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M.A.C.S. (11.o^ ano)
Probabilidades
Exerc´ıcios de Provas Nacionais - Propostas de resolu¸c˜ao
1.1. Como 90% dos advers´arios do Alexandre venceram tor- neios disputados em piso sint´etico ou em piso de terra batida, a percentagem de advers´arios que nunca vence- ram ´e: 100 − 90 = 10% Como 60% nunca venceram torneios disputados em piso de terra batida, e destes 10% nunca venceram qual- quer torneio, a percentagem dos que venceram em piso sint´etico, sem terem vencido em terra batida. ´e:
60 − 10 = 50%
Terra batida Sint´etico
Resposta: Op¸c˜ao C
1.2. Considerando a experiˆencia aleat´oria que consiste em o Alexandre come¸car uma partida, e os acon- tecimentos: S1: Conseguir um primeiro servi¸co bem-sucedido P t: Conseguir pontuar
Temos, de acordo com os dados do gr´afico, que: P (S1) = 0,7, P (P t|S1) = 0,8 e P
S 1 ∩ P t
Assim, organizando os dados numa tabela obtemos:
• P
S 1
= 1 − P (S1) = 1 − 0 ,7 = 0, 3
• P
S 1 ∩ P t
= P
S 1
− P
S 1 ∩ P t
- P (S 1 ∩ P t) = P (P t|S1) × P (S1) = 0, 8 × 0 ,7 = 0, 56
Desta forma a probabilidade, na forma de d´ızima, de tendo colocado uma bola em jogo, o Alexandre pontuar, ´e:
S 1 S 1
P t 0 , 56 0 , 18 0 , 74
P t 0 , 12
0 , 7 0 , 3 1
P (P t) = P (S 1 ∩ P t) + P
S 1 ∩ P t
1.3. Como o Alexandre vai tentar defender dois servi¸cos dos seus advers´arios, a probabilidade de o Alexandre conseguir defender, no m´aximo, um servi¸co pode ser calculada como a soma das proba- bilidades de defender apenas o primeiro, defender apenas o segundo ou n˜ao defender qualquer servi¸co.
Como a probabilidade de defender um servi¸co ´e 0,6, a a probabilidade de n˜ao defender um servi¸co ´e 1 − 0 ,6 = 0,4, pelo que a probabilidade de o Alexandre conseguir defender, no m´aximo, um servi¸co dos seus advers´arios, ´e:
defender apenas o 1.o ︷ ︸︸ ︷ 0 , 6 × 0 , 4 +
defender apenas o 2.o ︷ ︸︸ ︷ 0 , 4 × 0 , 6 +
n˜ao defender nenhum ︷ ︸︸ ︷ 0 , 4 × 0 , 4 = 0, 64
Exame – 2022, Ep. especial´
- A probabilidade condicionada P (R|S) significa a probabilidade de escolher, ao acaso, um dos votos, e ele ter assinalado como primeira preferˆencia o candidato B, sabendo que tem assinalado como segunda preferˆencia o candidato A.
Assim, identificando o n´umero de votos tem assinalado como segunda preferˆencia o candidato A, s˜ao 4 + 7 = 11 (correspondentes `a 3.a^ e ´ultima colunas da tabela anterior).
Considerando estes 11 votos, podemos verificar que apenas em 4 votos (correspondentes `a 3.a^ coluna da tabela anterior) tem assinalado como primeira preferˆencia o candidato B, e assim temos que P (R|S) =
Resposta: Op¸c˜ao A Exame – 2022, 2.a^ Fase
3.1. Como dos clientes que usufru´ıram do bar, a ter¸ca parte tamb´em usufruiu da piscina, a ter¸ca parte corresponde aos 80 clientes que usufru´ıram de ambas as comodidades, pelo que o n´umero total de clientes que usufru´ıram do bar ´e o triplo dos que usufru´ıram das duas comodidades, ou seja, 3 × 80 = 240.
Como o conjunto analisado tinha 300 clientes que usufru´ıram de, pelo menos, uma das duas comodidades referidas, e como 80 clientes tinham usufru´ıdo de ambas as comodidades, os que usu- fru´ıram da piscina s˜ao os que n˜ao usufru´ıram do bar (300 − 240 = 60) acrescidos dos que usufru´ıram de ambas as comodidades: 60 + 80 = 140.
