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Probabilidade e Estatística
Ciência da Computação A
Prof. Fernando Deeke Sasse
Problemas Resolvidos - Probabilidade
1. Um fabricante de lâmpadas para faróis automotivos testa as lâmpadas sob condições de alta umidade e alta temperatura, usando a intensidade e vida útil como parâmetros de interesse. A tabela abaixo mostra a performance de 130 lâmpadas.
(a) Qual é a probabilidade de que uma lâmpada selecionada aleatoriamente seja insatisfatória sob qualquer critério? (b) Clientes exigem 95% de resultados satisfatórios. O fabricante pode atender a esta exigência? Solução. (a) A tabela apresenta dados mutuamente excludentes, de modo as probabilidades de cada evento se somam:
(8+3+2)/130; 1 10
(b) Como a probabilidade da lâmpada não apresentar defeito é 1 - 1/10 = 0.9, a exigência não é satisfeita.
2. Discos de policarbonato são analisados no que se refere a resistência a arranhões e resistência a choque. Os resultados de 100 discos são mostrados abaixo
Considere o evento A de que um disco tenha alta resistência a choques e o evento B de que ele tenha alta resistência a arranhões. (a) Se um disco é selecionado aleatoriamente qual é a probabilidade de que ele tenha alta resistência a choque e arranhões? (b) Se um disco é selecionado aleatoriamente qual é a probabilidade de que ele tenha alta resistência a choque ou arranhões? (c) São os eventos A e B mutuamente excludentes? (d) Determine P(A' ou B), P(A' ou B') e P(A' e B'). (e) Determine P(A | B) e P(B | A). Solução.
(a) Devemos determinar P(A e B). Da tabela vemos imediatamente que esta probabilidade é:
P(A and B):=70/100;
(b) Devemos determinar P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B) = 1 - P(A' e B')
P(A or B):=79/100+86/100-70/100;
Usando a última fórmula temos também
95/100; 19 20
(c) Não, como visto no item (a) (d) P(A' ou B) = P(A') + P(B) - P(A' e B)
14/100+79/100-9/100; 21 25
P(A' ou B') = P(A') + P( B') - P(A' e B')
14/100+21/100-5/100;(16+5+9)/100; 3 10 3 10 Por uma leitura direta da tabela, (16+5+9)/100; 3 10
Da tabela temos diretamente P(A' e B')=
(e) Por uma leitura direta da tabela obtemos imediatamente as probabilidades condicionais:
P(A,B):=70/79;
P(B,A):=70/86;
ou, usando a fórmula para a probabilidade condicional,
P(B):=79/100;P(A):=86/100;
P(ddd):=(20/100)(19/99)(18/98);**
Portanto, a probabilidade é dada por
P(dpp)+P(pdp)+P(ppd)+P(ddp)+P(dpd)+P(pdd)+P(ddd); 3977 8085
evalf(%);
;
4. Oito cavidades em uma ferramenta de injeção-molde produzem conectores plásticos que caem em um recipiente. Uma amostra é escolhida entre intervalos de minutos. Suponha que as amostras são independentes. (a) Qual é a probabilidade de que 5 amostras sucessivas tenham sido produzidas na cavidade um do molde? (b) Qual é a probabilidade de que 5 amostras sucessivas tenham sido produzidas em uma mesma cavidade do molde? (c) Qual é a probabilidade de que 4 de 5 amostras sucessivas tenham sido produzidas na cavidade um do molde? Solução. Eventos: - conector foi produzido na cavidade i do molde,. (a) Como os eventos são independentes, a intersecção dos 5 é igual ao seu produto: (1/8.)^5;
(b) Pela independência dos eventos, 8(1/8.)^5;*
(c) Note que o número de sequências em que 4 de 5 amostras foram produzidas no molde 1 é 5, de modo que
5(1/8.)^4(7/8);**
5. No design preliminar de produtos são utilizadas avaliações de clientes. No passado, 95% dos produtos de alto sucesso receberam boas avaliações, 60% dos produtos de sucesso moderado receberam boas avaliações, e 10% dos produtos de pobre desempenho receberam boas avaliações. Além disso, 40% dos produtos tiveram alto sucesso, 35% tiveram sucesso moderado e 25% tiveram desempenho pobre. (a) Qual é a probabilidade de que o produto consiga uma boa avaliação? (b) Se um novo design obtém uma boa avaliação, qual a probabilidade de que ele tenha alto sucesso? (c) Se um produto não recebe uma boa avaliação, qual é a probabilidade de que ele tenha alto sucesso?
Solução. Eventos: A - produto recebe boa avaliação S - produto tem alto sucesso M - produto tem médio sucesso N - produto não faz sucesso (a) Devemos calcular
restart: P(S):=0.4: P(M):=0.35: P(N):=0.25: P(A,S):=0.95: P(A,M):=0.6: P(A,N):=0.1: P(A):=P(S)P(A,S)+P(M)P(A,M)+P(N)P(A,N);*
(b) Usando as fórmulas para probabilidade condicional temos
P(S,A):=P(A,S)P(S)/P(A);*
(c) P(Ap,S):=1-P(A,S); P(Ap):=1-P(A);
P(S,Ap):=P(Ap,S)P(S)/P(Ap);*
6. Um software que detecta fraudes em cartes telefônicos detecta o número de das áreas metropolitanas onde as chamadas são originadas a cada dia. São obtidos os seguintes dados:
- 1% dos usuários legítimos chamam de duas ou mais áreas metropolitanas em um mesmo dia.
- 30% dos usuários fraudulentos chamam de duas ou mais áreas metropolitanas em um mesmo dia.
