Funções de Probabilidade Discretas: Bernoulli, Binomial, Geométrica e Binomial Negativa, Exercícios de Probabilidade

Baixe Funções de Probabilidade Discretas: Bernoulli, Binomial, Geométrica e Binomial Negativa e outras Exercícios em PDF para Probabilidade, somente na Docsity!

Capítulo-Funções de

probabilidade discretas

Função de Distribuição de

Probabilidade Discreta

A função distribuiçãode probabilidade discreta pode ser escrita como uma soma ponderada de funções degrau unitário. Ex: onde pX(xk) = P[X = xk] fornece a magnitude dos saltos na fdc.

 Bernoulli

• Esta se preocupando por uma tentativa individual que tem como seus dois resultados possíveis sucesso ou fracasso. OBS: um evento não depende do outro.
• Domínio: SX = { 0 , 1 }
  • A distribuição de Bernoulli é o valor da função indicadora IA para algum evento A; X = 1 se A ocorre, e X = 0 caso contrário. Para estes testes, assume-se que a probabilidade de A ocorrer é p. Função densidade de probabilidade Função distribuição de probabilidade Os termos sucesso e falha são apenas designações

 Bernoulli

Função densidade de probabilidade Função distribuição de probabilidade E [ X ] 0 ( 1  p ) 1. p  p  E [ X ] E [ X ]   0 .( 1  p ) 1. p   p  p  p  p  1  p  2 2 2 2 2 2 2 

• Uma tentativa com somente dois resultados possíveis é usada tão

frequentemente como um bloco formador de um experimento aleatório,

que é chamada de tentativa de Bernoulli. Geralmente, considera-se que as

tentativas que constituem o experimento aleatório sejam independentes.

• O resultado de cada tentativa satisfaz ou não o critério que X conta;
• Os termos sucesso e falha são apenas designações.

 Binomial

• X é o número de sucessos em n experimentos de Bernoulli e, portanto, a soma de n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso igual a p. Domínio: SX = { 0 , 1 ,... , n}

Ex:A chance de que um bit transmitido por um canal digital de transmissão seja recebido com erro é de 0 , 1. Suponha também que as tentativas de transmissão sejam independentes. Seja X = número de bits com erro nos próximos quatros bits transmitidos. Determine P ( X = 2 ). O evento em que X = 2 consiste em seis resultados { EEOO, EOEO, EOOE, OEEO, OEOE, OOEE }

 Binomial

Erro de escrita

X p(x) 0 P{FFF}=q.q.q=q 3 1 P{FFS}+P{FSF}+P{SFF}=3pq 2 2 P{FSS}+P{SFS}+P{SSF}=3p^2 q 3 P{SSS}=p^3

Ex: Determine a probabilidade de cair:

a) zero caras no lançamento de três moedas

b) uma cara no lançamento de três moedas

c) duas caras no lançamento de três moedas

d) três cara no lançamento de três moedas

1 3          p q 2 3 2 2 3          p q

 Binomial

0 3          p q 3 3 3 3 3          p q

FFF

FFS

FSF

SFF

FSS

SFS

SSF

SSS

a expansão binomial

 Binomial

 Binomial

Função distribuição de probabilidade

 Binomial

Ex:Cada amostra de água tem 10 % de chance de conter determinado poluente orgânico. Considere que as amostras sejam independentes com relação à presença do poluente. Encontre a probabilidade de que nas próximas 18 amostras, exatamente duas contenham o poluente. Seja X = número de amostras que contêm o poluente nas próximas 18 amostras analisadas. Solução: Então, X é a variável aleatória binomial com p = 0 , 1 e n = 18. Assim, P ( X = 2) = 153(0,1)^2 (0,9)^16 = 0, Ex: Determine a probabilidade de que no mínimo quatro amostras contenham o poluente. OU

-. É a única variável aleatória discreta sem memória. Domínio SX = { 1 , 2 ,... }

• Suponha uma série de tentativas de Bernoulli (tentativas independentes, com

probabilidade constante p de um sucesso em cada tentativa). Entretanto, em

vez de serem em número fixo, as tentativas são agora realizadas até que um

sucesso seja obtido. Seja a variável aleatória X o número de tentativas até que

o primeiro sucesso seja atingido.

 GEOMETRICA

S

FS

FFS

FFFS

FFFFS

FFFFFS

FFFFFFS

FFFFFFFS

Note que a altura da linha em x é ( 1 – p ) vezes a altura da linha em x – 1. Ou seja, as probabilidades diminuem em uma progressão geométrica. A distribuição tem esse nome por causa desse resultado.

 GEOMETRICA

 GEOMETRICA

K- 1 K=

P=0,

K-1)

A média de uma variável aleatória geométrica é derivada parcial com relação a q primeiro deduzimos E ( X 2 ) com uma abordagem similar. Isso pode ser obtido a partir de derivadas parciais de segunda ordem com relação a q. Então, a fórmula V ( X ) = E ( X^2 ) – ( E ( X ))^2 é aplicada. Os detalhes dão um pouco mais de trabalho e são deixados como um exercício casa

 GEOMETRICA

Media e variância:

X=k