3 × 80 = 240 (bar)
300 − 240 + 80 = 140 (piscina)
300
5.2. Considerando a experiˆencia aleat´oria que consiste em escolher, ao acaso, uma das pessoas que responderam ao question´ario, e os acontecimentos: C: A pessoa j´a fez um cruzeiro I: A pessoa j´a comprou viagens na agˆencia Ir&Voltar
Temos, de acordo com o enunciado, que: P (I) =
= 0,7, P
C
= 0,35 e P
C|I
Assim, organizando os dados numa tabela obtemos:
• P
I
= 1 − P (I) = 1 − 0 ,7 = 0, 3
• P
C ∩ I
= P
C|I
× P
I
= 0, 7 × 0 ,3 = 0, 21
• P
I ∩ C
= P
C
− P
C ∩ I
Desta forma a probabilidade, na forma de d´ızima, de uma das pessoas questionadas, escolhida ao acaso, ter comprado viagens na Ir&Voltar, sabendo-se que n˜ao fez um cruzeiro, ´e:
C C
I 0 , 14 0 , 7
I 0 , 21 0 , 3
P
I|C
P
I ∩ C
P
C
Exame – 2022, 1.a^ Fase
- Considerando a experiˆencia aleat´oria que consiste em escolher, ao acaso, um dos funcion´arios da r´adio OnOff, e os acontecimentos: C: O funcion´ario trabalha a partir de casa D: O funcion´ario colabora em programas emitidos diariamente
Temos, de acordo com o enunciado, que: P (C) = 0,8, P (D|C) = 0,5 e P
C ∩ D
Assim, organizando os dados numa tabela obtemos:
• P
C
= 1 − P (C) = 1 − 0 ,8 = 0, 2
• P
C ∩ D
= P
C
− P
C ∩ D
• P (C ∩ D) = P (D|C) × P (C) = 0, 5 × 0 ,8 = 0, 4
Desta forma a probabilidade, na forma de d´ızima, de o funcion´ario selecionado colaborar em programas emitidos diariamente, ´e:
C C
D 0 , 4 0 , 15 0 , 55
D 0 , 05
P (D) = P (C ∩ D) + P
C ∩ D
Exame – 2021, Ep. especial´
- Considerando a experiˆencia aleat´oria que consiste em escolher, ao acaso, um dos alunos desta universidade que participaram no programa Erasmus+, e os acontecimentos: R: O aluno ficou alojado numa residˆencia universit´aria C: O aluno ficou colocado na primeira cidade que seleccionou
Temos, de acordo com o enunciado, que: P
C|R
= 0,4 e P (C ∩ R) = 0, 18
Assim, temos que: P (C|R) = 1 − P
C
E como P (C|R) =
P (C ∩ R)
P (R)
⇔ P (R) =
P (C ∩ R)
P (C|R)
, vem que a probabilidade, na forma de d´ızima, do aluno escolhido ter ficado alojado numa residˆencia universit´aria, ´e:
P (R) =
Exame – 2021, 2.a^ Fase
8.1. Pela observa¸c˜ao do gr´afico podemos verificar que que dos 110 participantes no programa, 15+10 = 25 eram homens, e que destes foram 10 os que participaram no programa no segundo semestre, pelo que a probabilidade do aluno escolhido ter participado no programa no segundo semestre, sabendo-se que ´e do sexo masculino, ´e: 10 25
Resposta: Op¸c˜ao B
8.2. Observando que existem 30 alunos com o perfil indicado (ter participado no segundo semestre e ser do sexo feminino), verificamos que existem 110 − 30 = 80 que n˜ao correspondem a este perfil.
Assim, selecionando trˆes alunos ao acaso, a probabilidade, na forma de d´ızima, com arre- dondamento `as cent´esimas, de apenas um deles ter participado no segundo semestre e ser do sexo feminino, ´e:
apenas o 1.o^ tem o perfil ︷ ︸︸ ︷ 30 110
×
×
apenas o 2.o^ tem o perfil ︷ ︸︸ ︷ 80 110
×
×
apenas o 3.o^ tem o perfil ︷ ︸︸ ︷ 80 110
×
×
= 3 ×
30 × 80 × 79
110 × 109 × 108
Exame – 2021, 2.a^ Fase
12.1. Como compareceram 80 associados,de ambos os sexos, e trˆes quartos eram mulheres, temos que se pode considerar o agrupamento de
× 80 = 60 mulheres e
× 80 = 20 homens.
