c˜oes de opera¸c˜oes de uma reuni˜ao e de uma interse¸c˜ao enumer´avel de eventos.

Defini¸c˜ao 1.4.4. O evento ⋃∞ i=1 Ai, ´e o evento que ocorre quando pelo menos um dos eventos Ai, para i = 1, 2 , 3 , ..., ocorre.

Defini¸c˜ao 1.4.5. O evento ⋂∞ i=1 Ai ´e o evento que ocorre quando todos os eventos Ai, i = 1 , 2 , 3 , ..., ocorrem.

1.5 - Defini¸c˜oes: Cl´assica, Freq¨uentista e Subjetiva de Probabili-

dade

A defini¸c˜ao dita cl´assica baseia-se no conceito primitivo de eventos igualmente poss´ıveis. Con- sideremos um experimento com n´umero “Finito”de eventos simples. Vamos supor que podemos, por alguma raz˜ao, uma raz˜ao de simetria, por exemplo, atribuir a mesma chance de ocorrˆencia a cada um dos eventos simples desse experimento. Nessas condi¸c˜oes adotaremos a seguinte defini¸c˜ao de probabilidade.

1.5 - Defini¸c˜oes: Cl´assica, Freq¨uentista e Subjetiva de Probabilidade 9

Defini¸c˜ao 1.5.1. Consideremos um espa¸co amostral S com “N”eventos simples, onde sup˜oe- se que os mesmos s˜ao igualmente poss´ıveis. Seja “A”um evento de S composto de “m”eventos simples. A probabilidade de “A”, que denotaremos por P(A), ´e definida por:

P (A) = mN (1.1) Observamos que assim caracterizada, a probabilidade ´e uma fun¸c˜ao a qual defini-se na classe dos eventos ou, o que ´e equivalente, na classe dos subconjuntos do espa¸co amostral e satisfaz as propriedades estabelecidas no lema a seguir:

Lema 1.5.1. Seja S um espa¸co amostral finito satisfazendo as condi¸c˜oes da Defini¸c˜ao 1.5.1, a probabilidade definida pela Equa¸c˜ao (1.1), satisfaz:

(i) 0 ≤ P (A) ≤ 1;

(ii) P (A) ≥ 0 , para todo A ⊂ S;

(iii) P(S) = 1;

(iv) Se “A” e “B”, s˜ao eventos mutuamente exclusivos, ent˜ao: P (A ∪ B) = P (A) + P (B)

Demonstra¸c˜ao (ii): Como N > 0 e m ≥ 0 , segue que P (A) ≥ 0. Suponha que “A”tem “m 1 ” eventos simples e que “B”tem “m 2 ” eventos simples. Como “A”e “B”s˜ao mutuamente exclusivos, segue que os mesmos n˜ao possuem eventos simples em comum, logo o n´umero de eventos simples de A ∪ B ´e m 1 + m 2. Usando a defini¸c˜ao obtemos (iv).

Como o n´umero de eventos simples de S ´e N, segue baseado na defini¸c˜ao que P (S) = 1.

Exemplo 1.5.1. No experimento que consiste em se lan¸car um dado, supondo-se que o mesmo ´e balanceado (honesto), pode-se atribuir probabilidade 1/ 6 , a cada um dos eventos simples: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. O evento “O n´umero obtido quando se lan¸ca o dado ´e par”tem probabilidade 0,5, ou seja, 1/ 2.

Nas situa¸c˜oes em que a defini¸c˜ao cl´assica se aplica, para calcular a probabilidade de um evento “A”, precisamos contar o n´umero de eventos simples do espa¸co amostral e de “A”. Para facilitar essa tarefa ser´a expresso alguns m´etodos de contagem.

1.5 - Defini¸c˜oes: Cl´assica, Freq¨uentista e Subjetiva de Probabilidade 11

Seja S o espa¸co amostral associado a um experimento aleat´orio. Considerando-se “n”repeti¸c˜oes desse experimento nas mesmas condi¸c˜oes, observemos que a freq¨uˆencia relativa est´a definida na classe dos eventos de S e suas propriedades s˜ao dadas no lema a seguir:

Lema 1.5.2. A “Freq¨uˆencia Relativa fn, A, definida na classe dos eventos do espa¸co amostral S satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:”

(a) Para todo evento “A”, 0 ≤ fn, A ≤ 1;

(b) Se “A”e “B”s˜ao dois eventos de S mutuamente exclusivos, temos: fn, A ∪ B = fn, A +fn, B ;

(c) fn, S = 1.

