UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL
CAMPUS II DE TRÊS LAGOAS
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
ANNA LETHYCIA DE ALMEIDA LIRA
JENIFFER FRANCISCA DOS SANTOS
LEITURA E PRODUÇÃO DE TEXTOS
“Limite de sequência e função contínua”
TRÊS LAGOAS - MS
2023
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Guias e Dicas
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Encontrar documentos
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade
Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade
Videoaulas
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Quiz
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Leitura e Produção de Textos: Sequências, Funções Contínuas e Limites, Exercícios de Matemática
Uma leitura e produção de textos sobre sequências, funções contínuas e limites, com foco na definição de sequências, propriedades de limites de sequências, representação gráfica de sequências, função contínua e negação de função contínua. O documento também inclui exercícios resolvidos para aplicar os conceitos apresentados.
Tipologia: Exercícios
2023
1 / 8
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Pré-visualização parcial do texto
Baixe Leitura e Produção de Textos: Sequências, Funções Contínuas e Limites e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL
CAMPUS II DE TRÊS LAGOAS
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
ANNA LETHYCIA DE ALMEIDA LIRA
JENIFFER FRANCISCA DOS SANTOS
LEITURA E PRODUÇÃO DE TEXTOS
“Limite de sequência e função contínua”
TRÊS LAGOAS - MS
SEQUÊNCIAS
Definição 1: Uma sequência é uma lista de números escritos em uma ordem definida, a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , … , an, ... O número a 1 é o primeiro termo, a 2 é o segundo termo, … , an é o n-ésimo termo da sequência. OBS: Para cada inteiro positivo n existe um número (n-ésimo termo) an correspondente, então, uma sequência pode ser definida como uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos.
∀ 𝑛 ≻ 0, ∃ an ϵ 𝑅/a (^) n = 𝑓(n) ou seja 𝑓: 𝑁 → 𝑅 an = 𝑓(n)
Notação: Denotaremos uma sequência infinita por: {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , … , an, ...}, {an}, {an}n ≥ 1 Algumas sequências podem ser definidas dando uma fórmula para o n-ésimo termo an,
que é chamado termo geral da sequência.
Exercícios:
- Encontre uma fórmula para o termo geral an da sequência, assumindo que o padrão
dos primeiros termos continue. {1, , , … ,}
1 3
1 5 ,^
1 7 ,^
1 9
Resolução: Primeiramente, iremos analisar o numerador, ou seja, o numerador de
todos os termos são 1 e os manteremos na fórmula sem que seja alterado.
Agora, vamos relacionar o denominador com o índice de seu respectivo termo, logo a 1 = 1 ⇒ 1 + 0 a 2 = 3 ⇒ 2 + 1 a 3 = 5 ⇒ 3 + 2 →O denominador do n-ésimo termo an é 2n - 1. a 4 = 7 ⇒ 4 + 3 a 5 = 9 ⇒ 5 + 4 Portanto, a fórmula para n-ésimo termo da sequência é:
{an}= { an=
1 2𝑛−1 }^ 𝑜𝑢^ ∀ 𝑛 ϵ 𝑁,^
1 2𝑛−
- Liste os cinco primeiros termos da sequência {an} = {
2𝑛 𝑛²+1 }
Resolução: {an} = {1, … ,}.
4 5 ,^
3 5 ,^
8 17 ,^
5 13 , a 1 =
1² + 1 =^
2 2 = 1.
a 2 =
2² + 1 =^
4
a 3 =
3² + 1 =^
6 10 =^
3
a 4 =
4² + 1 =^
8
a 5 =
5² + 1 =^
10 26 =^
5
Representação no gráfico ⇓
Definição 3: an = , significa que para cada número positivo M existe um inteiro N 𝑛 ∞
lim →
tal que n ≻ N então an ≻M.