Assim, a probabilidade de se selecionar, ao acaso, sucessivamente, dois associados esses associa- dos serem de sexos diferentes corresponde a selecionar um homem e depois uma mulher ou, em alternativa, selecionar uma mulher e depois um homem:
homem e depois mulher ︷ ︸︸ ︷ 20 80
×
mulher e depois homem ︷ ︸︸ ︷ 60 80
×
Resposta: Op¸c˜ao A
12.2. Esquematizando as probabilidades conhecidas num diagrama em ´arvore, temos:
Associados
3 Mulheres 4
1 (^4) Homens
Separa res´ıduos
N˜ao separa res´ıduos
2 3
1 3
Separa res´ıduos
1 N˜ao separa res´ıduos 2
1 2
Assim, considerando a experiˆencia aleat´oria que consiste em escolher, ao acaso, um dos associados pre- sentes na conferˆencia, e os acontecimentos: M : O associado ´e mulher R: O associado separa os res´ıduos
Temos, que a probabilidade de o associado escolhido ser mulher, sabendo-se que n˜ao faz separa¸c˜ao de res´ıduos. ´e:
P
M |S
P
M ∩ S
P
S
P
M ∩ S
P
M ∩ S
+ P
M ∩ S
×
×
×
Exame – 2020, Ep. especial´
- A probabilidade das duas reclama¸c˜oes se encontrarem no mesmo estado ´e a soma das probabilidades de ambas estarem resolvidas e de ambas estarem pendentes, ou seja:
0 , 4 × 0 ,25 + 0, 6 × 0 ,75 = 0, 55
Resposta: Op¸c˜ao C Exame – 2020, 2.a^ Fase
14.1. Esquematizando as probabilidades conhecidas num diagrama em ´arvore, temos:
Reservas
1 Plataforma A 8
7 (^8) Outras plataformas
Muito Bom
Outras avalia¸c˜oes
1 2
1 2
Muito Bom
6 Outras avalia¸c˜oes 7
1 7
Assim, considerando a experiˆencia aleat´oria que consiste em escolher, ao acaso, uma reserva feita pela Maria, e os acontecimentos: A: A reserva foi efetuada atrav´es plataforma A M : A reserva corresponde a um alojamento avaliado com Muito Bom
Temos, que a probabilidade de uma reserva ter sido efetuada atrav´es da plataforma A, sabendo que corresponde a um alojamento avaliado com Muito Bom, ´e:
P (A|M ) =
P (A ∩ M )
P (M )
P (A ∩ M )
P (M ∩ A) + P
M ∩ A
×
×
×
14.2. Como 10% das reservas correspondem ao setor C que representa
do total (de acordo com o gr´afico circular) ent˜ao foram realizadas 40 reservas pela Maria.
Como 30% s˜ao para alojamentos no estrangeiro, o n´umero de reservas deste tipo ´e: 40 × 0 ,3 = 12
Como 20% s˜ao reservas realizadas na plata- forma C e para alojamentos no estrangeiro. o n´umero de reservas deste tipo ´e: 40 × 0 ,2 = 8
40 × 0 ,2 = 8
4 × 10 = 40
estrangeiro
Plataforma C 30% 40 × 0 ,3 = 12
Logo podemos concluir que o n´umero de reservas realizadas na plataforma C e para alojamentos em territ´orio nacional ´e: 10 − 8 = 2
Desta forma, o n´umero de reservas que n˜ao s˜ao realizadas atrav´es da plataforma C nem s˜ao para um alojamento no estrangeiro ´e: 40 − 12 − 2 = 26 Exame – 2020, 2.a^ Fase
17.2. Esquematizando as probabilidades conhecidas num diagrama em ´arvore, temos:
Estacionamento
Parque interior 90%
Parque exterior
Mulheres
Homens
Homens
40% Mulheres
Assim, considerando a experiˆencia aleat´oria que consiste em escolher, ao acaso, um cliente do CCF que estacionou o seu autom´ovel num dos parques de estacionamento do centro comercial, e os acontecimentos: I: ”O cliente ter estacionado no parque interior” H: ”O cliente ´e homem”
Temos, que o valor da probabilidade, arredondado `as cent´esimas, de esse cliente ter estacionado o seu autom´ovel no parque interior, sabendo-se que ´e homem, ´e:
P (I|H) =
P (I ∩ H)
P (H)
P (I ∩ H)
P (I ∩ H) + P
I ∩ H
0 , 9 × 0 , 3
0 , 9 × 0 ,3 + 0, 1 × 0 , 6
