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ao Normal
(ou Gaussiana)
C´alculo de Probabilidades
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Slides de Probabilidade, Notas de aula de Probabilidades e Processos Estocásticos
Slides da aula de probabilidade
Tipologia: Notas de aula
2021
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Distribuic¸˜ao Normal
(ou Gaussiana)
C´alculo de Probabilidades
Relembrando...
Se Z ∼ N(0; 1) e I = [a, b] ´e um intervalo da reta real, ent˜ao
P (a ≤ Z ≤ b) =
∫ (^) b
a
2 π
e−z (^2) / 2 dz.
Tabela de uma v.a. normal padr˜ao (livro texto)
Exemplo 1
Seja Z uma vari´avel aleat´oria cont´ınua tal que Z ∼ N(0; 1), determine:
(a) P (0 < Z < 1 , 73). (b) P (Z < 0). (c) P (Z < 1 , 73). (d) P (Z > 1 , 73). (e) P (− 1 < Z < 0).
(f) P (− 1 < Z < 1). (g) P (Z > − 2 , 50). (h) P (− 2 < Z < 1 , 06). (i) P (0, 47 < Z < 1 , 73). (j) o n´umero real c tal que P (Z ≤ c) = 0, 9495.
Exemplo 1(b): Solu¸c˜ao.
Sabendo que a ´area total ´e igual a 1 e que a curva da normal padr˜ao ´e sim´etrica em torno de 0, temos que
P (Z < 0) = 0, 5.
Exemplo 1(c): Solu¸c˜ao.
Temos que
P (Z < 1 , 73) = P (Z < 0) + P (0 < Z < 1 , 73)
Exemplo 1(e): Solu¸c˜ao.
Por simetria, temos que
P (− 1 < Z < 0) = P (0 < Z < 1) ' 0 , 34134.
Exemplo 1(f): Solu¸c˜ao.
Por simetria, temos que
P (− 1 < Z < 1) = 2 × P (0 < Z < 1)
' 2 × 0 , 34134 = 0, 68268.
Exemplo 1(h): Solu¸c˜ao.
Temos que
P (− 2 < Z < 1 , 06) = P (− 2 < Z < 0) + P (0 < Z < 1 , 06) = P (0 < Z < 2) + P (0 < Z < 1 , 06) ' 0 , 47725 + 0, 35543 = 0 , 83268.
Exemplo 1(i): Solu¸c˜ao.
Temos que
P (0, 47 < Z < 1 , 73) = P (0 < Z < 1 , 73) − P (0 < Z < 0 , 47) ' 0 , 45818 − 0 , 18082 = 0 , 27736.
Exemplo 2
Seja X uma vari´avel aleat´oria cont´ınua tal que X ∼ N(10; 4). Calcule as
seguintes probabilidades:
(a) P (10 < X < 12).
(b) P (|X − 10 | < 3 , 1).
(c) O n´umero real c tal que P (X ≤ c) = 0, 121.
Exemplo 2(a): Solu¸c˜ao.
Temos que μ = 10 e σ = 2. Al´em disso, Z = X − μ σ
∼ N(0; 1) (ver Propriedade 10).
Da´ı,
P (10 < X < 12) = P
X − 10
= P (0 < Z < 1).
Consultando a Tabela III (livro texto) obtemos P (0 < Z < 1) ' 0 , 34134.
Exemplo 2(c): Solu¸c˜ao.
Temos que
P (X ≤ c) = 0, 121 =⇒ P
X − 10
c − 10 2
=⇒ P (Z ≤ z) = 0, 121 , em que z = c − 10 2
Exemplo 2(c): Solu¸c˜ao.
Assim
P (Z ≤ z) = 0, 121 =⇒ P (z ≤ Z ≤ 0) = 0, 5 − 0 , 121 = 0, 379
=⇒ P (0 ≤ Z ≤ −z) = 0, 379 =⇒ −z = 1, 17
=⇒ z = − 1 , 17 =⇒ c − 10 2 = − 1 , 17 =⇒ c = 7, 66.