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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
Colégio Técnico Industrial de Santa Maria
Caderno Didático 3
Progressão Aritmética
e Progressão Geométrica
Série: Matemática I
Por:
Professora Angélica Magagnangmo
Professor Mauricio R. Lutz
Agosto de 2020
a ( 2 ) ( 1 )
n 1 1 1
5 4 1 1
4 3 1 1
3 2 1 1
2 1
1 1
a - r a n r r a rn
a a r a r r a r
a a r a r r a r
a a r a r r a r
a a r
a a r
n
n 1 1 (^2 )^11 (^1 )
5 4 1 1 3 1 1 4
4 3 1 1 2 1 1 3
3 2 1 1 1 1 1 2
2 1 1
1 1 0
a...
= - = - =^ -
an q aqn q a q^ n
a a q a q q a q
a a q a q q a q
a a q a q q a q
a a q
a a q
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
Colégio Técnico Industrial de Santa Maria
Caderno Didático 3
Progressão Aritmética
e Progressão Geométrica
Série: Matemática I
Por:
Professora Angélica Magagnangmo
Professor Mauricio R. Lutz
Agosto de 2020
a ( 2 ) ( 1 )
n 1 1 1
5 4 1 1
4 3 1 1
3 2 1 1
2 1
1 1
a - r a n r r a rn
a a r a r r a r
a a r a r r a r
a a r a r r a r
a a r
a a r
n
n 1 1 (^2 )^11 (^1 )
5 4 1 1 3 1 1 4
4 3 1 1 2 1 1 3
3 2 1 1 1 1 1 2
2 1 1
1 1 0
a...
= - = - =^ -
an q aqn q a q^ n
a a q a q q a q
a a q a q q a q
a a q a q q a q
a a q
a a q
i
- PROGRESSÃO ARITMÉTICA SUMÁRIO
- 1 DEFINIÇÃO
- 2 CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.A.
- 3 REPRESENTAÇÃO DE UMA P.A.
- 4 FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.
- 5 PROPRIEDADES DAS P.A.
- 6 INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA
- 7 FORMULA DA SOMA DOS “n” TERMOS DE UMA P.A. FINITA
- 8 DEFINIÇÃO
- 9 REPRESENTAÇÃO DE UMA P.G.
- 10 CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.G.
- 11 FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.G.
- 12 PROPRIEDADES DAS P.G.
- 13 INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA
- 14 FORMULA DA SOMA DOS “n” TERMOS DE UMA P.G. FINITA
- 15 FORMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA
- 16 PRODUTO DOS TERMOS DA UMA P.G. FINITA - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Professores Angélica Magagnangmo e Mauricio Lutz PROGRESSÃO ARITMÉTICA
1 DEFINIÇÃO
Progressão aritmética (P.A.) é uma seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com um número fixo, chamado razão da progressão.
Exemplos: a)
Nesta seqüência, 3 é a razão da P.A.
b)
Nesta seqüência, -5 é a razão da P.A.
2 CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.A.
Uma progressão aritmética pode ser: crescente, decrescente ou constante.
Exemplos: a) Seja a P.A. determine a razão e classifique-a:
Como logo a P.A. é crescente.
b) Seja a P.A. determine a razão e classifique-a:
Como logo a P.A. é decrescente.
( 2 , 5 , 8 , 11 , 14 ,...)
ï
ï þ
ïïý
ü
( 12 , 7 , 2 ,- 3 ,- 8 ,- 13 ,...)
ï
ï
ï þ
ïï
ï ý
ü
( 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ) r = 4 - 3 = 1 \ r = 1 r = 1 > 0
( 10 , 8 , 6 ,...) r = 8 - 10 =- 2 \ r =- 2 r =- 2 < 0
Professores Angélica Magagnangmo e Mauricio Lutz
(1) Exercícios
- Determine: a) O valor de “ x ”, tal que os números e
formem, nessa ordem, uma P.A. b) O valor de “ x ”, de modo que os números
estejam, nessa ordem, uma P.A. c) O valor de “ x ”, de modo que os quadrados dos números formem, nessa ordem, uma P.A.
- As medidas dos lados de um triângulo são expressas por e e estão em P.A., nessa ordem. Calcule o perímetro do
triângulo.
- Determine o valor de “ x ” para que os números e estejam, nessa ordem, em P.A.
4 FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.
Neste item demostraremos uma fórmula que permite encontrar qualquer termo de uma progressão aritmética sem precisar escrevê-la completamente. Seja a P.A. de razão ” r ”.
