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Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Física e Química
Física Experimental I – FIS
MOVIMENTO BIDIMENSIONAL
Relatório
Professor Antônio Marques
Experiência 03 data: 05/09/
Número Nome Assinatura
14389 Bruno Cursino Moreira
14416 Marion Yudi Arai Ohira
14419 Murilo Santos Ferreira
ÍNDICE
1 1. Sumário.................................................................................................... 2
2 2. Objetivos.................................................................................................. 2
3 3. Introdução................................................................................................ 3
4 5. Fundamentação Teórica........................................................................... 4
7 6. Procedimentos e Resultados.................................................................... 5
8 7. Conclusão:............................................................................................... 14
9 8. Referências Bibliográficas:...................................................................... 15
1. Sumário
Este relatório trata da experiência intitulada “Movimento Bidimensional” que foi
realizada no Laboratório de Física na Universidade Federal de Itajubá. Nela obtivemos
a visualização de um movimento em duas dimensões através do lançamento de um
disco ( puck ) sobre uma mesa de ar quando a mesma está inclinada.
Após a obtenção de dados a partir de uma filmagem digital obtida durante o
decorrer do movimento, pode-se analisar mais profundamente o movimento nas duas
dimensões e comprová-lo matematicamente, como será mostrado neste relatório.
2. Objetivos - Visualizar um movimento em duas dimensões; - Efetuar análises e cálculos sobre esse movimento; - (^) Retirar conclusões e compará-las com a teoria vista em aula; - Obter registros de um movimento de um puck sobre a mesa quando esta é
inclinada.
5. Fundamentação Teórica
Determinação da equação da reta
Para determinar a equação de uma reta à partir de um gráfico, deve-se escolher
dois pontos, a e b, o mais distantes o possível. Através da geometria analítica, toma-se
dois pontos P1 (x1,y1) e P2 (x 2,y2) e os substituímos na equação da reta. Teremos então
um sistema de equações que resolvido fornecerá os valores a e b.
Os cálculos a serem feitos, estão demonstrados abaixo:
Determinação da velocidade instantânea
Para determinar a velocidade de um corpo, basta calcular a razão entre a
distância e o tempo percorridos. Quando desejamos descobrir a velocidade instantânea,
devemos calcular o limite para o tempo tendendo à zero.
Determinação da aceleração
Podemos determinar a aceleração através da derivada da velocidade em função
do tempo:
6. Procedimentos e Resultados
Com a utilização de uma camera digital de video, pudemos registrar todo o
percurso do puck durante o experimento, gerando como resultado um arquivo de video
digital, que utilizamos para todas as análises do experimento.
- (^) Cálculo das dimensões físicas do experimento.
Para o cálculo das dimensões (distâncias e comprimentos) nas imagens foi usado
regras de proporção. Ao invés de utilizarmos régua como equipamento para as
medições, usamos recursos computacionais, calculando as dimensões proporcionais às
quantidades de pixels da dimensão a ser calculada. Foi escolhido este método para
aumentar a precisão do experimento. Como base, usamos o diâmetro do puck, que foi
medido em laboratório:
Diâmetro do puck em pixels:
Diâmetro do puck = (88,45 ± 0,05) mm
Diâmetro do puck (pixel) = (36,33 ± 4,34) pixels
(88,45 ± 0,05 ) / (36,33 ± 4,34) = (2,43 ± 0,29) mm.
Sendo assim, podemos determinar, aproximadamente, que um (1) pixel
corresponde a cerca de 2,43 mm.
Gráfico X x Y
Tabela 1: posições e
Fazendo uso de dois pontos, pode-se calcular a equação da reta. Com os pares
(0,,00 s, 0,000 cm) e (2,84 s, -59,778 cm) temos a equação:
y = -21,049x.
sendo -21,049 o coeficiente angular da reta, pode-se considerar que o puck
tem uma velocidade de 21,049 cm/s em módulo.
Pode se facilmente observar, através do gráfico e da tabela, que a
componente da velocidade no eixo X é uma constante, mas existe mesmo assim uma
pequena variação.
Tal variação se deve aos erros, por parte dos alunos ou do próprio
equipamento, como por exemplo: a filmagem do puck não foi feita da maneira mais
correta possível, uma vez que na imagem refletida no espelho, que era lançada à
câmera, um dos extremos da mesa de ar aparece mais distante que o outro extremo, o
que causa uma pequena distorção na imagem gravada.