Exame – 2019, Ep. especial´
18.1. Como o clube tem 180 s´ocios do sexo feminino que correspondem a 45% do total de s´ocios, podemos determinar o n´umero de s´ocios do sexo masculino (h), que correspondem a 100 − 45 = 55%:
45 180
h
⇔ h =
55 × 180
⇔ h = 220
Como o n´umero total de s´ocios (mulheres e homens) ´e 180 + 220 = 400, e a percentagem de s´ocios que n˜ao s˜ao efetivos do sexo masculino ´e 25%, o n´umero correspondente ´e:
400 × 0 ,25 = 100
Assim, o n´umero de s´ocios que n˜ao s˜ao efetivos ou que s˜ao mulheres, ou seja, a soma do n´umero de homens n˜ao efetivos e o n´umero de mulheres, ´e:
100 + 180 = 280
18.2. Considerando a experiˆencia aleat´oria que consiste em selecionar, ao acaso, um s´ocio do Clube, e os acontecimentos: E: O s´ocio ´e efetivo L: O s´ocio participa em leil˜oes
Temos, de acordo com o enunciado, que: P (E) = 0,45, P (L) = 0,7 e P
E ∩ L
Assim, organizando os dados numa tabela obtemos:
• P (E ∩ L) = P (L) − P
E ∩ L
• P
E ∩ L
= P (E) − P (E ∩ L) = 0, 45 − 0 ,35 = 0, 1
Desta forma, a probabilidade de o s´ocio n˜ao participar em leil˜oes, sabendo-se que ´e s´ocio Efetivo, na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel, ´e:
E E
L 0 , 35 0 , 35 0 , 7
L 0 , 1
P
L|E
P
L ∩ E
P (E)
Exame – 2019, 2.a^ Fase
19.1. Como 40% das pessoas n˜ao clicam em Gosto , podemos assumir que a percentagem de pessoas que clica em Gosto ^ ´e 100 − 40 = 60%
Se, do total das rea¸c˜oes aos conte´udos publicados, 24% correspondem a mulheres que clicam em Gosto , a percentagem de homens com a mesma rea¸c˜ao ´e:
60 − 24 = 36%
Resposta: Op¸c˜ao C
21.1. Como a fam´ılia Silva participou em quatro romarias e se pretende calcular a probabilidade de ter ido sem companhia em apenas uma ocasi˜ao, essa circunstˆancia pode ter ocorrido na primeira romaria, na segunda, na terceira ou na quarta.
Sabemos que a probabilidade da fam´ılia ir com companhia ´e de 70%, ou seja, 0,7, pelo que a proba- bilidade de ir sem companhia ´e de 1 − 0 ,7 = 0, 3
Assim, a probabilidade da fam´ılia ter ido sem companhia em apenas uma das quatro ocasi˜oes ´e:
sem companhia na 1.a ︷ ︸︸ ︷ 0 , 3 × 0 , 7 × 0 , 7 × 0 ,7 +
sem companhia na 2.a ︷ ︸︸ ︷ 0 , 7 × 0 , 3 × 0 , 7 × 0 ,7 +
sem companhia na 3.a ︷ ︸︸ ︷ 0 , 7 × 0 , 7 × 0 , 3 × 0 ,7 +
sem companhia na 4.a ︷ ︸︸ ︷ 0 , 7 × 0 , 7 × 0 , 7 × 0 ,3 =
= 4 × (0, 3 × 0 , 7 × 0 , 7 × 0 ,7) = 4 × 0 , 3 × 0 , 73 = 0, 4116 Assim, a probabilidade solicitada, na forma de percentagem ´e 41,16%
21.2. Esquematizando as probabilidades conhecidas num diagrama em ´arvore, temos:
Romarias
Com divers˜oes 80%
Sem divers˜oes
Regressar cedo
Regressar tarde
Regressar cedo
50% Regressar tarde
Assim, considerando a experiˆencia aleat´oria que consiste em considerar, ao acaso, uma visita da fam´ılia Silva a uma romaria, e os acontecimentos: D: A fam´ılia Silva vai a uma romaria com divers˜oes T : A fam´ılia Silva regressa a casa tarde
Temos, que a probabilidade de a fam´ılia Silva ir a uma romaria com divers˜oes, sabendo que regressa tarde a casa, na forma de d´ızima, arredondada `as cent´esimas, ´e:
P (D|T ) =
P (D ∩ T )
P (T )
P (D ∩ T )
P (T ∩ D) + P
T ∩ D
0 , 8 × 0 , 6
0 , 8 × 0 ,6 + 0, 2 × 0 , 5
Exame – 2018, Ep. especial´
22.1. Como se sabe a pessoa escolhida ocupa um lugar no balc˜ao, temos 42+46 = 88 casos poss´ıveis. Como de entre estas pessoas 42 s˜ao mulheres, ou seja, existem 42 casos favor´aveis, pelo que a probabilidade, arredondada `as cent´esimas, ´e: 42 88
