Baixe Sequencias e Séries e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Ambiental, somente na Docsity!
SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE NÚMEROS REAIS
Introdução
As séries infinitas aparecem quando tentamos somar um número
infinito de termos de uma sequência a 1 ,a 2 ,a 3 , ,an,
a 1 a 2 a 3 an
O significado e o entendimento de uma soma infinita de termos, que
pode ser finita ou infinita, intrigaram os matemáticos desde os anos 400
A.C.
Arquimedes (287 – 212 A.C.) alcançou resultados importantes
envolvendo áreas e volumes de regiões e sólidos respectivamente; só para
citar um exemplo, um dos seus resultados é que a área da região sob um
arco de parábola é igual a 2/3 da base vezes a altura.
O estudo das séries de potências, que veremos, em geral serve para
definir uma função totalmente nova. E essa possibilidade de criar novas
funções é muito importante nas aplicações, como por exemplo, resolver
equações diferenciais. Essas séries servem também para definir funções
conhecidas, tais como as funções seno, cosseno, exponencial, etc.
- SEQUÊNCIAS INFINITAS DE NÚMEROS REAIS
Ao associarmos a cada número natural n IN 1,2,3,... um único
número real an, os números an ordenados de acordo com seus índices
a 1 ,a 2 ,a 3 , ,an,
formam uma sequência infinita de números reais.
Usamos a notação a n para representar a sequência, onde n é o
índice e ano termo geral da sequência.
Deve-se ter clareza de que a sequência ( an ) e o conjunto a(IN) dos
termos da sequência são objetos matemáticos distintos.
Exemplos de sequências:
a) , n
1 , = (1/n)
b) Sequência constante an=
3 , 3 , 3 ,...,3 ,...
Note que a(IN) = 3
c)
2 n n 3
d) Às vezes se faz necessário numerar os elementos de uma sequência a
partir de 0, 2, ou outro inteiro. Exemplo:
2 2 n
=
n
i
i 0
Exercício
Encontre o termo geral an das sequências
a)
2 2 ,
2 2 2
b) , 4
A representação geométrica de uma sequência ( an) pode ser dada de
duas maneiras:
Obs.: Toda sequência que não é convergente é dita divergente.
Exemplos:
a) Considere a sequência ( 2 , 2 , 2 ,...,2,...), onde an = 2.
É fácil provar que lim an 2 , pois
dado ε 0 , n 0 1 talque nn 0 an 2 2 2 ε.
b) Dada a sequência
n
, vamos provar usando a definição que esta
converge para 0, isto é, 0
n
lim .
Dado 0 ε n
ε n
ε
ε 0 , n 0 talque nn 0 n
,
portanto 0 n
lim . Note que a escolha do índice n 0 depende do ε dado,
por exemplo, ε= 10
significa que basta tomar n> n 0 >10 para se ter
ε 10
n
c) Vamos mostrar que a sequência
n 2
, n 1 converge para zero.
ε
1 2 ε
1 nln2 ln ln
ε
1 ln
talque n n n ln
ε
1 ln
Dado 0 ε 1 , n
n 0 0
0 ε 2
ε 2
n n
Dado 0 ε
2
1 ε 2
ε 1, n 0 talquen n 2 1 n n
n 0 0 .
Assim, dado 0 ε
2
ε 0 n talquen n (^0 0) n , ou seja, 0 2
n
1.1. Limites Infinitos
Dizemos que uma sequência ( an) diverge para , e indicamos
lim an , an ouliman n
se, e somente se dado M>0, n 0 INtalquenn 0 anM.
IR
IR
Exemplo:
Vamos mostrar que n 1
n
2
.
Dado M>0, M 2
2M
2
n
2
n
2n
n
n 1
n n 2M talque n n
0
2 2
0 0
.
Assim, n 1
n
2
.
De maneira análoga, uma sequência ( an) diverge para , e
indicamos
lim an , an ouliman n
se, e somente se dado M>0, n 0 INtalquenn 0 anM.
Exemplo:
Mostraremos que n 10
2
.
Dado M>0, -n -n M.
n
n
n 10
2 2
0 0
Portanto,
n 10
2
.
Da analogia entre limite de sequências e de funções é natural que, se
uma sequência a n é dada como restrição de uma função, isto é,
an f(n) , para todo n>0, então
f x L an L x n
lim ( ) lim
A recíproca não é verdadeira, tome f(x)=cos
x
e verifique.
1.2. Propriedades do limite de uma sequência
n 0 n 0 1 n 0 2
M
an 0 1
an 0 2
Exemplos:
a)
3
lim 2 3
lim 3 2
lim
3
2
3
4
2
4
4
4 2
n
n
n
n
n
n
n n
n n
n n n
b) 0
1 1
lim 1 1
lim 1
lim
4
2 3
4
4
2 3
3
4
3
n
n
n n
n
n
n n
n
n
n n
n n n
c)
n
n n
n
n
n
n n
n
n
n n
n n n 3 1
lim 3 1
lim 3
lim
2 2
2 2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
3
lim
lim 1 1
lim 1
)lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n d
n
n n n
e)
3
lim 1 9
lim 9
lim
2
3
2
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
n
n n
n
n n n
lim
1
) lim 1 lim 2 2
2 2
2
n n n n
n n n n
f n n n n n
g) Vamos mostrar que se a>1, então lim 1
n
n
a.
lim 1
0
ln
1 ln(lim ) lim
a e e e
a n
a n
n
n
n n
h) Mostrar que 1
n n.