Tabela 2: posições e correspondentes tempos do puck no eixo Y:
Imagem Frame Tempo (s) Tempo corrigido (s) Y (pixel) Y (cm) (Y / tempo) (cm /
Como observado anteriormente, os segundos são considerados números exatos, sem incertezas.
- 1 12 0,48 0,00 0 0,000 ± 0,005 0,000 ± 0, s) - 2 14 0,56 0,08 30 7,290 ± 0,005 91,125 ± 0, - 3 19 0,76 0,28 66 16,038 ± 0,005 57,279 ± 0, - 4 23 0,92 0,44 101 24,543 ± 0,005 55,780 ± 0, - 5 26 1,04 0,56 130 31,590 ± 0,005 56,411 ± 0, - 6 28 1,12 0,64 154 37,422 ± 0,005 58,472 ± 0, - 7 30 1,20 0,72 162 39,366 ± 0,005 54,675 ± 0, - 8 33 1,32 0,84 185 44,955 ± 0,005 53,518 ± 0, - 9 36 1,44 0,96 204 49,572 ± 0,005 51,638 ± 0,
- 10 40 1,60 1,12 225 54,675 ± 0,005 48,817 ± 0,
- 11 45 1,80 1,32 238 57,834 ± 0,005 43,814 ± 0,
- 12 50 2,00 1,52 248 60,264 ± 0,005 39,647 ± 0,
- 13 54 2,16 1,68 254 61,722 ± 0,005 36,739 ± 0,
- 14 59 2,36 1,88 253 61,479 ± 0,005 32,702 ± 0,
- 15 62 2,48 2,00 250 60,750 ± 0,005 30,375 ± 0,
- 16 66 2,64 2,16 238 57,834 ± 0,005 26,775 ± 0,
- 17 71 2,84 2,36 227 55,161 ± 0,005 23,373 ± 0,
- 18 75 3,00 2,52 204 49,572 ± 0,005 19,671 ± 0,
- 19 79 3,16 2,68 180 43,740 ± 0,005 16,321 ± 0,
- 20 83 3,32 2,84 158 38,394 ± 0,005 13,519 ± 0,
- 21 87 3,48 3,00 118 28,674 ± 0,005 9,558 ± 0,
- 22 90 3,60 3,12 94 22,842 ± 0,005 7,322 ± 0,
- 23 93 3,72 3,24 62 15,066 ± 0,005 4,650 ± 0,
- 24 96 3,84 3,36 26 6,318 ± 0,005 1,880 ± 0,
- 25 99 3,96 3,48 0 0,000 ± 0,005 0,000 ± 0,
Sendo o coeficiente angular da reta igual a -0,6579, podemos considerar que a
velocidade (22,907 cm/s) sofre uma desaceleração de -0,6579 cm/s².
Pode-se agora comprar o resultado dessa equação com a equação da reta do gráfico da
Tabela 1, ou seja, a velocidade encontrada anteriormente (21,049 cm/s) é bem próxima
da velocidade encontrada agora (22,907 cm/s).
Gráfico (Distância X / Tempo) x Tempo
O gráfico acima (distância do eixo Y dividido por tempo em relação ao próprio
tempo), não apresenta um significado físico, embora possa parecer que exista uma
lógica no mesmo, esse gráfico não apresenta a aceleração ou posição do puck em
determinado instante.
A única coisa que podemos encontrar com esse gráfico é a velocidade inicial do
puck no eixo Y, mas para tanto, é mais conveniente analisa o movimento apenas nos
treze primeiros pontos, pois é na décima terceira imagem que o puck atinge V y = 0.
Assim tem-se um novo gráfico, medindo gerado até o momento em que V y = 0.
Através do novo gráfico, obtém-se a nova fórmula:
y = -6,3204x + 54,795.
O coeficiente angular deve ser desconsiderado, pois o gráfico dessa forma não
permite o cálculo do mesmo, mas possibilita uma aproximação da velocidade inicial do
puck no eixo Y, de cerca de 54,795 cm/s. Porém tal resultado difere muito do resultado
obtido através do gráfico da tabela 2, no qual a velocidade inicial no eixo Y é igual a
71,980 cm/s. sendo mais confiável o resultado anterior, e sendo esse outro muito mais
incerto, adota-se V y0= 71,980cm/s.
