Momentos de Inércia e Oscilações em Sistemas Rígidos, Resumos de Engenharia Civil

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Resumo: FEP 2196

Humberto S. Shiromoto

Sum´ario

Sobre o resumo

Este resumo foi produzido enquanto fiz o curso de FEP 2196 (F´ısica II para engenharia). A maior parte dos textos foi extra´ıdo do livro de H. Moys´es Nussenzveig. Assim, todos os cr´editos s˜ao devidos a este autor. E recomendado ler a mat´´ eria nos livros Curso de F´ısica B´asica volumes 1, 2 e 4 do autor acima mencionado.

Cap´ıtulo 1

Mecˆanica

1.1 Rota¸c˜oes e momento angular

1.1.1 Cinem´atica do corpo r´ıgido

Defini¸c˜ao 1.1.1 (Corpo r´ıgido). Um corpo ´e r´ıgido quando a distˆancia entre duas part´ıculas quaisquer do corpo ´e invari´avel.

Defini¸c˜ao 1.1.2 (Graus de liberdade). Chamam-se graus de liberdade de um sistema os parˆametros que ´e preciso fixar para especificar a posi¸c˜ao do sistema.

1.1.2 Representa¸c˜ao vetorial das rota¸c˜oes

Consideremos um corpo r´ıgido em rota¸c˜ao em torno de um eixo e uma sec¸c˜ao transversal (perpendicular ao eixo de rota¸c˜ao) do corpo, que tomamos como plano xy de um sistema de coordenadas com origem O no eixo de rota¸c˜ao Oz (Fig. 11.7 - p´ag. 226).

Defini¸c˜ao 1.1.3 (Vetor deslocamento). Seja P um ponto da sec¸c˜ao transver- sal, `a distˆancia r da origem, que sofre um deslocamento infinitesimal (tomado como a dire¸c˜ao da tangente ao c´ırculo da figura) P P ′^ = δs com um ˆangulo de rota¸c˜ao infinitesimal δθ e seja OP = r o vetor posi¸c˜ao de P. Definimos o vetor deslocamento δs como sendo o produto vetorial indicado pelo sinal ×

δs = δθ × r

seu sentido e sua dire¸c˜ao ser˜ao dados pela regra da m˜ao direita.

CAP´ITULO 1. MEC ANICAˆ 6

mas drdt = v e portanto

d dt

(r × p) − (v × mv) ︸ ︷︷ ︸ =

d dt

(r × p).

segue que

τ =

dl dt

onde l = r × p ´e o que se chama momento angular da part´ıcula em rela¸c˜ao ao ponto O. O sentido e dire¸c˜ao do vetor seguem a regra da m˜ao direita.

A equa¸c˜ao 1.3 pode ser considerada como a lei fundamental da dinˆamica de rota¸c˜oes para uma part´ıcula: a taxa de varia¸c˜ao com o tempo do momento angular de uma part´ıcula em rela¸c˜ao a um ponto O ´e igual ao torque em rela¸c˜ao ao ponto O que atua sobre essa part´ıcula.

Lei da conserva¸c˜ao do momento angular de uma part´ıcula

τ = 0 ⇒ l = constante

ou seja, se a resultante dos torques em rela¸c˜ao a um dado ponto se anula, o momento angular do sistema em rela¸c˜ao a esse ponto se conserva. Isto vale sempre na ausˆencia de for¸cas externas; neste caso, como o torque ´e nulo em rela¸c˜ao a qualquer ponto do espa¸co, o momento angular em rela¸c˜ao a qualquer ponto se anula. Esta ´e uma lei de conserva¸c˜ao vetorial, ou seja, por um lado a conserva¸c˜ao de L implica na conserva¸c˜ao de seu m´odulo, dire¸c˜ao e sentido; por outro lado, a lei se aplica separadamente a cada componente.

Momento angular de um sistema de part´ıculas

Consideremos um sistema formado por N part´ıculas, e seja mi a massa da part´ıcula i (i = 1, 2 ,... , N ), de vetor de posi¸c˜ao ri(t) e velocidade vi(t) em rela¸c˜ao a uma dada origem O (Fig. 11.25 - p´ag. 235) no instante t. O momento angular total do sistema em rela¸c˜ao a O ´e

L =

∑^ N

i=

ri × pi =

∑^ N

i=

miri × vi

Se r i′ e v i′ s˜ao o vetor posi¸c˜ao e a velocidade da part´ıcula i em rela¸c˜ao ao CM, obtemos L = L′^ + R × P

