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AULA 13
PROF. PAULO
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Progressão aritmética é uma seqüência na qual cada termo é o termo anterior mais a razão. Exemplo: A seqüência (1; 3; 5; 7; 9; 11; ...) é uma progressão aritmética com primeiro termo 1 e razão 2. Note que 3 = 1 + 2; 5 = 3 + 2; 7 = 5 + 2... Para calcular a razão, basta fazer um termo menos o anterior r = 3 – 1 ou r = 5 – 3 ou r = 7 – 5... O primeiro termo da progressão é chamado a 1 , o segundo termo a 2 , o
terceiro termo a 3 e assim por diante. Um termo genérico da seqüência
é chamado a (^) n.
A seqüência pode ser representada por: a (^) n = ( a 1 (^) ; a 2 ; a 3 ;...; an ; ... )
TERMO GERAL Como já foi visto, cada termo de uma P.A. é o anterior mais a razão (r), assim: a 1
a 2 = a 1 + r
a 3 = a 2 + r = a 1 + r + r = a 1 + 2r
a 4 = a 3 + r = a 1 + 2r + r = a 1 + 3r
a 5 = a 4 + r = a 1 + 3r + r = a 1 + 4r
. . . a (^) n = a 1 + (n – 1).r ( termo geral da P.A.)
Exemplo 1 :
- Calcular o vigésimo termo da P.A. ( 1, 3, 5, 7, 9, ...) Resolução: a 1 = 1 r = 3 – 1 = 2 n = a (^) n = a 1 + (n – 1).r
a 20 = a 1 + (20 – 1).r
a 20 = a 1 + 19.r a 20 = 1 + 19. a 20 = 1 + 38
a 20 = 39 Exemplo 2 :
Calcule o primeiro termo de uma P.A. em que o décimo termo é 100 e a razão é 4. Resolução: a 10 = 100
r = 4 a (^) n = a 1 + (n – 1).r
a 10 = a 1 + (10 – 1).r
a 10 = a 1 + 9.r
100 = a 1 + 9.
100 = a 1 + 36
100 – 36 = a 1
a 1 = 64
Sendo a (^) n e a (^) m dois termos quaisquer da P.A., então:
a (^) n =a (^) m + (n – m).r
Exemplo: Calcule a razão de uma P.A. em que o quarto termo é 25 e o décimo termo é 43. Resolução: a 4 = 25 e a 10 = 43 a (^) n = a (^) m + ( n – m ).r a 10 = a 4 + ( 10 – 4 ).r a 10 = a 4 + 6.r 43 = 25 + 6.r 43 – 25 = 6.r 18 = 6.r 6.r = 18 r = 6
r = 3
TERMO MÉDIO DA P.A. Em toda P.A. cada termo, a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior. P.A. ( 7, 9, 11, ... )
a 15 = a 1 + (15 – 1).r
a 15 = a 1 + 14.r
80 = 10 + 14.r 80 – 10 = 14.r 70 = 14.r
= r
r = 5
- Inserindo-se cinco meios aritméticos entre 7 e 25 obtemos uma progressão aritmética cujo terceiro termo é: a) 3 b) 7 c) 9 d) 11 e) Resolução: P.A. ( 7; a 2 ; a 3 ; a 4 ; a 5 ; a 6 ; 25)
a 1 = 7 e a 7 = 25
a (^) n = a 1 + (n – 1).r
a 7 = a 1 + (7 – 1).r
a 7 = a 1 + 6.r
25 = 7 + 6.r 25 – 7 = 6.r 18 = 6.r
(^18) = r
r = 3 a (^) n = a 1 + (n – 1).r
a 3 = a 1 + (3 – 1).r
a 3 = a 1 + 2.r
a 3 = 7 + 2.
a 3 = 7 + 6
a 3 = 13
Resposta e
- Calcular o primeiro termo de uma P.A. em que o quinto termo é 17 e o décimo segundo termo é 52. Resolução: a 5 = 17 e a 12 = 52
a (^) n = a (^) m + ( n – m ).r
a 12 = a 5 + ( 12 – 5 ).r
a 12 = a 5 + 7.r
52 = 17 + 7.r
52 – 17 = 7.r 35 = 7.r
= r
r = 5
a (^) n = a 1 + (n – 1).r
a 5 = a 1 + (5 – 1).r
a 5 = a 1 + 4.r
17 = a 1 + 4.
17 = a 1 + 20
17 – 20 = a 1
a 1 = -
- Os lados de um triângulo retângulo formam uma P.A. de razão 2. A área desse triângulo em unidades de área é: a) 2 b) 12 c) 48 d) 24 e) 36 Resolução:
a a + 4
a + 2 (Teorema de Pitágoras) (a+ 4) 2 = (a + 2) 2 + a 2 a 2 + 8a + 16 = a 2 + 4a + 4 + a 2 a 2 + 8a + 16 - a 2 - 4a - 4 - a 2 = 0
- a 2 + 4a + 12 = 0 D = b 2 - 4ac = 4 2 - 4(-1). D = 16 + 48 = 64
a = a
b 2
- ± D
a = 2
a’= 2
= -2 (Não serve)
a”= 2