Resposta: Op¸c˜ao B
22.2. Considerando a experiˆencia aleat´oria que consiste em selecionar, ao acaso, um espectador da sess˜ao, e os acontecimentos: O: O espectador comprou o bilhete online P : O espectador comprou um bilhete para a plateia
Temos, de acordo com o enunciado, que: P (O) = 0,8 e P
P |O
Temos ainda, de acordo com a tabela, que: P (P ) =
Assim, organizando os dados numa tabela obtemos:
• P
O
= 1 − P (O) = 1 − 0 ,8 = 0, 2
• P
P ∩ O
= P
O
× P
P |O
= 0, 2 × 0 ,75 = 0, 15
• P (P ∩ O) = P (P ) − P
P ∩ O
Desta forma, a probabilidade de escolher, ao acaso, uma pes- soa presente na sess˜ao e essa pessoa ocupar um lugar na plateia, sabendo-se que ela adquiriu o seu bilhete online, ´e:
P P
O 0 , 45 0 , 8
O 0 , 15 0 , 2
P (P |O) =
P (P ∩ O)
P (O)
A que corresponde uma probabilidade, em percentagem, de 56,25%
22.3. A probabilidade de apenas uma das mulheres escolhidas ocupar um lugar na plateia ´e a soma das probabilidade da primeira mulher selecionada estar na plateia e a segunda no balc˜ao, com a proba- bilidade da primeira mulher selecionada estar no balc˜ao e a segunda estar na plateia.
Assim, a probabilidade de apenas uma das mulheres escolhidas ocupar um lugar na plateia ´e:
1.a^ na plateia e 2.a^ no balc˜ao ︷ ︸︸ ︷ 73 73 + 42
×
1.a^ no balc˜ao e 2.a^ na plateia ︷ ︸︸ ︷ 42 73 + 42
×
A que corresponde uma probabilidade, em percentagem, arredondada `as unidades, de 47%
Exame – 2018, 2.a^ Fase
23.1. Como existem 60 viajantes dos quais
eram homens, ent˜ao temos que:
× 60 =
- o n´umero de mulheres ´e: 60 − 12 = 48 Assim, a probabilidade na forma de d´ızima, com arredondamento `as cent´esimas, de escolher ao acaso dois viajantes do grupo, e ambos serem mulheres, ´e:
48 ︸ 60 ︷︷ ︸ 1.o^ viajante escolhido ser mulher
×
2.o^ viajante escolhido ser mulher, sabendo que o primeiro tamb´em ´e mulher
24.2.1. Considerando a experiˆencia aleat´oria que consiste em selecionar, ao acaso, um dos espectadores presentes no fim de semana, e os acontecimentos: S: O espectador esteve presente no s´abado D: O espectador viu um filme em 3D
Temos, de acordo com o enunciado, que: P (S) = 0,72 e P (D|S) = 0,15, P
S ∩ D
Assim, organizando os dados numa tabela obtemos:
• P (D ∩ S) = P (S) × P (D|S) = 0, 72 × 0 ,15 = 0, 108
• P
S ∩ D
= P (S) − P (S ∩ D) = 0, 72 − 0 ,108 = 0, 612
• P
D
= P
S ∩ D
+ P
S ∩ D
S S
D 10 ,8%
D 61 ,2% 21% 82 ,2%
Desta forma, a probabilidade de um dos espectadores que estiveram presentes no fim de semana, ter estado presente no s´abado, sabendo-se que n˜ao viu um filme em 3D, ´e:
P
S|D
P
S ∩ D
P
D
E assim, o valor da probabilidade em percentagem, arredondado `as cent´esimas, ´e de 74,45%
24.2.2. Considerando os acontecimentos do item anterior, e os valores das probabilidade indicados na tabela anterior, temos:
D
• P
D ∩ S
= P (D) − P (D ∩ S) = 0, 178 − 0 ,108 = 0, 07
Logo, como o CineJov teve 4000 espectadores, o n´umero de espetadores que n˜ao estiveram presentes no s´abado e viram um filme em 3D, ´e: 4000 × 0 ,07 = 280 Assim, a probabilidade de escolher, ao acaso, dois desses espectadores ´e: 280 4000
×
Desta forma, o valor da probabilidade, em percentagem, arredondado `as cent´esimas ´e 0,49%
Exame – 2017, Ep. especial´
- A probabilidade de serem escolhidos dois alunos, ambos do mesmo sexo, ´e a soma das probabilidade de serem ambos rapazes com a probabilidade de serem ambos raparigas.