CAP´ITULO 1. MEC ANICAˆ 7

onde L′^ =

∑^ N

i=

r′ i × p′ i; R =

∑^ N

i=

miri

∑N

i=

mi

; P = V

∑^ N

i=

mi; V =

∑^ N

i=

mivi

∑N

i=

mi

Lei fundamental da dinˆamica das rota¸c˜oes

A equa¸c˜ao 1.3 d´a

dL dt

d dt

( N

i=

miri × vi

∑^ N

i=

mi

dri dt

× vi +

∑^ N

i=

miri ×

dvi dt

∑^ N

i=

miri × ai

Da an´alise do torque, temos que: dL dt

∑^ N

i=

ri × F (^) i( ext)+

∑^ N

i= i 6 =j

∑^ N

j=

ri × Fij

onde Fij ´e a for¸ca da part´ıcula i que age na part´ıcula j. A dupla somat´oria n˜ao se altera se trocarmos os nomes dos ´ındices i e j de modo que podemos escrever ∑ ∑N

i,j= i 6 =j

ri × Fi =

∑ ∑N

i,j= i 6 =j

[ri × Fij + rj × Fji] =

∑ ∑N

i,j= i 6 =j

(ri − rj ) × Fij

As for¸cas internas s˜ao tais que a sua linha de a¸c˜ao est´a dirigida segundo a linha que une as duas part´ıculas, ou seja Fij ‖ (ri −rj ), logo (ri −rj )×Fij = 0 e portanto chegamos a conclus˜ao que a resultante dos torques internos do sistema ´e nula. Ent˜ao obtemos

dL dt

∑^ N

i=

ri × F (ext) i =

∑^ N

i=

τ (ext) i =^ τ^

(ext)

que ´e a lei fundamental da dinˆamica das rota¸c˜oes para um sistema de part´ı- culas: a taxa de varia¸c˜ao com o tempo do momento angular total do sistema em rela¸c˜ao a um ponto O (num referencial inercial) ´e igual `a resultante de todos os torques externos, em rela¸c˜ao a O, que atuam sobre o sistema. Adotando-se o referencial do CM temos, analogamente, que

dL′ dt

= τ ′

logo, a equa¸c˜ao ´e a mesmo estando o CM acelerado ou n˜ao.

CAP´ITULO 1. MEC ANICAˆ 9

1.2.2 Rela¸c˜ao entre torque e momento de in´ercia

Vamos tomar o eixo fixo OO′^ como eixo dos z, com o origem num ponto O do mesmo (Fig. 12.1 - p´ag 248) e considerar um ponto P num plano O′x′y′ (sec¸c˜ao transversal). O ´unico grau de liberdade ´e descrito pelo ˆangulo ϕ do ponto P em torno de Oz, a velocidade v de rota¸c˜ao ´e perpendicular ao raio vetor O′P = ρ no plano O′x′y′. O momento angular em rela¸c˜ao ao ponto O da figura ´e: l = m(z +ρ)×v = mz × v + mρ × z. Temos que z × v ⊥ z e que ρ × v ‖ z. Neste problema s´o nos interessa a componente do momento angular ao longo do eixo de rota¸c˜ao (lZ ). Podemos, agora, aplicar a lei fundamental da dinˆamica das rota¸c˜oes dL dtZ = d dt (Iω) =^ τ^

(ext) Z. Como^ I^ e^ ω^ n˜ao dependem da escolha do ponto^ O, o mesmo vale para τ (^) Z(ext) , ent˜ao temos que

τ (^) Z(ext) = Iα (1.6)

onde α = ˙ω = ¨ϕ ´e a acelera¸c˜ao angular. A equa¸c˜ao 1.6 ´e an´aloga `a 2.a^ lei de Newton F = ma no movimento unidimensional.

1.2.3 Energia

Energia cin´etica

Um elemento de massa dm do corpo `a distˆancia ρ do eixo de rota¸c˜ao tem uma energia cin´etica de rota¸c˜ao 12 v^2 dm = 12 ρ^2 dmω^2 de modo que a energia cin´etica de rota¸c˜ao total do corpo ´e:

T =

ω^2

ρ^2 dm =

Iω^2 (1.7)

Torema da energia cin´etica

O trabalho realizado pelas for¸cas aplicadas a um sistema de part´ıculas numa

rota¸c˜ao infinitesimal ∆θ ´e ∆W =

i

Fi∆ri =

i

Fi(∆θ × ri) =

i

(ri ×

Fi)∆θ = τ ∆θ onde τ ´e o torque resultante sobre o sistema e ∆θ = ∆ϕˆz de modo que o trabalho numa rota¸c˜ao finita de ϕ 0 a ϕ 1 ´e