^ ^ lim 1 1 0
1 / ln lim
1 lnlim lim
n e e e e
n n n
n n
n
n
n n
1.3. - Sequências Monótonas
Dizemos que uma sequência ( ) an é monótona não decrescente
(respectivamente não crescente) se, e somente se para todo n IN temos
an an 1 (respectivamente an an 1 ).
Uma sequência ( an ) é limitada superiormente se, e somente se
existe um número real K tal que an K para todo n IN. Nesse caso, K é
dito uma cota superior, onde a menor das cotas superiores é denominada
supremo de ( ) an
Analogamente ( an ) é limitada inferiormente se, e somente se existe
um número real K tal que a K n para todo n IN. O número K é
denominado uma cota inferior de ( an ), onde a maior das cotas inferiores é
chamada de ínfimo de ( an )- (notação: inf( an )).
Se uma sequência ( an ) é limitada superior e inferiormente, dizemos
que ( an )é limitada, isto é, existe K IR tal que an K , para todo n IN.
1.3.1. Propriedades
a - lim 0 e b éumasequêncialimitada,entãolim 0.
n
(^) n
n n n n
Se a ab
Hipótese:
K
IN a
K
n
n
ii)Dado 0, n talque n n
i) K IRtalqueb , n IN
Tese: anbn 0
Prova
Dado 0 , n 0 talque n n 0 an .
K
K
IN bn anbn
Assim, anbn 0.
b - Selim ,limbn ean bnparatodo n n 0 ,entãoL M. n
a L M n
n
Prova (exercício)
c - Se lim (lim ) n
n n n
a a e an bn a^ n bn para todo n n 0 ,
então
n n n
b b n
lim lim.
Prova (exercício)
1.3.2. Teorema do Confronto
a) Seja an uma sequência definida por recorrência, isto é,
a 1 1 ,an 1 2 an. Mostrar que a (^) n é convergente e calcular seu
limite.
Solução
Começamos mostrando, por indução finita, que an é limitada superiormente
por 2.
Para n=1, temos a 1 1 2.
Hipótese de indução: n=k ak 2.
Vamos mostrar que ak 1 2 .De fato, como
1 2 2 2 4 1 2.
2 1
2 ak 1 ak ak 1 ak ak ak
Concluímos assim que a (^) n é limitada superiormente, isto é, 2 é uma cota
superior.
Agora vamos mostrar que a (^) n é não decrescente.
Suponha o contrário, isto é, an an 1 , então
2 (^202)
2 2 1
2 an an an an an an ^ (absurdo).
Portanto, an an 1. Concluímos assim, pelo teorema 1.3.3., que an é
convergente.
Para encontrar o valor do limite de an, observamos que, como an é
convergente e n n
n n
a a
lim 1 lim =L, então (^) n n
n n
a a
lim 2 lim
2 1 , ou seja,
2 2 L L L L L , portanto lim 2.
n n
a
b) Mostrar que 0 , a IR. !
lim (^) n
a
n
n
Solução
i) Se a 1 , o resultado é óbvio.
ii) Se a>1, então existe 1.
n
a talque
0
n 0 IN
Como 0<
n n n n n n
n
a
n
n
n
a
n
a
n n
a a a
n
a a a
n
a
0 0
0 0
0
0 0
0
Temos, pelo teorema do confronto, a desigualdade
lim !
lim
0 0
0 0
n^ n
n
n
n (^) n
a
n
n
n
a
Portanto, 0 , a 1.
!
lim (^) n
a
n
n
iii) Se a<-1, então a 1 e portanto,
lim !
lim n
a
n
a
n n
n
n
n
=0.
De i), ii) e iii) temos 0 , a IR. !
lim (^) n
a
n
n
c) Mostrar que 0.
lim n nn
n
Solução
Como 0<
n n
n
n
n
n n n n
n
n
n
n
Pelo teorema do confronto, como 0
n
, temos 0.
lim n nn
n
d) Mostrar que lim 1.
2
n
n
n n
Solução
Note que
n n n n n n n
2 2 2 2.
Como lim 1
1 0
2 / ln lim
2 lim 2
n e e e
n
n
n n n n n
e
lim 2 1
1 0
2 / ln 2 lim
2 (^2) lim
n e e e
n
n
n n n n n
, temos, pelo teorema do
confronto, que lim 1.
2
n
n
n n
d) Mostre que 1.
lim 2 2 2
n n n n
n
Solução
- SÉRIES DE NÚMEROS REAIS
Considere uma sequência an dada por a 1 , a 2 ,...,an,...