Desta forma, como foram escolhidos dois alunos de entre os que foram ao cinema uma vez no ano, ou seja de entre um conjunto de 46 + 17 = 63 alunos (46 raparigas e 17 rapazes), a probabilidade ´e:
1.o^ e 2.o^ alunos serem raparigas ︷ ︸︸ ︷ 46 63
×
1.o^ e 2.o^ alunos serem rapazes ︷ ︸︸ ︷ 17 63
×
Assim, a probabilidade de serem ambos do mesmo sexo, em percentagem, arredondado `as unidades ´e 60% Exame – 2017, 2.a^ Fase
- Designando por p a probabilidade de se obter um sector numerado com o algarismo 2, e esquematizando as probabilidades conhecidas num diagrama em ´arvore, temos:
Roleta
1 − p Setor com 1
p Setor com 2
Setor cinzento
Setor branco
2 3
1 3
Setor branco
(^1) Setor cinzento 2
1 2
Assim, considerando a experiˆencia aleat´oria que consiste em rodar a roleta e observar o setor assinalado pela seta, e os acontecimentos: B: O setor estar colorido a branco D: O setor estar numerado com o algarismo 2
Como P (B) =
, e tamb´em P (B) = P (B ∩ D) + P
B ∩ D
× (1 − p) +
× p
Temos que, a probabilidade de se obter um sector numerado com o algarismo 2, ou seja, o valor de p, ´e dado por:
2 3
× (1 − p) +
× p =
2 − 2 p 3
p 2
16 − 16 p 24
12 p 24
⇔ 16 − 16 p + 12p = 15 ⇔ 16 − 15 = 16p − 12 p ⇔ 1 = 4p ⇔ p =
⇔ p = 0, 25
E assim, o valor da probabilidade de se obter um sector numerado com o algarismo 2, na forma de percentagem ´e 25%
Exame – 2017, 2.a^ Fase
27.1. 27.1.1. Considerando a experiˆencia aleat´oria que consiste em escolher, ao acaso, uma das pessoas que respondeu ao question´ario, e os acontecimentos: H: A pessoa escolhida ser homem A: A pessoa escolhida preferir a montanha-russa Anaconda
Temos, de acordo com o enunciado, que: P
H|A
= 30% = 0,3 e que P (A) = 40% = 0, 4
Como P (H|A) = 1 − P
H|A
= 1 − 0 ,3 = 0,7, a probabilidade da pessoa escolhida ser ho- mem e preferir a montanha-russa Anaconda, ´e:
P (H ∩ A) = P (H|A) × P (A) = 0, 7 × 0 ,4 = 0,28 = 28%
Resposta: Op¸c˜ao B
28.1. Para conseguir ocupar as trˆes horas de emiss˜ao, o diretor deve selecionar os dois filmes ou ent˜ao um filme e os trˆes document´arios. Assim, designando os dois filmes por F1 e F2 e os trˆes document´arios por D1, D2 e D3, podemos organizar uma lista de contagem para determinar o n´umero de sequˆencias poss´ıveis com os programas do mesmo tipo exibidos consecutivamente, ou seja, com os filmes no in´ıcio ou no fim do alinhamento:
