Probabilidade condicional e experimentos sequenciais, Notas de estudo de Engenharia Informática

Baixe Probabilidade condicional e experimentos sequenciais e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Informática, somente na Docsity!

Probabilidade e Estatística

Aula 02

Probabilidade Condicional,

Experimentos Seqüenciais

Leitura Prévia

• Capítulo 1 – Livro Yates – Itens 1.5 a 1.7 –

Páginas 16 a 28.

• Capítulo 1 – Apostila Ynoguti – Itens 1.6,

1.7 e 1.8 – Páginas 12 a 19.

Probabilidade Condicional -

Definição

 

 

P  B 

P AB P A | B 

Propriedades:

 

 

 

 

P ^ A  P B

P A

A B P A B

B A P A B

Se então |

Se então | 1

Interpretação

B

A

AB

C

BC

      n

n P AB n

n P B n

n P A

A B AB   

 

 

  (^) B

AB

B

AB

n

n

n

n

n

n

P B

P AB

P A | B   

Se nós descartarmos todas as tentativas em que o evento B não ocorreu e retermos apenas as tentativas em que o evento B ocorreu, P(A|B) é a frequência relativa de ocorrência do evento A na subsequência retida.

Exemplo

Determinar a probabilidade do resultado da jogada de

um dado ser um número menor do que 4

a) se não temos nenhuma informação

b) se sabemos que o resultado foi ímpar

Importante

Os axiomas continuam valendo

 

 

 (^)   (^)    (^)    (^)  

P A B C P A C P B C com AB

P S B

P A B

Todos os resultados envolvendo probabilidades se

mantêm para probabilidades condicionais.

Teorema de Bayes

Ai, i= 1,2,..., n : eventos mutuamente exclusivos tais que



n

i

Ai S

 1

e um evento arbitrário B com probabilidade não nula

 (^) 

n

j j j

i i i i P B A P A

P B A P A

P B

P A B

P A B

1

P ( AB )  P ( A | B ) P ( B )  P ( B | A ) P ( A )

Exemplo

Em um canal de comunicação binário um transmissor

envia um bit zero (evento A 0 ) ou um bit 1 (evento A 1 ). O

canal ocasionalmente causa erro, de modo que um zero

transmitido pode ser recebido como 1 e um 1 transmitido

pode ser recebido como 0. A probabilidade de erro é p =

0.1, independente do bit transmitido. A probabilidade de

um bit 0 ser transmitido é 0.6. Sejam B 0 e B 1 os eventos:

um bit 0 foi recebido e um bit 1 foi recebido,

respectivamente. Calcule as seguintes probabilidades:

P(B 0 ), P(B 1 ), P(B 1 |A 0 ), P(A 0 |B 0 ), P(A 0 |B 1 ), P(A 1 |B 0 ),

P(A 1 |B 1 ).

Extensão para mais eventos

Os eventos Ai , i= 1,2,..., n são estatisticamente independentes

se as probabilidades dos eventos conjuntos tomados 2,3,..., n

eventos de cada vez possam ser fatoradas no produto das

probabilidades dos eventos individuais.

Exemplo: A 1 , A 2 e A 3 são independentes se

1 2 3 1 2 3

2 3 2 3

1 3 1 3

1 2 1 2

P A A A P A P A P A

P A A P A P A

P A A P A P A

P A A P A P A

Diagrama em árvore

• Exemplo 1: Jogo do Três. Você embaralha

um baralho de três cartas: 1 (ás), 2 e 3.

Você retira cartas do baralho em seqüência.

Se conseguir fazer exatamente 3 pontos

(somando os valores de cada carta retirada),

ganha.

Diagrama em árvore

• Coordenação entre sinais de trânsito. Dois

sinais em seqüência. Para o primeiro sinal

há 50% de chance para cada cor. Para o

segundo sinal, a probabilidade do mesmo

estar com a mesma cor do primeiro é 0.8.

Calcular as diversas probabilidades.

Diagrama em árvore

VD

VM

VD

VM

VD

VM

VD,VD : 0.

VD,VM : 0.

VM,VD : 0.

VM,VM : 0.