Universidade do Estado do Rio de Janeiro.
Rio de Janeiro, 29 de julho de 2022.
Primeira Prova de ´
Algebra Linear III
Aluno:
Turma:( )03 ( )10
Professora: Joice Santos
1. (2.5 pontos) Sejam A=2 6
2 1eB=4 7
1 2matrizes invert´ıveis. Determine o tra¸co
da matriz Xonde: 10(At)−1.B +Xt.B =B.At.B +B2.
Resosta: tr(X) = 63.
Solu¸c˜ao: 10(At)−1.B +Xt.B =B.At.B +B2
(10(At)−1+Xt).B = (B.At+B).B
Como B´e invert´ıvel: 10(At)−1+Xt=B.At+B.
Aplicando a transposta: (10(At)−1+Xt)t= (B.At+B)t.
(10(At)−1)t+ (Xt)t= (B.At)t+Bt.
10A−1+X=A.Bt+Bt.
X=A.Bt+Bt−10A−1.
Substituindo os valores de A,Be sabendo que A−1=−1
10 1−6
−2 2 tem-se: X=
2 6
2 1.4 1
7 2+4 1
7 2+1−6
−2 2 .
X=50 14
15 16+4 1
7 2+1−6
−2 2 =55 9
20 8.
Logo, tr(X) = 63.
2. (2.5 pontos) Determine o(s) valor(es) de apara que o sistema linear
2x+y−z=−4
−x+ay + 3z=a
x+ 3y+az =−2
seja poss´ıvel e determinado:
Resposta: a∈R− {−3,2}.
Solu¸c˜ao: Matriz associada:
2 1 −1−4
−1a3a
1 3 a−2
2L2+L1→L2
2L3−L3→L3
2 1 −1−4
0 2a+ 1 5 2a−4
0 5 2a+ 1 0
(2a+ 1)L3−5L2→L3
2 1 −1−4
0 2a+ 1 5 2a−4
0 0 (2a+ 1)2−25 5(2a−4)
.
Assim para que o sitema seja poss´ıvel e determinando ´e necess´ario que (2a+ 1)2−25 6=
0. Ou seja, a6=−3 e a6= 2.
3. (2 pontos) Considere os subespa¸cos vetoriais de V=R4,W1=ger
2
2
0
2
,
0
1
1
1
,
3
0
−3
0
eW2=ger
1
2
1
2
,
−1
1
2
1
. Determine se W1=W2ou n˜ao:
Resposta: W1=W2pois as equa¸c˜oes que definem os dois subespa¸cos s˜ao iguais.
Solu¸c˜ao: Vamos encontrar as equa¸c˜oes que definem W1:
1