Fazendo s 1 (^) a 1 , s 2 a 1 a 2 ,...,sn a 1 a 2 an ,...
formamos uma nova sequência sn dada por s 1 , s 2 ,...,sn,... que recebe
o nome de série, a qual representamos por
1
1 2
n
a a an an
onde an é o termo geral da série e
n
n
k
sn ak a a a
1 2
1
é a soma parcial de ordem n da série.
Se
n 1
lim sn s , s IR,entãoasérie an n
é dita convergente e
1
a s
n
n
Se n n
s
lim não existir, então a série
n 1
an é dita divergente.
2.1. Séries geométricas
Toda série do tipo
0
2 1
n
n n r r r r , r IR é
denominada uma série geométrica de razão r.
Note que
n sn r r r
2 1 e
2 1
n n rsn r r r r , então
,se r 1. 1
1 s
1
n
1
r
r s rs r
n n n n^ Assim, para r^ ^1 , temos
, se r -
, se r 1
, se r 1 1
1
1
1 lim lim
1
não existe
nãoexiste
r
r
r s
n
n
n n
Se r=1, temos 1 econsequentementelim lim 1 .
n n
s (^) n n sn n
Conclusão
A série
n 0
n r converge para 1 r
se r 1 e diverge se r 1.
Exemplos:
a) A série
0
n
n
é uma série geométrica de razão 2
r ,
portanto é convergente e
0
n
n
= 2.
b) A série
0
n
n é uma série geométrica de razão r = -2,
portanto divergente.
2.2. Teorema
Se
n 0
an e
n 0
bn são séries convergentes, então
i) , c IR
0
n
can é convergente.
ii)
n 0
an bn é convergente e
0 0 n 0
n
n
n
n
an bn a b.
Prova i)
Seja
n
k
sn ak
0
, como por hipótese
n 0
an é convergente, então
lim sn s. n
A soma parcial sn da série
n 0
can é dada por
(^) k k csn
n
k 0
n
k 0
sn ca c a.
Portanto, sn cs n
lim e a série , c IR
0
n
can é convergente.
d) Encontre a soma da série telescópica
1
2 12 1
1
n
n n
.
Note que
,então 2 1
1 / 2
2 1
1 / 2
2 12 1
1
n n n n
a soma parcial da série é
dada por
n n
sn
n
.
Portanto, como
2
sn , temos que
1
n
n n
.
Obs.: A inclusão ou exclusão de um número finito de termos numa série
não altera sua convergência ou divergência, fica alterada apenas sua soma.
2.3. Corolário
a - Se
an e
an bn são convergentes, então
bn é
convergente.
b - Se
n
a é convergente e
n
b é divergente, então
an bn é divergente.
Prova a
Note que
n
b =
an bn an , como
an bn e
an são
convergentes, então, pelo teorema 2.2., temos que
n
b é convergente.
Prova b
Suponhamos por absurdo que
an bn seja convergente, então, pelo
item a, temos que
an bn an bn é convergente. Como isso é
um absurdo, pois, por hipótese
n
b
é divergente, conclui-se que
absurdo foi supor que
an bn seja convergente, portanto
an bn
é divergente.
Exemplo:
A série
n n 2
é uma série divergente, pois
n
é uma série
geométrica convergente de razão r = ½ e
n é obviamente divergente.
Assim, pelo corolário acima, temos que a série
n n 2
é divergente.
Exemplo:
Se
n
a e
n
b são divergentes, o que podemos afirmar sobre a série
an bn?
A resposta a essa pergunta é: “Não podemos afirmar nada.”.
De fato, se considerarmos as séries divergentes
n e
n , é fácil ver
que a soma é convergente e, se considerarmos as séries divergentes
n
e
n , a soma das duas, dada por
2 n , é divergente.
2.4. Teorema
Se
n
a é convergente, então lim 0.
n n
a
Prova
Por hipótese, a soma parcial s (^) n a 1 a 2 an s , como
an a 1 a 2 an a 1 a 2 an 1 sn sn 1 , temos
lim lim lim 1 0.
a s sn s s n
n n
n n
Obs.: A recíproca não é verdadeira, por exemplo, 0
lim n (^) n
e a série
1
n
n
é divergente.
IR
IR
Note que n
sn
n
dx x 1
lim 1 1
1
1
1
n
n
n s
x n s sn é limitada
superiormente. (**)
De () e (*), a série
1
n
n
é convergente para 1.
ii) Para 0 1.
Pelo item i) n
sn
1 é uma sequência monótona não
decrescente. (*)
Vamos mostrar agora que sn não é uma sequência limitada superiormente.
Observe o gráfico abaixo:
IR
Note que n
sn
1
1
1
n
dx x
sn
, se 0 1 1
1
1 - 1
x
ln ln 1 , se 1
1
1
1
1-
1 1
n
x n
n
n
(**)
Portanto, de () e (*) concluímos que limsn.
Portanto, a série
1
n
n
é divergente para 0 1.
iii) Para 0.
A série
1
n
n
é obviamente divergente, pois 0. n
lim
Conclusão
De i), ii) e iii), a série
1
n
n
é convergente para
1 e divergentepara 1.
Exemplo:
Analisar quanto à convergência.
IR