Wϕ 0 →ϕ 1 =

∫ (^) ϕ 1

ϕ 0

τZ dϕ (1.8)

CAP´ITULO 1. MEC ANICAˆ 10

e temos que

Wϕ 0 →ϕ 1 =

Iω 12 −

Iω^20 = T 1 − T 0 (1.9)

1.2.4 Conserva¸c˜ao do momento angular

Para o caso particular de um sistema em rota¸c˜ao em torno de um eixo fixo aplica-se a lei de conserva¸c˜ao do momento angular:

τ (^) Z(ext) = 0 ⇒ LZ = Iω = constante (1.10)

, ou seja, se a resultate dos torques externos na dire¸c˜ao do eixo se anula, o produto da velocidade angular pelo momento de in´ercia em rela¸c˜ao ao eixo se conserva. Para um corpo r´ıgido, as distˆancias ρ ao eixo permanecem constantes, de modo que I = constante e a 1.10 equivale a ω = constante, ou seja, conserva- ¸c˜ao da velocidade angular. Por´em para um sistema n˜ao-r´ıgido, cujo momento de in´ercia em rela¸c˜ao ao eixo pode variar durante a rota¸c˜ao, passando, de I 0 para I 1. Nesse caso, a velocidade angular tamb´em varia de ω 0 para ω 1 de tal forma que I 0 ω 0 = I 1 ω 1 (1.11)

para a posi¸c˜ao angular um sistema isolado pode alterar sua velocidade de rota¸c˜ao em torno de um eixo atrav´es puramente de for¸cas internas, alterando o momento de in´ercia em rela¸c˜ao ao eixo.

1.2.5 C´alculo de momentos de in´ercia

Corpo Eixo de rota¸c˜ao Momento de in´ercia Anel circular delgado Em torno do centro I = M R^2 Disco circular Em torno do centro I = 12 M R^2 Barra delgada Em torno do centro I = 121 M L^2 Barra delgada Em torno de uma extremidade I = 13 M L^2 Esfera Em torno de um diˆametro I = 25 M R^2 Cilindro Em torno de uma geratriz I = 32 M R^2 Tabela 1.1: Momento de in´ercia para diferentes corpos.

Teorema 1.1 (dos eixos paralelos - Steiner). O momento de in´ercia de um corpo qualquer em rela¸c˜ao a um eixo ´e a soma do momento de in´ercia em rela¸c˜ao a um eixo paralelo, passando pelo CM, com o produto da massa M

CAP´ITULO 1. MEC ANICAˆ 12

1.4 For¸cas inerciais

1.4.1 As transforma¸c˜oes de Galileu

O problema geral a ser tratado ´e o da passagem de um referencial inercial, que designaremos por S, a outro referencial S′, em movimento em rela¸c˜ao a S Seja V a velocidade do referencial S′^ que se desloca em MRU em rela¸c˜ao do referencial S e temos que:

t′^ = t

r′^ = r − V t ⇒

x′^ = x − V t y′^ = y − V t z′^ = z − V t

v′^ = v − V t ⇒

v′ x = vx − V t v′ y = vy − V t v z′ = vz − V t a′^ = a

onde vi ´e a velocidade da part´ıcula no referencial S. Ver fig. 13.2 - p´ag. 288.

1.4.2 Referencial acelerado

Consideremos agora o que acontece quando passamos de um referencial iner- cial S para um referencial S′^ em MRUA em rela¸c˜ao a S. Sejam r′^ o vetor posi¸c˜ao de uma part´ıcula P em rela¸c˜aoa S′, r o vetor posi¸c˜ao da part´ıcula P em rela¸c˜ao a S e rO′^ o vetor posi¸c˜ao em rela¸c˜aoa origem de S e S′. Se A ´e a acelera¸c˜ao de S′^ relativa a S e V 0 a velocidade inicial de S′^ relativaa S (supondo rO′^ = 0 para t = 0). Temos, ent˜ao, que:  



r′^ = r − rO′ rO′^ = V 0 t + 12 At^2 t′^ = t

⇒ r′^ = r − V 0 t −

At^2 (1.17)

Derivando em rela¸c˜ao a t, obtemos:

v′^ = v − Vo − At (1.18) a′^ = a − A (1.19)

de modo que a acelera¸c˜ao de uma part´ıcula em rela¸c˜ao a S′^ difere de sua acelera¸c˜ao em rela¸c˜ao a S pelo termo constante −A, onde A ´e a acelera¸c˜ao de S′^ em rela¸c˜ao `a S.