Demonstra¸c˜ao: A parte a) decorre do fato de que n(A) ≥ 0. Como os eventos “A”e “B”, s˜ao mutuamente exclusivos, toda vez que um deles ocorre o outro n˜ao ocorre e portanto, o n´umero de ocorrˆencias de A ∪ B, ´e igual a soma do n´umero de ocorrˆencias de “A”com o n´umero de ocorrˆencias de “B”, isto ´e: n(A ∪ B) = n(A) + n(B). Dividindo-se por “n”obtemos b). Como em toda realiza¸c˜ao do experimento algum ponto de S ocorre, segue-se que c) ´e verdadeira. Houveram tentativas de se definir a probabilidade como limite da freq¨uˆencia relativa, j´a que se observa a maneira como foi mensionada, a freq¨uˆencia relativa fn, A, se aproxima de uma constante quando “n”tende a infinito. A defini¸c˜ao cl´assica satisfaz o Lema 1.5.1. S˜ao tamb´em satisfeitas as condi¸c˜oes pela freq¨uˆencia relativa baseado no Lema 1.5.2 e servem de sustenta¸c˜ao intuitiva para a defini¸c˜ao axiom´atica de probabilidade.

1.5.2 - Defini¸c˜ao Subjetiva de Probabilidade

Toda fundamenta¸c˜ao freq¨uentista de probabilidade est´a baseada na hip´otese de que existe uma realidade f´ısica e que as probabilidades descrevem aspectos dessa realidade, de modo an´alogo aos que as leis da mecˆanica fazem no caso de um modelo determin´ıstico. A probabilidade de um evento associado a um experimento independe, portanto, do observador, sendo obtida como o valor do qual se aproxima a freq¨uˆencia relativa de ocorrˆencias desse evento, em um grande n´umero de repeti¸c˜oes desse experimento. H´a, no entanto, situa¸c˜oes em que a repeti¸c˜ao do experimento n˜ao pode ser realizada e outras em que n˜ao pode ser realizada em idˆenticas condi¸c˜oes.

Apresenta-se a seguir alguns exemplos dessas situa¸c˜oes:

1.5 - Defini¸c˜oes: Cl´assica, Freq¨uentista e Subjetiva de Probabilidade 12

(a) Deseja-se saber quem vencer´a o pr´oximo jogo entre Flamengo e Fluminense;

(b) Um paciente ´e submetido a um novo tipo de cirurgia e deseja-se saber se ele ficar´a curado;

(c) Deseja-se saber se haver´a um tremor de terra no Rio Grande do Norte no pr´oximo ano.

No primeiro exemplo que se relaciona a um jogo entre dois clubes, sabemos que h´a estat´ısticas de um elevado n´umero de jogos entre Flamengo e Fluminense, mas que as condi¸c˜oes entre um jogo e outro variam bastante. No exemplo seguinte, n˜ao se pode falar em repeti¸c˜ao do experimento, pois, trata-se de uma nova t´ecnica cir´urgica que estar´a sendo aplicada. Com rela¸c˜ao ao terceiro exemplo, temos not´ıcias de raras ocorrˆencias de tremores de terra no Rio Grande do Norte.

Uma corrente de probabilistas considera a probabilidade de um evento, como sendo a medida da cren¸ca que o observador possui na ocorrˆencia do evento. Dessa forma, a probabilidade ser´a em geral diferente para distintas pessoas, em decorrˆencia das diferentes opini˜oes que elas tˆem sobre a ocorrˆencia do evento. Em uma outra descri¸c˜ao equivalente, a probabilidade de um evento ´e o valor que cada observador estaria propenso a apostar na realiza¸c˜ao do evento.

1.5.3 - Defini¸c˜ao Axiom´atica de Probabilidade

A probabilidade ser´a definida em uma classe de eventos do espa¸co amostral que satisfaz certas propriedades. Todas as opera¸c˜oes a serem definidas entre os eventos conduzem a novos eventos que pertencem a essa classe.

