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Aula 1: Conceitos Iniciais

prof. Andr´e

IFBA

9 de junho de 2021

Sum´ario

(^1) Conceitos Iniciais

2 Caracteriza¸c˜ao de um processo estoc´astico

(^3) M´edia, Fun¸c˜ao de Autocorrela¸c˜ao e Fun¸c˜ao de Autocovariˆancia, Variˆancia e Coeficiente de Autocorrela¸c˜ao

Conceitos Iniciais

Fixando um evento ω ∈ Ω, obtemos uma cole¸c˜ao de valores X = {Xt (ω ): t ∈ T} , que ´e chamada de trajet´oria ou realiza¸c˜ao deste processo. Quando T = { 1 } , o processo estoc´astico ´e na verdade somente uma vari´avel aleat´oria. Se T ´e finito, digamos T = { 1 , 2 , 3 ,... }, temos um vetor aleat´orio. Portanto, os processos aleat´orios s˜ao generaliza¸c˜oes de vetores aleat´orios. Quando T ´e enumer´avel diremos que o processo estoc´astico correspondente ´e a tempo discreto. Se T for um intervalo, o processo estoc´astico ser´a chamado a tempo cont´ınuo. Os valores que tomam as vari´aveis do processo ser˜ao chamados de estados e o conjunto E destes valores ser´a o espa¸co de estados. Observe que os estados n˜ao precisam ser quantidades num´ericas. Os processos estoc´asticos podem ter espa¸co de estados discreto ou espa¸co de estados cont´ınuo em correspondˆencia com a natureza do conjunto E.

Exemplos de Processos Estoc´asticos

Exemplo 1

A condi¸c˜ao de uma m´aquina na ocasi˜ao da manuten¸c˜ao preventiva mensal ´e caracterizada como ruim, razo´avel ou boa. Para o mˆes t ∈ { 1 , 2 , 3 ,... }, o processo estoc´astico para essa

situa¸c˜ao pode ser representado como: Xt =

0 , se a condi¸c˜ao for ruim; 1 , se a condi¸c˜ao for razo´avel; 2 , se a condi¸c˜ao for boa. Nesse exemplo, tem-se um processo estoc´astico a tempo discreto com espa¸co de estados E = { 0 , 1 , 2 } discreto.

Exemplo 2

Suponha que se esteja observando o pre¸co de estoque de uma companhia ao longo do tempo, por exemplo, em meses. Em particular, seja X (t) o pre¸co de estoque no tempo t ∈ T = [0, ∞). A Figura 1 mostra uma das poss´ıveis trajet´orias ou realiza¸c˜oes do processo de t = 0 at´e t = 1.

Caracteriza¸c˜ao de um processo estoc´astico

Para caracterizar o comportamento probabil´ıstico de um processo estoc´astico, devemos considerar a fam´ılia das fun¸c˜oes de distribui¸c˜ao de todos os vetores aleat´orios formados com estados do processo. Mais precisamente, teremos a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao

Seja X = {Xt , t ∈ T} um processo estoc´astico. Consideremos para cada conjunto t 1 , t 2 ,... , tn, tn ∈ T e n ∈ N, a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao conjunta do vetor aleat´orio (Xt 1 , Xt 2 ,... , Xtn ) que denotaremos por Ft 1 ,t 2 ,...,tn. A fam´ılia {Ft 1 ,t 2 ,...,tn } das fun¸c˜oes de distribui¸c˜ao finito-dimensionais de X ´e chamada de lei do processo, com Ft 1 ,t 2 ,...,tn = FXt 1 ,Xt 2 ,...,Xtn (x 1 ,... , xn) = P(Xt 1 ≤ x 1 , Xt 2 ≤ x 2 ,... , Xtn ≤ xn).

A fun¸c˜ao de densidade conjunta, se ´e que ela existe, ´e, ent˜ao, a n-´esima derivada mista dessa fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao com rela¸c˜ao `as n vari´aveis x 1 , x 2 ,... , xn, ou seja, f (x 1 , x 2 ,... , xn, t 1 , t 2 ,... , tn) =

∂nFXt 1 ,Xt 2 ,...,Xtn (x 1 ,...,xn) ∂x 1 ∂x 2 ...∂xn.