CAP´ITULO 1. MEC ANICAˆ 13

Como as distˆancias m´utuas entre as part´ıculas continuam inalteradas,ou seja, se duas part´ıculas P 1 e P 2 tˆem uma distˆancia x em S, em S′, elas ter˜ao a mesma distˆancia; nos dois referenciais o mesmo vale, portanto, para as for¸cas de intera¸c˜ao entre part´ıculas:

F ′^ = F = ma

como a 6 = a′: ma′^ = ma − mA ⇒ ma′^ + mA = ma ⇒ ma′^ + mA = F ′^ = F (1.20) A 2a^ lei de Newton n˜ao ´e v´alida num referencial n˜ao-inercial S′, em MRUA em rela¸c˜ao a um referencial S. Aparece um novo termo mA, proporcional `a massa inercial da part´ıcula e com dimens˜oes de uma for¸ca, mas que n˜ao corresponde a nenhuma for¸ca f´ısica, resultante da intera¸c˜ao entre part´ıculas. Se convencionou escrever da forma:

ma′^ = F ′^ − mA ⇒ ma′^ = F + Fin ⇒ Fin = −mA (1.21)

onde Fin = −mA ´e chamado de for¸ca de in´ercia.

2 exemplos

Imaginemos um foguete que ”sobe”no espa¸co interestelar com acelera¸c˜ao A = g, suponhamos que se tenha uma massa m suspensa no teto por um dinamˆometro. Vista de um referencial S, a massa m, solid´aria com a c´ap- sula, tem uma acelera¸c˜ao a = g. A ´unica for¸ca verdadeira que age sobre ela ´e a tens˜ao T da mola. Logo, pela 2a^ lei, T = mg, em S. Vista de S′, a massa m est´a em equil´ıbrio (a′^ = 0) sob a¸c˜ao de T e da for¸ca de in´ercia: 0 = T + Fin = T − mg, em S′. Consideremos um pˆendulo suspenso no teto de um vag˜ao de trem. En- quanto o trem acelerar uniformemente com acelera¸c˜ao A, o fio passa a formar um ˆangulo θ com a vertical. Em S, temos T + mg = mA. Em S′, o pˆendulo est´a em equil´ıbrio sob a¸c˜ao da for¸ca-peso mg, da tens˜ao do fio T e da for¸ca de in´ercia −mA: T + mg − mA = 0, ou seja, ´e como se consider´assemos o trem parado e analis´assemos as “for¸cas relativas”.

CAP´ITULO 1. MEC ANICAˆ 15

Para calcular a acelera¸c˜ao a derivamos em rela¸c˜ao ao tempo ambos os membros da equa¸c˜ao anterior:

[ dv dt

]

S

d dt

[[

dr dt

]

S′

• ω × r

]

[

dv dt

]

S′

• ω ×

[

dr dt

]

[

dv dt

]

S′

• ω × v.

Para calcular o 1o^ termo, derivamos em rela¸c˜ao ao tempo, em S′, os dois membros da 1.22: [ dv dt

]

S′

[

dv′ dt

]

S′

• ω ×

[

dr dt

]

S′

= a′^ + ω × v′.

Finalmente, como r = r′:

a = a′^ + 2ω × v′^ + ω(ω × r′). (1.23)

Como a 2a^ lei de Newton F = ma, em S, transforma-se em ma′^ = F + Fin em S′, obtemos: Fin = − 2 mω × v′^ − mω × (ω × r′) (1.24)

como express˜ao geral das for¸cas de in´ercia num referencial S′, em rota¸c˜ao uniforme com velocidade angular ω com respeito a um referencial inercial. Onde o ´ultimo termo ´e a express˜ao geral da for¸ca centr´ıfuga:

Fcentr. = −mω × (ω × r′) (1.25)

e o primeiro termo d´a a express˜ao geral da for¸ca de Coriolis:

FCoriolis = − 2 mω × v′. (1.26)

A for¸ca de Coriolis

A for¸ca de Coriolis tem as seguintes caracter´ısticas:

1. E independente da posi¸´ c˜ao da part´ıcula;
2. E perpendicular `´ a dire¸c˜ao da velocidade e tende a desviar o movimento para a direita em rela¸c˜ao ao sentido de ω.

Cap´ıtulo 2

Movimento ondulat´orio

2.1 Oscilador harmˆonico

Para pequenos desvios da posi¸c˜ao de equil´ıbrio est´avel, o gr´afico de F (x) ´e aproximadamente linear. Para −A ≤ x ≤ A temos:

F (x) = −kx (2.1)

e assim, temos que a energia potencial U (x) pode ser aproximada por

U (x) =

kx^2 (2.2)

A equa¸c˜ao de movimento correspondente ´e: m¨x = −kx, ou seja,

x¨ + ω^2 x = 0 (2.3)

onde

ω =

k m

e ¨x = d

(^2) x dt^2.