Defini¸c˜ao 1.5.2. Seja uma medida de probabilidade P, uma fun¸c˜ao definida em uma classe f de eventos de S a qual satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

1. P (S) = 1;
2. P (A) ≥ 0 para todo A ∈ f ;
3. Se An, n ≥ 1, s˜ao seq¨uˆencias mutuamente disjuntas em f , ent˜ao A 1 , A 2 , A 3 , · · · , An ∈ f , logo, chega-se a: P (

n≥ 1

An) =

n≥ 1

P (An) (1.3)

Defini¸c˜ao 1.5.3. Um espa¸co de probabilidade ´e uma terna (S, f, P ), onde

1.5 - Defini¸c˜oes: Cl´assica, Freq¨uentista e Subjetiva de Probabilidade 14

Subtraindo P (A), em Ambos os membros, segue que a igualdade anterior s´o faz sentido se P (φ) = 0, logo, a demonstra¸c˜ao est´a completa.

(P2) Os eventos A e Ac^ formam uma parti¸c˜ao de S e, portanto, baseado na Equa¸c˜ao (1.3), temos que P (S) = P (A ∪ Ac) = P (A) + P (Ac);

devido ao fato que P (S) = 1, logo

1 = P (A) + P (Ac) ⇒ P (A) = 1 − P (Ac).

(P3) Para dois eventos A e B quaisquer, ´e sempre poss´ıvel escrever o evento B da seguinte maneira: B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ Ac). Note que essa ´e uma uni˜ao disjunta e, portanto, baseado na Equa¸c˜ao (1.3), chega-se que o resultado segue de forma imediata, ou seja,

P (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ Ac) − P ((B ∩ A) ∩ (B ∩ Ac)) P (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ Ac) − 0 =⇒ P (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ Ac). (P4) Se A ⊂ B ent˜ao o evento B pode ser particionado nos moldes usados em (P3). Assim, B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ Ac) = A ∪ (B ∩ Ac).

Ent˜ao, como a uni˜ao ´e disjunta, vem que

P (B) = P (A) + P (B ∩ Ac) ≥ P (A),

uma vez que P (A) ≥ 0 , P (B ∩ Ac) ≥ 0. Portanto, P (A) ≤ P (B).

(P5) Vamos escrever A ∪ B como a seguinte uni˜ao disjunta: A ∪ B = (A ∩ Bc) ∪ (B ∩ Ac) ∪ (A ∩ B);

Portanto, baseado na Equa¸c˜ao (1.3), segue que:

P (A ∪ B) = P (A ∩ Bc) + P (B ∩ Ac) + P (A ∩ B);

Aplicando-se (P3), nos eventos A e B, eles podem ser escritos da seguinte forma:

P (A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ Bc)

1.5 - Defini¸c˜oes: Cl´assica, Freq¨uentista e Subjetiva de Probabilidade 15

e P (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ Ac);

De modo que obtemos:

P (A ∪ B) = P (A) − P (A ∩ B) + P (B) − P (B ∩ A) + P (A ∩ B),

e o resultado segue, uma vez que a intersec¸c˜ao ´e comutativa.

(P6) Vamos escrever ∪∞ i=1Ai, como a uni˜ao de uma seq¨uˆencia disjunta de eventos. Temos ⋃^ ∞ i=

Ai = A 1 ∪ (Ac 1 ∩ A 2 ) ∪ (Ac 1 ∩ Ac 2 ∩ A 3 ) ∪ · · ·

Portanto, pela Equa¸c˜ao (1.3), podemos escrever

P (

⋃^ ∞

i=

Ai) ≤ P (A 1 ) + P (A 2 ) + P (A 3 ) + · · ·

visto que,

P (

⋃^ ∞

i=

Ai) = P (A 1 ) + P (Ac 1 ∩ A 2 ) + P (Ac 1 ∩ Ac 2 ∩ A 3 ) + ...;

Como para qualquer j, Ac 1 ∩ Ac 2 ∩ Ac 3 ∩ · · · ∩ Acj− 1 ∩ Aj ⊂ Aj.

Baseado na Equa¸c˜ao (1.3), logo

P (

⋃^ ∞

i=

Ai) ≤

∑^ ∞

i=

P (Ai).

(P7) Lembramos que a nota¸c˜ao An ↑ A, indica que temos uma seq¨uˆencia mon´otona n˜ao decrescente de eventos A 1 , A 2 , A 3 , · · · , tais que, pode-se garantir que

ilim→∞ Ai^ =^ A^ =

⋃^ ∞

i=

Ai.