- A proporção de usuários fraudulentos é de 0.01%. Se um mesmo usuário faz chamadas de duas ou mais áreas metropolitanas em um mesmo dia, qual é a probabilidade de que o usuário seja fraudulento?
Solução. Eventos: M - usuário faz chamadas de duas ou mais áreas metropolitanas em um mesmo dia L - usuário é legítimo F - usuário é fraudulento Note que L e F são eventos mutuamente exclusivos e exaustivos.
Devemos calcular.
P(M,F):=0.3:P(M,L):=0.01:P(F):=0.0001:P(L):=1-P(F): P(F,M):=P(M,F)P(F)/(P(M,F)P(F)+P(M,L)P(L));*
7. Denotemos por E1, E2 e E3 amostras que satisfazem especificações de porcentagem de sólidos, peso molecular e cor, respectivamente. Um total de 240 amostras são classificadas de acordo com estas especificações de acordo estas especificações de acordo com a tabela abaixo:
(e) Diretamente da tabela vemos que
210/240+24/240; 39 40 (f) 210/240+24/240+6/240; 1
8. Um lote de 140 chips semicondutores é inspecionado através da coleta de amostras de 5 chips. Suponha que 10 chips não satisfazem as exigências dos consumidores. (a) Quantas amostras diferentes são possíveis? (b) Quantas amostras de 5 elementos possuem exatamente um chip fora de conformidade? (c) Quantas amostras de 5 elementos possuem ao menos um chip fora de conformidade? Solução. (a) Como o ordenamento na amostra não é importante, devemos calcular combinações de 140 elementos, 5 a 5. Ou seja,
140!/(5!)/(140-5)!; 416965528
(b) Um subconjunto contendo exatamente um chip fora de conformidade pode ser formado escolhendo-se 1 entre 10 chips que não satisfazem as exigências, ou seja, 10 possibilidades. Em seguida selecionamos os subconjuntos correspondentes às 4 partes restantes a partir dos 130 chips que satisfazem as exigências. Ou seja,
10(130!)/4!/(130-4)!;* 113588800
(c) Sejam os eventos c- conforme n - não conforme Devemos agora somar todas as possibilidades: N({n,c,c,c,c}) + N({n,n,c,c,c}) + N({n,n,n,c,c}) + N( {n,n,n,n,c}) + N({n,n,n,n,n})
with(combinat):
N([n,c,c,c,c]):=numbcomb(140,5);
N([n,n,c,c,c]):=numbcomb(10,2)numbcomb(130,3);*
N([n,n,n,c,c]):=numbcomb(10,3)numbcomb(130,2);*
N([n,n,n,n,c]):=numbcomb(10,4)numbcomb(130,2);*
N([n,n,n,n,n]):=numbcomb(10,5)numbcomb(130,1);*
Portanto, N([n,c,c,c,c])+N([n,n,c,c,c])+N([n,n,n,c,c])+N([n,n,n,n,c])+N
([n,n,n,n,n]); 435864538
;
9. Amostras de uma peça moldada de plástico são classificadas com base no acabamento da superfície e acabamento da borda. Os resultados envolvendo 110 partes são resumidos como segue:
Denotando por A o evento correspondente a um acabamento de superfície excelente, e B o evento correspondente a um acabamento de borda excelente. Se uma parte é selecionada aleatoriamente, determine:
Solução
restart: P(A):=(77+4)/110.;
P(Ap):=(9+20)/110.;
P(B):=(77+9)/110.;
P(AeB):=77/110.;
P(AouB):=P(A)+P(B)-P(AeB);
P(AeBp):=4/110.;
10. Um lote de 120 chips semicondutores contém 22 que são defeituosos. (a) Dois chips são selecionados aleatoriamente do lote, sem substituição. Qual a probabilidade de que o segundo seja defeituoso? (b) Três chips são selecionados aleatoriamente do lote, sem substituição. Qual a probabilidade de que todos sejam defeituosos? (c) Três chips são selecionados aleatoriamente do lote, sem substituição. Qual a probabilidade de que ao menos um seja defeituoso?
Solução.
(a) Número de subconjuntos de engenheiros: C(5,2), número de subconjuntos de físicos: C(7,3)
numbcomb(5,2)numbcomb(7,3);* 350
(b) numbcomb(5,2)numbcomb(6,2);* 150
(c) numbcomb(3,2)numbcomb(7,3);* 105
12. Um inspetor trabalhando para uma companhia de manufatura tem uma probabilidade de 99% de identificar corretamente um item com defeito e 0.5% de chance de classificar incorretamente um produto bom como defeituoso. A companhia tem evidências de que sua linha produz 0.9% de ítens defeituosos. (a) Qual a probabilidade de que um item selecionado para inspeção seja classificado como defeituoso? (b) Se um item selecionado aleatoriamente é classificado como não-defeituoso, qual a probabilidade de que ele seja realmente bom? Solução. Eventos: D: componente tem defeito, C: inspetor identifica item como sendo defeituoso. P(C|D) = 0.99, P(C|D') = 0.005, P(D) = 0. (a) P(C) =? P(C) = P(C|D)P(D) + P(C|D')P(D')
restart; P(C,D):= 0.99;
P(C,Dp) := 0.5e-2;
P(D) := 0.009:
P(Dp):=1-P(D): P(C) = P(C,D)P(D) + P(C,Dp)P(Dp);**
(b) C': inspetor identifica item como sendo bom P(D'| C') = P(C'|D') P(D')/(P(C'|D') P(D') + P(C'|D) P(D) )
P(Dp,Cp):=P(Cp,Dp)P(Dp)/(P(Cp,Dp)P(Dp)+P(Cp,D)P(D));*
P(Cp,D):=1-P(C,D);
P(Cp,Dp):=1-P(C,Dp);
eval(P(Dp, Cp));