2.1.1 Oscila¸c˜oes harmˆonicas

Forma geral das oscila¸c˜oes livres do oscilador harmˆonico:

x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt)

onde a e B s˜ao constantes ou equivalentemente

x(t) = A cos(ωt + ϕ) (2.5)

onde as constantes passam a ser A e ϕ. Relacionando as constantes temos: a = A cos(ϕ) e b = −A sin(ϕ).

CAP´ITULO 2. MOVIMENTO ONDULAT ORIO´ 18

2.1.2 Superposi¸c˜ao de movimentos harmˆonicos simples

Mesma dire¸c˜ao de freq¨uˆencia

Consideremos o movimento resultante de dois MHS de mesma dire¸c˜ao x e de mesma freq¨uˆencia angular ω:x(t) = x 1 (t) + x 2 (t) ⇒ x 1 (t) = A 1 cos(ωt + ϕ 1 ) e x 2 (t) = A 2 cos(ωt + ϕ 2 ). O movimento resultante ´e

Re[A 1 ei(ωt+ϕ^1 )^ + A 2 ei(ωt+ϕ^2 )] (2.9)

Mesma dire¸c˜ao de freq¨uˆencias diferentes: batimentos

Neste caso temos x 1 (t) = A 1 cos(ω 1 t+ϕ 1 ) e x 2 (t) = A 2 cos(ω 2 t+ϕ 2 ). Para que exista um per´ıodo T ap´os o qual x 1 e x 2 voltem ao valor inicial ´e necess´ario que ω 1 ω 2

T 1

T 2

n 1 n 2

= T, n 1 , n 2 ∈ Z. (2.10)

O per´ıodo T corresponde `a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao anterior com os menores valores inteiros poss´ıveis para n 1 e n 2. Um caso especial ´e aquele em que ω 1 e ω 2 s˜ao muito pr´oximas. Supondo ω 1 > ω 2 , introduzimos freq¨uˆencia angular m´edia ¯ω = (ω 1 + ω 2 )/2 = 2π f¯ e a diferen¸ca entre freq¨uˆencias ∆ω = ω 1 − ω 2 = 2π∆f. Logo,

x(t) = 2A cos

∆ω 2

t

cos(¯ωt) (2.11)

Supondo ω 1 e ω 2 muito pr´oximas, temos que ∆ω << ω¯ e assim temos a equa¸c˜ao da “amplitude”.

a(t) = 2A cos

∆ω 2

t

2.2 Oscila¸c˜oes amortecidas e for¸cadas

Para um oscilador unidimensional a resistˆencia d´a origem a um termo adici- onal:

mx¨ = −kx − ρ x,˙ ρ > 0

onde −ρ x˙ representa a resistˆencia dissipativa, que atua em sentido oposto `a velocidade (ρ > 0). Didivindo por m, temos

x¨ + γ x˙ + ω^20 x = 0 (2.13)

CAP´ITULO 2. MOVIMENTO ONDULAT ORIO´ 19

onde w 02 = k/m e γ = ρ/m > 0. E assim temos a express˜ao hor´aria da oscila¸c˜ao:

x(t) = Ae−^

γ 2 t cos(ωt + ϕ) (2.14)

onde

ω =

ω^20 −

γ^2 4

e A e ϕ s˜ao constantes arbitr´arias. E tamb´em podemos escrever a equa¸c˜ao hor´aria anterior na forma

x(t) = e−^

γ 2 [a cos(ωt) + b sin(ωt)].

E consideramos:

ϕ = 0 (ω < ω 0 ) (2.16) ϕ = −π (ω > ω 0 ) (2.17) ϕ = −

π 2

(ω = ω 0 ). (2.18)

2.2.1 Amortecimento subcr´ıtico (

γ

2 < ω^0 )

A solu¸c˜ao ´e dada pela 2.14. O gr´afico est´a representado na fig. 4.1 - p´ag. 73, para ϕ = 0. Embora as oscila¸c˜oes n˜ao sejam mais peri´odicas, chamaremos de “per´ıodo” o intervalo T = 2π/ω.

Energia

A energia mecˆanica do oscilador no instante t ´e dada por

E(t) =

m x˙^2 (t) +

kx^2 (t)

2.2.2 Amortecimento supercr´ıtico (γ 2 > ω 0 )

x(t) = e−^

1 2 t(aeβt^ + be−βt) (2.19)

onde

β =

γ^2 4

− ω^20 , a = x 0 = x(0), b =

ω

v 0 +

γ 2

x 0