Caracteriza¸c˜ao de Processos Estoc´asticos

Defini¸c˜ao

De forma an´aloga, para os processos de estado discreto, a fun¸c˜ao de probabilidade conjunta ´e definida simplesmente por: f (x 1 , x 2 ,... , xn, t 1 , t 2 ,... , tn) = P(Xt 1 = x 1 , Xt 2 = x 2 ,... , Xtn = xn).

M´edia, Fun¸c˜ao de Autocorrela¸c˜ao e Fun¸c˜ao de Autocovariˆancia, Variˆancia

e Coeficiente de Autocorrela¸c˜ao

Fun¸c˜ao de Autocorrela¸c˜ao

R(t 1 , t 2 ) = E [X (t 1 )X (t 2 )]

=

−∞

∑ −∞^ x^1 x^2 f^ (x^1 ,^ x^2 ,^ t^1 ,^ t^2 )dx^1 dx^2 ,^ se X(t) for cont´ınuo; ∞ −∞

−∞ x^1 x^2 P[X^ (t^1 ) =^ x^1 ,^ X^ (t^2 ) =^ x^2 ],^ se X(t) for discreto.

Fun¸c˜ao de Autocovariˆancia

CX (t 1 , t 2 ) = Cov [X (t 1 ), X (t 2 )] = R(t 1 , t 2 ) − μX (t 1 )μX (t 2 )

Coeficiente de Autocorrela¸c˜ao

ρX (t 1 , t 2 ) = √ CX^ (t^1 ,t^2 ) Var [X (t 1 )]Var [X (t 2 )]

M´edia, Fun¸c˜ao de Autocorrela¸c˜ao e Fun¸c˜ao de Autocovariˆancia, Variˆancia

e Coeficiente de Autocorrela¸c˜ao

Observe que se t 1 = t 2 = t ∈ T R(t, t) = E [X (t)X (t)] = E [X (t)^2 ]; CX (t, t) = cov [X (t), X (t)] = Var [X (t)]; Se t 1 6 = t 2 , ent˜ao a fun¸c˜ao de autocovariˆancia CX (t 1 , t 2 ) fornece-nos alguma informa¸c˜ao sobre como X (t 1 ) e X (t 2 ) est˜ao estatisticamente relacionadas.

Exemplo de Aplica¸c˜ao

Considere o sinal aleat´orio X (t) = A.cos(ω.t + θ), em que A ´e a amplitude do sinal, com A ∼ U[−a, a], ω ´e a frequˆencia e θ ´e a fase do sinal. Calcule a m´edia, a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao e de autocovariˆancia, e a variˆancia desse sinal.

Exemplo de Aplica¸c˜ao

Resposta

Vamos, calcular agora a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao.

RX (t 1 , t 2 ) = E [X (t 1 )X (t 2 )] = E [A.cos(ω.t 1 + θ).A.cos(ω.t 2 + θ)] = cos(ω.t 1 + θ).cos(ω.t 2 + θ).E (A^2 )

= cos(ω.t 1 + θ).cos(ω.t 2 + θ).

∫ (^) a

−a

x^2 .fA(x)dx

cos(ω.t 1 + θ).cos(ω.t 2 + θ).(a^3 − (−a)^3 ) 6 a = a^2 cos(ω.t 1 + θ).cos(ω.t 2 + θ) 3

Exemplo de Aplica¸c˜ao

Note que a fun¸c˜ao de autocovariˆancia ´e igual `a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao, uma vez que μX (t) = 0 ∀ t ∈ R, ou seja,

CX (t 1 , t 2 ) = RX (t 1 , t 2 ) − μX (t 1 ).μX (t 2 ) = RX (t 1 , t 2 ) − 0. 0 = RX (t 1 , t 2 )

=

a^2 cos(ω.t 1 + θ).cos(ω.t 2 + θ) 3