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Universidade Federal do Ceará - UFC Departamento de Teleinformática Curso de Engenharia de Telecomunicações Disciplina de Processos Estocásticos Semestre 2020.
2 ª Avaliação de Processos Estocásticos
Aluna: Maria Clara Rodrigues Lobão Matrícula: 470645
1 ª) a) as probabilidades relacionadas aos estados 0 e 1 já foram mencionadas: p 01 = 1
e p 0 j = 0 para j 6 = 1; p 11 = 1/ 4 , p 12 = 3/ 4 e p 1 j = 0 para j 6 = 1, 2.
Se a criança possui 2 bonecos diferentes, quando ela compra outro lanche, a probabilidade de ela ganhar um boneco diferente cai para 50%, já que das 4 possibilidades, em duas ela pode acabar com um boneco repetido, assim, p 22 = 1/ 2 , p 2 , 3 = 1/ 2 e p 2 j = 0 para j 6 = 2, 3.
Quando a criança possui 3 bonecos diferentes, a probabilidade dela conseguir um diferente agora é 25%. Portanto, p 33 = 3/ 4 , p 34 = 1/ 4 e p 3 j = 0 para j 6 = 3, 4.
Por fim, quando a criança consegue adquirir os 4 brinquedos diferentes, a cadeia não pode mais mover para nenhum estado diferente. Assim, se o garoto comprar o lanche depois de completar a coleção, ele permanece no estado 4. Portanto, p 44 = 1 e p 4 j = 0 para qualquer j 6 = 4. A matriz de probabilidade de transição de 1 passo, assim, fica:
P =
Onde as colunas representam a quantidade de bonecos diferentes que a criança pode ficar após a compra e as linhas representam a quantidade de bonecos diferentes que ela já tem.
b)
c) A matriz de um passo representa a probabilidade da criança conseguir um boneco diferente ou igual após uma compra. Para saber a probabilidade dele conseguir completar a coleção após 4 compras, precisamos da matriz de 4 passos. Pela equação de Chapman-Kolmogorov, temos que P (n) = P n. Assim: P (4) = P 4 =
i=1 P^ i
P( 4 ) =
A probabilidade da criança conseguir os 4 bonecos diferentes após 4 compras, começando no estado 0, é de 9,375%.
2 ª) Considerando p( 0 ) =
[
π 0 π 1
]
como o vetor de probabilidades iniciais, em que P r(X 0 = 0) = π 0 , P r(X 0 = 1) = π 1 e que π 0 + π 1 = 1. Podemos calcular a probabilidade do processo no estado n cair no estado 0 e no estado 1 da seguinte maneira:
P r(Xn = 0) = P r(Xn− 1 = 0, Xn = 0) + P r(Xn− 1 = 1, Xn = 0)
= P r(Xn− 1 = 0)P r(Xn = 0|Xn− 1 = 0) + P r(Xn− 1 = 1)P r(Xn = 0|Xn− 1 = 1) = P r(Xn− 1 = 0)(1 − p) + (1 − P r(Xn− 1 = 0))q = P r(Xn− 1 = 0)(1 − p − q) + q
Quando n −→∞, (1 − p − q)n^ → 0 ( assumindo | 1 − p − q| < 1 ). Assim, P r(Xn = 0) = (^) p +q q De forma análoga, para Xn = 1, quando n → ∞ P r(Xn = 1) = (^) p +p q Estas são as probabilidades de estado estacionárias que compõem o vetor π. Como P(n) = 1 π:
P(n) =
q p + q
p q p^ +^ q p + q
p p + q
3 ª) A probabilidade de ser gerada a palavra CAT após duas transições de 1 passo:
No estado inicial, a máquina deve estar em C. Na primeira transição, a máquina deverá gerar a letra A depois de gerar a letra C. Na segunda transição, a máquina deverá gerar a letra T, após ter gerado a letra A e após ter gerado a letra C. A probabilidade é:
P r(X 2 = T, X 1 = A, X 0 = C) = P r(X 2 = T |X 1 = A, X 0 = C)P r(X 1 = A, X 0 = C)
= P r(X 2 = T |X 1 = A, X 0 = C)P r(X 1 = A|X 0 = C)P r(X 0 = 0)
Como em uma cadeia de Markov, a probabilidade do evento futuro depende apenas do evento presente, sem incluir o passado, temos que:
P r(X 2 = T, X 1 = A, X 0 = C) = P r(X 2 = T |X 1 = A)P r(X 1 = A|X 0 = C)P r(X 0 = 0) = pAT (1) ∗ pCA(1) ∗ pC (0) = 0. 3 ∗ 0. 7 ∗ 1 / 3 = 0. 07 = 7%
4 ª) a) A atividade do usuário pode ser descrita por uma matriz de transição de dois
estados, considerando as seguintes probabilidades: α: a probabilidade de iniciar uma chamada; 1 − α: a probabilidade de não iniciar uma chamada; β: a probabilidade de encerrar uma chamada; 1 − β: a probabilidade da chamada continuar em andamento. Assim, é possível determinar p 00 = 1 − α e p 01 = α
Para as probabilidades p 10 e p 11 é necessário levar em conta que, dentro do minuto n, o usuário pode encerrar uma chamada e iniciar outra. Assim, mesmo que ele tenha encerrado a ligação, a transição não é p 10 , mas p 11. Portanto, a probabilidade p 11 é igual à probabilidade de uma chamada continuar em andamento ou do usuário encerrar uma chamada e iniciar outra no mesmo minuto: p 11 = (1 − β) + αβ
Consequentemente, a probabilidade da transição p 10 é a probabilidade do usuário encerrar uma chamada e não iniciar outra no instante. Ou seja: p 10 = β(1 − α)
Em forma de matriz:
P =
[
(1 − α) α β(1 − α) (1 − β) + αβ
]
b)
c) É uma representação geral aproximada, porém não ideal. Alguns aspectos como a du- ração de cada chamada, a possibilidade de interrupção inesperada, a quantidade de chamadas recebidas por dia, devem ser levadas em conta, e elas variam conforme diversos parâmetros, que uma Cadeia de Markov discreta pode não ser suficiente para descrever.
5 ª) a) O gráfico mostra a distribuição de informações sobre sinal de acordo com a
frequência. Ele mostra que as frequências de 150 Hz, 200 Hz e 350 Hz têm relevância muito maior para o sinal em relação aos outros valores, sendo a de 200 Hz a frequência que carrega mais informação.
b) Pelo gráfico, o sinal varia bastante e de forma irregular entre as amplitudes de +5 e -5 em um intervalo muito curto de tempo. Além disso, não há nenhuma informação sobre o sinal que possa ser tirada apenas observando o gráfico de X(t).