Onde: é o enésimo termo (termo geral); é o primeiro termo; é a razão;
x^2 , ( x + 2 )^2 ( x + 3 )^2
3 x - 1 , x + 3 , x + 9
( x + 1 ) , x + 15 ,( x + 3 )
x + 1 , 2 x x^2 - 5
log 2 8 ,log 2 ( x + 9 ) log 2 ( x + 7 )
( a (^) 1 , a 2 , a 3 ,... an - 1 , an )
a ( 2 ) ( 1 )
n 1 1 1
5 4 1 1
4 3 1 1
3 2 1 1
2 1
1 1
a - r a n r r a rn
a a r a r r a r
a a r a r r a r
a a r a r r a r
a a r
a a r
n
a (^) n = a 1 + r ( n - 1 ) a n a 1 r
Professores Angélica Magagnangmo e Mauricio Lutz é o número de termos. Exemplos: a) Encontrar o termo gral da P.A..
b) Determine o número de termos da P.A..
c) Achar o número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21 e 623.
Aplicando-se a fórmula do termo geral, vem:
(2) Exercícios
- Encontre o termo geral de P.A..
- Qual é o décimo quinto termo da P.A.?
- Ache o quinto termo da P.A..
- Ache “ ” numa P.A., sabendo que e.
- Calcule o número de termos da P.A..
- Quantos são os n.º naturais menores que 98 e divisíveis por 5.
5 PROPRIEDADES DAS P.A.
1º) Numa P.A., com exceção dos extremos, qualquer número é igual a soma do termo anterior com o termo posterior dividida por 2.
n
( 4 , 7 ,...) a (^) 1 = 4 ; r = 7 - 4 = 3 ; n = n ( ) ( ) 4 3 3 3 1
= + - Þ = +
= + - Þ = + -
a n a n
a a rn a n n n
n n
( - 3 , 1 , 5 ,..., 113 ) ( ) ( ) ( ) 113 3 4 4 120 4 30
1 =- + - Þ = Þ =
= + - Þ =- + -
n n n
a a rn n
r n
a 1 = an =
( ) ( ) 620 25 5 5 600 5 120
= + - Þ = Þ =
= + - Þ = + -
n n n
an a rn n
( 2 , 7 ,...) ( 4 , 10 ,...) ( (^) a + b , 3 a - 2 b ,...) a 1 r =^14 a 17 =^27 ( 5 , 10 ,..., 785 )
Professores Angélica Magagnangmo e Mauricio Lutz Logo.
b) Quantos meios aritméticos devemos interpolar entre 100 e 124 para que a razão seja 4?
Como é o número total de termos, devemos interpolar meios.
(4) Exercícios
- Insira 6 meios aritméticos entre 100 e 184.
- Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja 8?
7 FÓRMULA DA SOMA DOS “n” TERMOS DE UMA P.A. FINITA
a) Propriedade Consideremos a P.A. finita e nela podemos
destacar 6 e 34, que são os extremos.
são termos eqüidistantes dos extremos
Verifica-se facilmente, que: (soma dos extremos)
(soma de dois termos eqüidistantes dos extremos)
Daí a propriedade: Numa P.A. finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.
( 6 , 10 , 14 , 18 , 22 , 26 , 30 )
( ) ( ) 124 100 4 4 28 4 7
= + - Þ = \ =
= + - Þ = + -
n n n
an a rn n
n = 7 7 - 2 = 5
( 6 , 10 , 14 , 18 , 22 , 26 , 30 , 34 )
ï þ
ï ý^ ü 18 22
e
e
e
6 + 34 = 40 Þ
ï þ
ï ý
ü
Professores Angélica Magagnangmo e Mauricio Lutz
Assim, dada a P.A. finita:
Temos:
b) Fórmula Sejam a P.A. finita e “ Sn ” a soma dos
termos dessa P.A.
Como e e são eqüidistantes dos extremos, suas
somas são iguais a , logo:
Onde: é o primeiro termo; é o enésimo termo; é o número de termos; é a soma dos “ n ” termos.
Exemplos: a) Achar a soma dos 30 primeiros termos da P.A..
Calculo de
n n
n n a a a a
a a a a
3 2 1
2 1 1
( a 1 (^) , a 2 , a 3 ,..., an - 2 , an - 1 , an )
1 2 3 2 1
1 2 3 2 1 ...