Uma vez que A 1 ⊂ A 2 ⊂ A 3 ⊂ · · · , segue que P (Ai) ´e n˜ao decrescente em i pela propriedade (P4). Como tamb´em ´e limitada ent˜ao nlim→∞ P^ (An)

existe. Escrevendo o evento A da mesma maneira como foi feito na demonstra¸c˜ao de (P6), vem que P (A) = P (

⋃^ ∞

i=

Ai) = P (A 1 ) + P (Ac 1 ∩ A 2 ) + P (Ac 1 ∩ Ac 2 ∩ A 3 ) + · · · ,

1.5 - Defini¸c˜oes: Cl´assica, Freq¨uentista e Subjetiva de Probabilidade 17

P (A) = 18/36; P (B) = 18/ 36 e P (C) = 9/ 36.

Para a uni˜ao de A e B, temos:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 18/36 + 18/ 36 − 9 / 36 = 27 / 36 = 3 / 4 =⇒ P (A ∪ B) = 0, 75. O c´alculo da probabilidade da uni˜ao de A, B e C, pode ser feito com aplica¸c˜oes sucessivas da regra de adi¸c˜ao de probabilidades, que ´e a propriedade (P5), apresentada anteriormente. Logo, P (A ∪ B ∪ C) = P [(A ∪ B) ∪ C] = P (A ∪ B) + P (C) − P [(A ∪ B) ∩ C] P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) + P (C) − [P ((A ∩ C) ∪ (B ∩ C))] P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − [P (A ∩ C) + P (B ∩ C) − P (A ∩ B ∩ C)] P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C);

Assim, atribuindo o valor das probabilidades aos seus respectivos eventos chega-se a:

P (A ∪ B ∪ C) = 18/36 + 18/36 + 9/ 36 − 9 / 36 − 0 − 9 /36 + 0 = 27 / 36 = 3 / 4 ,

assim P (A ∪ B ∪ C) = 0, 75.

Teorema 1.5.1. Sejam os eventos An, n ≥ 1 , se

A 1 ⊂ A 2 ⊂ A 3 ⊂ ...... ⊂ An e A =

⋃^ ∞

n=

An.

Seja B 1 = A 1 e, para todo n ≥ 2; Seja Bn = An ∩ Acn− 1. Ent˜ao, temos que

n−→∞^ lim P^ (An) =^ P^ (A).

Prova: Baseado nas afirma¸c˜oes acima conclui-se que:

(a) Os B ns′ s˜ao eventos disjuntos (exclusivos);

(b) An = ⋃ni=1 Bi,;

(c) A = ⋃∞ n=1 An = ⋃∞ n=1^ ⋃ni=1 Bi = ⋃∞ i=1 Bi

1.6 - ARRANJO (Amostras Ordenadas) 18

logo, P (An) =

∑^ n i=

P (Bi) e P (A) =

∑^ ∞

i=

P (Bi).

Mas, como

n−→∞lim

∑^ n i=

P (Bi) =

∑^ ∞

i=

P (Bi),

segue que

n−→∞lim P^ (An) =^ P^ (A). M´etodos de Enumera¸c˜ao (An´alise Combinat´oria)

1.6 - ARRANJO (Amostras Ordenadas)

Princ´ıpio Fundamental da Contagem

Suponha que uma tarefa pode ser executada em duas etapas. Se a primeira etapa pode ser realizada de “n”maneiras e a segunda etapa de “m”maneiras, ent˜ao a tarefa completa pode ser desenvolvida de n × m maneiras.

Defini¸c˜ao 1.6.1. Uma amostra de tamanho “n”de um conjunto C que tem N elementos ´e uma cole¸c˜ao de “n”elementos de C.

Defini¸c˜ao 1.6.2. Uma amostra ´e dita ordenada se os seus elementos forem ordenados, isto ´e, se duas amostras com os mesmos elementos, por´em em ordens distintas, forem consideradas diferentes.

Lema 1.6.1. O n´umero de amostras ordenadas (sem reposi¸c˜ao) de tamanho “n”, de um conjunto com N elementos, que ser´a denotado por (N )n, ´e dado por

(N )n = (^) (N N−^! n)! = N × (N − 1) × (N − 2) × ...... × (N − n + 1).

Exemplo 1.6.1. Considere o conjunto das quatro primeiras letras do alfabeto {a, b, c, d}. O n´umero de amostras ordenadas sem reposi¸c˜ao de tamanho trˆes ´e igual `a (4) 3 = 4 × 3 × 2 = 24, a seguir lista-se essas amostras.

(a, b, c) (a, b, d) (a, c, b) (a, c, d) (a, d, c) (a, d, b) (b, a, c) (b, a, d) (b, c, a) (b, c, d) (b, d, a) (b, d, c) (c, a, b) (c, a, d) (c, b, a) (c, b, d) (c, d, a) (c, d, b)