F1 - F2 F1 - D1 - D2 - D3 F2 - D1 - D2 - D3 D1 - D2 - D3 - F1 D1 - D2 - D3 - F F2 - F1 F1 - D1 - D3 - D2 F2 - D1 - D3 - D2 D1 - D3 - D2 - F1 D1 - D3 - D2 - F F1 - D2 - D1 - D3 F2 - D2 - D1 - D3 D2 - D1 - D3 - F1 D2 - D1 - D3 - F F1 - D2 - D3 - D1 F2 - D2 - D3 - D1 D2 - D3 - D1 - F1 D2 - D3 - D1 - F F1 - D3 - D1 - D2 F2 - D3 - D1 - D2 D3 - D1 - D2 - F1 D3 - D1 - D2 - F F1 - D3 - D2 - D1 F2 - D3 - D2 - D1 D3 - D2 - D1 - F1 D3 - D2 - D1 - F Podemos verificar que o n´umero de sequˆencias poss´ıveis pode se calculado como 2 + 4 × 6, cor- respondente aos 2 alinhamento dos dois filmes somado com 6 alinhamentos dos 3 document´arios multiplicados por 4, correspondente a colocar os dois filmes antes e depois dos document´arios, ou seja, o n´umero de sequˆencias nas condi¸c˜oes do enunciado s˜ao:
2 + 4 × 6 = 2 + 24 = 26
28.2. Considerando a experiˆencia aleat´oria que consiste em selecionar, ao acaso, um dos 100 espectadores, e os acontecimentos: M : O espectador ser mulher F 1: O espectador preferiu o primeiro filme
Temos, de acordo com o enunciado, que: P (M ) = 0,4, P
F 1 |M
= 0,3 e P
M ∩ F 1
Assim, organizando os dados numa tabela obtemos:
• P
M
= 1 − P (M ) = 1 − 0 ,4 = 0, 6
• P
F 1 ∩ M
= P
F 1 |M
× P (M ) = 0, 3 − 0 ,4 = 0, 12
• P (M ∩ F 1) = P (M ) − P
M ∩ F 1
• P
M ∩ F 1
= P
M
− P
M ∩ F 1
• P (F 1) = P (M ∩ F 1) + P
M ∩ F 1
M M
F 1 0 , 28 0 , 18 0 , 46
F 1 0 , 12 0 , 42
Desta forma, a probabilidade de, escolhendo ao acaso um desses espectadores, o mesmo ser mulher sabendo que preferiu o primeiro filme, ´e:
P (M |F 1) =
P (M ∩ F 1)
P (F 1)
E assim, o valor da probabilidade em percentagem, arredondado `as unidades, ´e de 61%
Exame – 2016, Ep. especial´
- Considerando a experiˆencia aleat´oria que consiste em selecionar, ao acaso, um dos candidatos, e os acon- tecimentos: M : O candidato ´e mulher S: O candidato ´e s´enior
Como o n´umero de mulheres ´e 4 + b, considerando t como o n´umero total de candidatos, temos que:
P (S|M ) =
P (S ∩ M )
P (M )
b t 4 + b t
b 4 + b
Como, de acordo com o enunciado, P (S|M ) =
, vem que:
b 4 + b
⇔ 5 b = 4 + b ⇔ 4 b = 4 ⇔ b =
⇔ b = 1
Da mesma forma, temos que:
P
M |S
P
M ∩ S
P (S)
a t a + b t
a a + b
Como b = 1 e, de acordo com o enunciado P
M |S
, temos que:
a a + 1
⇔ 5 a = 4(a + 1) ⇔ 5 a = 4a + 4 ⇔ 5 a − 4 a = 4 ⇔ a = 4
Assim, o n´umero de candidatos seniores ´e:
a + b = 4 + 1 = 5
Exame – 2016, 2.a^ Fase
30.1. De acordo com os dados da tabela, temos que:
- o n´umero total de pessoas ´e 1540 + 2720 + 840 + 680 = 5780
- o n´umero de pessoas que estavam na tenda Dance ´e 1540 + 2720 = 4260 Assim, a probabilidade de duas pessoas, escolhidas aleatoriamente, uma a seguir `a outra, estarem na tenda Dance, ´e: 4260 ︸ 5780 ︷︷ ︸ 1.a^ pessoa estar na tenda Dance
×
2.a^ pessoa estar na tenda Dance, sabendo que a 1.a^ tamb´em estava.
Logo, a probabilidade na forma de percentagem, arredondado `as unidades, ´e 54%
