Sequências e Séries, Slides de Cálculo

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Sequências e Séries

Cálculo III - ECT 1312

Escola de Ciências e Tecnologia

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Julho 2013

Sequências

Definição

Uma sequência ou sucessão (infinita) de números reais é uma função

f : N → R, que associa a cada número natural um número real, ou

seja:

1 , 2 , · · · n, · · ·

↓ ↓ ↓

f ( 1 ), f ( 2 ), · · · f (n), · · ·

Notação

Em vez de f (n), valor da função sobre o natural n, utilizamos o

símbolo an (leia: a índice n). Os números a 1 , a 2 , · · · , an são chamados

de termos ou elementos da sequência, e o n-ésimo termo, an, de

termo geral. Uma sequência será denotada por (an) ou (an) ∞ n=n 0.

Sequências

Exemplo 01

Liste os termos das seguintes sequências definidas abaixo.

(a) (sn) := (∑

∞ k= 1 k)

(b) (bn) := (

∫∫ Dn

√^1

x^2 +y^2

dxdy) ∞ n= 1 , onde^ Dn^ é a coroa circular 1 n^2

≤ x^2 + y^2 ≤ 1.

Sequências

Exemplo 01

Liste os termos das seguintes sequências definidas abaixo.

Solução

(a) s 1 = 1 , s 2 = 1 + 2 , s 3 = 1 + 2 + 3 , · · ·

(b) bn =

∫ (^2) π 0

∫ (^1) 1 n

drdθ =

2 π(n− 1 ) n , logo:^ b^1 =^0 ,^ b^2 =^ π,^ b^3 =^

4 π 3 ,^ · · ·^.

Exemplo 02

Utilize a definição para mostrar que limn→∞

1 n^2 + 1

Exemplo 02

Utilize a definição para mostrar que limn→∞ 1 n^2 + 1

Solução

Dado ε > 0 , tome K = 1 ε

. Logo para n > K, tem-se que 1 n

1 K = ε e

assim

n^2 + 1

n^2 + 1

n

< ε.

Logo pela definição limn→∞ 1 n^2 + 1

Exemplo 03

Calcule limn→∞ n

n.

Solução

lim n→∞

n

n = lim n→∞

n

1 n (^) = lim x→∞

x

1 x (^) = lim n→∞

e

ln x x (^) ,

Como

lim n→∞

ln x

x

tem-se que

lim n→∞

n

n = 1.

Um teorema importante que relaciona uma função contínua com

sequências convergentes é dado a seguir.

Teorema 2

Se limn→∞ an = L e se a função f for contínua em L, então

lim n→∞

f (an) = f ( lim n→∞

an) = f (L).

Também é válido para sequências o teorema do confronto.

Teorema 3

Seja (bn) uma sequência tal que para todo n, an ≤ bn ≤ cn. Se

limn→∞ an = L e limn→∞ cn = L então:

lim n→∞

bn = L.

Exemplo 04

Encontre limn→∞ sin(

π n ).

Solução

Sabemos que a função seno é contínua em 0. Note que o argumento

da função é composto por uma sequência convergente, limn→∞

π n =^0.

De acordo com o teorema 2, temos

lim n→∞

sin

π

n

= sin

lim n→∞

π

n

= sin( 0 ) = 0.

Exemplo 05

Discuta a convergência da sequência (an) = ( n! nn^

Dada uma sequência (an), representamos os termos de ordem par

desta sequência por (a 2 n) e o termos ímpares por (a 2 n+ 1 ).

Teorema 4

Seja (an) uma sequência convergente, isto é, limn→∞ an = L. Então

lim n→∞

a 2 n = lim n→∞

a 2 n+ 1.

O teorema acima afirma que se uma sequência converge, então suas

sequências de ordem par e ímpar também convergem, e as fazem

para o mesmo valor da sequência original. Assim, se as sequências

de ordem par e ímpar não convergirem, ou se convergir para valores

distintos, a sequência original diverge.

Exemplo 06

Determine se a sequência (an) := ((− 1 ) n ) é convergente ou

divergente.

Exemplo 07

Calcule limn→∞

(− 1 )n n , se existir.

Exemplo 07

Calcule limn→∞

(− 1 )n n , se existir.

Solução

Note que

lim n→∞

a 2 n = lim n→∞

(− 1 )^2 n

2 n

= 0 e lim n→∞

a 2 n+ 1 = lim n→∞

(− 1 )^2 n+^1

2 n + 1

Logo a sequência é convergente.