Calculando os vetores:
Através de todos os gráficos mostrados até então, podemos definir:
x(t) = -0,6597t² + 22,907t e y(t) = -41,296t² + 71,980t
dx/dt = -0,6579t -+22,907 e dy/dt = -41,296t + 71,
d²x/dt² = -0,6579 e d²y/dt² = -41,
As primeiras equações representam as posições em função do tempo;
As segundas equações representam as derivadas das primeiras equações, ou seja,
as derivadas das posições, a velocidade instantânea do puck;
As terceiras equações representam as derivadas das segundas equações, ou seja,
representam as derivadas das velocidades instantâneas, a aceleração instantânea.
Para calcular agora os vetores resultantes, consideremos i um vetor unitário
paralelo ao eixo x e j um vetor unitário paralelo ao eixo y. Assim, temos:
r(t) = (x)i + (y)j = (-0,6597t² + 22,907t)i + (-41,296t² + 71,98t)j
v(t) = (dx/dt)i + (dy/dt)j = (-0,6579t + 22,907)i + (-41,296t + 71,98)j
v 0 = 22,907i + 71,98j
a(t) = (d²x/dt²)i + (d²y/dt²)j = -0,6579i – 41,296j
Percebe-se através dessas equações, que existe uma aceleração em ambos os
eixos (X e Y), porém no eixo X a aceleração é muito menor que no eixo Y, sendo que as
duas acelerações provocam uma redução no módulo das velocidades em cada eixo.
O ângulo de lançamento do puck é determinado pela fórmula:
Arco tangente (V y0 / V 0x ) = Arco tangente (71,98 / 22,907)=
Y = -41,308t² + 72,347t
R = XI + YJ
R = (-0,0031t² + 21,755t)I + (-41,308t² + 72,347t)J
Obtendo o valor de R, podemos calcular os valores de V (vetor velocidade no
novo sistema), V 0 (velocidade inicial no novo sistema) e o vetor A (vetor aceleração no
novo sistema), bastando aplicar derivada em função de t em R.
V = (-0,0062t + 21,755)I + (-82,616t + 72,347)J
A = (-0,0062)I + (-82,6161)J
O ângulo de lançamento do puck é determinado pela fórmula:
Arco tangente (Vy0 / V 0x ) = Arco tangente (72,347 / 21,755)=
Arco tangente (3,326) = 73,264°.
O lançador fazia um ângulo de 73,264°com o eixo X.
Sistema ( x;y )
r vetor (-0,6597t² + 22,907t)i + (-41,296t² + 71,98t)j
cm módulo ((-0,6597t² + 22,907t)² + (-41,296t² + 71,98t)²)½
v vetor (-0,6579t + 22,907)i + (-41,296t + 71,98)j
cm/s módulo ((-0,6579t + 22,907)² + (-41,296t + 71,98)²)½
v o vetor 22,907i + 71,98j
cm/s módulo (22,907² + 71,98²)½
_ a _ vetor -0,6579i – 41,296j
cm/s 2 módulo ((-0,6579) + (– 41,296))½
ângulo de lançamento 72,347°
arccos ( i·I ) ------------x------------
arccos ( j·J ) ------------x------------
Sistema ( X;Y )
r vetor (-0,0031t² + 21,755t)I + (-41,308t² + 72,347t)J
cm módulo ((-0,0031t² + 21,755t)² + (-41,308t² + 72,347t)²)½
v vetor (-0,0062t + 21,755)I + (-82,616t + 72,347)J
cm/s módulo ((-0,0062t + 21,755)² + (-82,616t + 72,347)²)½
v o vetor (21,755)I+ (72,347)J
cm/s módulo ((21,755)² + (72,347)²)½
_ a _ vetor (-0,0062)I + (-82,6161)J
cm/s 2 módulo ((-0,0062)² + (-82,6161)²)½
ângulo de lançamento 73,264°
arccos ( i·I )
arccos ( j·J )
7. Conclusão:
Relatando a experiência realizada no laboratório de física da UNIFEI, neste
relatório pode-se encontrar uma boa análise de um Movimento Bidimensional através
da observação de um puck sobre uma mesa de ar, determinando seu sentido, velocidade
e aceleração através de imagens obtidas em determinados intervalos de tempo.
Calculou-se também as equações de posição, velocidade e aceleração no
movimento bidimensional num novo sistema de coordenadas, no qual o atrito no eixo x
pôde ser desprezado.
A partir dos cálculos, pôde-se concluir que tanto no eixo x quanto no eixo y o
movimento apresenta desaceleração constante (no sistema de coordenadas antigo), pois
não se conseguiu atingir um experimento perfeitamente ideal, devido à presença de
forças contrárias ao movimento, como: a resistência do ar, o atrito, entre outros.