S a a a a a a
S a a a a a a n n n n
n n n n
2 S (^) n = ( a 1 + an )+( a 2 + an - 1 )+( a 3 + an - 2 )+...+( an - 2 + a 3 )+( an - 1 + a 2 )+( an + a 1 ) a 2 an - 1 , a 3 an - 2 ( a 1 (^) + an ) 2 S (^) n = ( a 1 + an )+( a 2 + an - 1 )+( a 3 + an - 2 )+...+( an - 2 + a 3 )+( an - 1 + a 2 )+( an + a 1 ) 2 S (^) n =( a 1 + an ) n
2 S (^ a^1 an^ ) n n
=^ +
a 1 a n n S n
( 2 , 5 ,...) a 1 = 2 ; r = 3 ; n = 30 a n an = a 1 + r ( n - 1 ) Þ a 30 = 2 + 3 ( 30 - 1 ) Þ a 30 = 2 + 87 = 89 \ a 30 = 89
Professores Angélica Magagnangmo e Mauricio Lutz
(6) Testes
- (FEI) O 10º termo da P.A. é igual a
a) 11a/2 b) 9a/2 c) 7a/2 d) 13a/2 e) 15a/
- Numa P.A., o 2º termo é 5 e o 6º termo é 17. A razão da P.A. é a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
- Sabendo que numa P.A., o 4º termo é 8 e o 10º termo é 50, o valor do 13º termo é a) 51 b) 31 c) 20 d) 42 e) 71
- (PUC) A razão para inserir 7 meios aritméticos entre 3 e 99 é a) 16 b) 12 c) 8 d) 17 e) nenhuma resposta anterior
- Numa P.A. temos o 1º termo da P.A. é
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
- A quantidade de múltiplos de 5 existentes entre 8 e 101 é a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21
- (UFRGS) O número de múltiplos de 7 entre 50 e 1206 é a) 53 b) 87 c) 100 d) 165 e) 157
- (FAAT) A quantidade de números compreendidos entre 1 e 5000 que são divisíveis por 3 e 7, é a) 138 b) 238 c) 137 d) 247 e) 157
- (UNISINOS) Os ângulos internos de um triângulo estão em progressão aritmética. Se o menor deles mede a metade do maior, então o maior mede:
çèæ^ a ,^32 a ,... ÷øö
îí
ì
4 7
3 6 a a
a a
Professores Angélica Magagnangmo e Mauricio Lutz a) 80º b) 90º c) 100º d) 60º e) 120º
- A soma de três números em P.A. é 12 e o produto é 28. O maior dos números é a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5
- O perímetro de um triângulo retângulo é 48cm e os seus lados estão em P.A.. A área do triângulo, em cm^2 , é igual a a) 108 b) 96 c) 64 d) 54 e) 48
- Os lados de um triângulo retângulo estão em P.A. de razão 3. O perímetro do triângulo é a) 36 b) 27 c) 24 d) 22 e) 18
- (ULBRA) O valor de “ a ” na P.A. é a) – 1 b) 1 c) – 3 d) 3 e) 6
- (UPF) Os três primeiros termos de uma seqüência aritmética estão representados por. O valor da razão dessa seqüência
é a) – 3 b) – 2 c) 3 d) 2 e) – 5
- (UFRGS) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por e estão em P.A., nesta ordem. O perímetro do triângulo é
a) 8 b) 12 c) 15 d) 24 e) 33
16.(UFSM) Um quadrado de área A 1 está contido no interior de um outro maior de área A 1 +A 2. Se o lado do quadrado maior é 9cm e os números A 1 ,A 2 ,A 1 +A 2 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então o lado do menor quadrado mede, em centímetros:
a) b) 3 c) 2 d) 3 e) 4,
( 2 a , 4 a + 2 , 8 a + 6 )
( 2 x + 5 , x - 4 , 3 x - 1 )
x + 1 , 2 x , x^2 - 5
Professores Angélica Magagnangmo e Mauricio Lutz
- (FGV–SP) A seqüência é uma progressão
aritmética. Sua razão é a) –3 b) 3 c) 7 d) –7 e) impossível determinar
- (PUC–SP) O 24º termo de P.A. é:
a) 35 b) 45 c) 28 d) 38 e) 25/
- (FATEC–SP) A soma dos nove primeiros termos de uma progressão aritmética de razão 2 é 9. O terceiro termo dessa progressão é: a) –9 b) –7 c) –3 d) 8 e) 12
- (FGV–SP) A soma dos termos de uma P.A. cujo primeiro termo é 4, o último termo é 46 e a razão é igual ao número de termos é: a) 50 b) 100 c) 175 d) 150 e) n.d.a.
(CESCEM–SP) Numa P.A. limitada em que o 1º termo é 3 e o último termo é 31, a soma de seus termos é 136. Então, essa P.A. tem: a) 8 termos b) 10 termos c) 16 termos d) 26 termos e) 52 termos
(UNISC) Em uma rodovia muito movimentada, havia 2 telefones instalados nos quilômetros de número 2 a 50. A população conseguiu 11 novos telefones para serem instalados, a igual espaçamento um do outro, entre aqueles 2 existentes. Assim sendo, a distância entre cada telefone deverá ser de: a) 3 km b) 4 km c) 4,8 km d) 5 km e) 5,2 km
Vinte pessoas se reúnem para doar uma certa quantia para uma instituição. A primeira pessoa oferece 350 reais e cada uma das seguintes dá 50 reais a mais que a anterior. Qual a quantia total doada? a) 1200 reais b) 1350 reais c) 16500 reais d) 13000 reais e) 14000 reais
( 3 m , m + 1 , 5 )
çèæ^12 ,^2 , 27 ,... ÷øö
Professores Angélica Magagnangmo e Mauricio Lutz
(UFPEL) Numa campanha promocional de venda de veículos, uma concessionária propôs a seguinte condição para um automóvel do tipo popular: R$ 3500,00 de entrada mais 36 parcelas. A primeira é de R$ 436,00 e cada umas das demais parcelas sofre um abatimento de R$ 5,00. O valor total do carro é: a) R$ 15516, b) R$ 12546, c) R$ 13849, d) R$ 16046, e) 19016,
(UFSM) Numa progressão aritmética crescente, os dois
primeiros termos são as raízes da equação. Sabendo que o número de termos dessa PA é igual ao triplo de sua razão, então a soma dos termos dessa PA é igual a a) –378 b) –282 c) 98 d) 294 e) 846
(UFRGS) O primeiro termo de uma progressão aritmética é – e a soma dos oito primeiros termos, 60. A razão é a) –15/7 b) 15/7 c) 5 d) 28 e) 35
(UFRGS) Numa progressão aritmética de 7 termos, o último termo é igual ao dobro da razão e a soma de todos eles é 28. Determine a razão. a) 14/12 b) 0,5 c) –14/11 d) –2 e) –
(UFSM) Um oficial comanda 325 soldados e que formá-los em disposição triangular, de modo que a primeira fila tenha 1 soldado, a segunda 2, a terceira 3 e assim por diante. O número de filas assim constituídas será a) 20 b) 24 c) 25 d) 27 e) 28
x^2 + 2 x - 8 = 0
Professores Angélica Magagnangmo e Mauricio Lutz
- n=
- n=
(3) 1.x=
- r=
- TM=
(4) 1. r=
- n=
(5) 1. S=-
- S=-
- S=
- x-y=-
(6) 1) A 2) C 3) E 4) B 5) C
- C 7) D 8) B 9) A 10) C
- B 12) A 13) A 14) E 15) D
- D 17) C 18) C 19) B 20) E
- C 22) E 23) B 24) A 25) C
- C 27) A 28) C 29) C 30) A
- B 32) C 33) D 34) E 35) C
- E 37) C 38) B 39) A 40) B
Dica: Sn=1n^2 +2n a 1 =1+2= r=1x2=
Sn=2n^2 -3n a 1 =2-3=- r=2x2=
16 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
8 DEFINIÇÃO
Progressão geométrica (P.G.) é uma seqüência de números não nulos em que cada termo posterior, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo, chamado razão da progressão.
Exemplos: a)
Nesta seqüência, o número fixo 2 é a razão da P.G.
b)
Nesta seqüência, o número fico -3 é a razão da P.G.
9 REPRESENTAÇÃO DE UMA P.G.
A representação matemática de uma progressão geométrica (P.G.) é:
Logo : ou
e
( 4 , 8 , 16 , 32 , 64 )
ï
ï þ
ïïý
ü
( 6 , - 18 , 54 ,- 162 )
ïþ
ïýü
( a 1 , a 2 , a 3 ,..., an , an + 1 ,...)
aa aa aa q n
= = = n^ +^1 = 2
3 1
a (^) n + 1 = an. q " n Î N^ * q ÎÂ