Se an = , então a sequência diverge para o infinito. 𝑛 ∞
lim →
ou seja,
∀ 𝑀 ≻ 0, ∃ 𝑁 ϵ 𝑍/𝑛 ≻ 𝑁 ⇒ 𝑎𝑛 ≻ 𝑀 Negação da definição 3: ~ ( ∀ 𝑀 ≻ 0, ∃ 𝑁 ϵ 𝑍/𝑛 ≻ 𝑁 ⇒ 𝑎𝑛 ≻ 𝑀) ∃ 𝑀 ≻ 0/ ∀ 𝑁ϵ 𝑍, 𝑛 ≻ 𝑁 𝑒 𝑎𝑛 ≤ 𝑀
CÁLCULO DO LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA
Propriedades: Se{an}e{bn}forem sequências convergentes e c for uma constante, então
i) (an + bn) = an + bn. 𝑛 ∞
lim → 𝑛 ∞
lim → 𝑛 ∞
lim →
ii) c.an = c an. 𝑛 ∞
lim → 𝑛 ∞
lim →
Definição 2: Uma sequência{an}tem limite L e escrevemos an = L ou an 𝑛 ∞
lim →
Se para cada ε ≻ 0 existir um N tal que se n ≻ N então|𝑎𝑛 − 𝐿 | ≺ ε. ou seja, ∀ ε ≻ 0, ∃ 𝑁 = 𝑁(ε)/ 𝑛 ≻ 𝑁 ⇒ |𝑎𝑛 − 𝐿 | ≺ ε Negação da definição 2: ~ ( ∀ ε ≻ 0, ∃ 𝑁 = 𝑁(ε)/ 𝑛 ≻ 𝑁 ⇒ |𝑎𝑛 − 𝐿 | ≺ ε) ∃ ε ≻ 0/ ∀ 𝑁 = N(ε), 𝑛 ≻ 𝑁 𝑒 𝑎𝑛 − 𝐿| | ≥ ε
iii) an.bn = an. bn. 𝑛 ∞
lim → 𝑛 ∞
lim → 𝑛 ∞
lim →
iv) , desde que bn ≠ 0. 𝑛 ∞
lim →
𝑎𝑛 𝑏𝑛 =^
𝑛 ∞
lim →
𝑎𝑛
𝑛 ∞
lim →
𝑏𝑛 𝑛 ∞
lim →
v) anp= p, se p e an 0. 𝑛 ∞
lim → 𝑛 ∞
lim →
Exercício: Determine.
i) 𝑛 ∞
lim →
5𝑛² + 𝑛 3𝑛² − 2𝑛
Resolução: 𝑛 ∞
lim →
5𝑛² + 𝑛 3𝑛² − 2𝑛 =^ 𝑛 ∞
lim →
𝑛² (5 + (^) 𝑛²𝑛 ) 𝑛²(3 − 2𝑛𝑛² )
𝑛 ∞
lim →
5 3 =^
5 3
Portanto, ao calcularmos o , obtemos que a sequência converge para. 𝑛 ∞
lim →
5𝑛² + 𝑛 3𝑛² − 2𝑛
5 3
ii) 𝑛 ∞
lim →
4 − 7 𝑛³ 𝑛³ + 3
Resolução: 𝑛 ∞
lim →
4 − 7 𝑛³ 𝑛³ + 3 =^ 𝑛 ∞
lim →
𝑛³( (^) 𝑛³^4 − 7)
𝑛³(1 + (^) 𝑛³^3 )
𝑛 ∞
lim →
7 1 =^ − 7
Portanto, ao calcularmos o , obtemos que a sequência converge para -7. 𝑛 ∞
lim →
4 − 7 𝑛³ 𝑛³ + 3
FUNÇÃO CONTÍNUA
Sejam 𝑓 e 𝑔funções de gráficos
Observe que 𝑓 e 𝑔 se comportam de modo diferente em 𝑝; o gráfico de 𝑓não apresenta
“salto” em 𝑝, ao passo que o de 𝑔, sim. Queremos destacar uma propriedade que nos permite
distinguir tais comportamentos.
Veja as situações apresentadas a seguir.
Observação: Sabemos que
| 𝑥 − 𝑝 |＜δ ⇔ 𝑝 − δ＜𝑥＜𝑝 + δ e
|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑝) |＜ϵ ⇔ 𝑓(𝑝) − ϵ＜𝑓(𝑥)＜𝑓(𝑝) + ϵ.
A definição anterior pode, então, ser reescrita, em notação de módulo, na seguinte
forma:
𝑓 contínua em 𝑝 quando ∀ ϵ＞0, ∃ δ＞0 / ∀ 𝑥 Є 𝐷𝑓, |𝑥 − 𝑝 |＜δ ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑝) |＜ϵ.
Dizemos que 𝑓 é contínua em 𝐴 ⊂ 𝐷𝑓 se 𝑓 for contínua em todo 𝑝 Є 𝐴. Dizemos,
simplesmente, que 𝑓 é uma função contínua se 𝑓 for contínua em todo 𝑝de seu domínio.
Exercícios:
1. Prove que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 é contínua em 𝑝 = 1. Solução Precisamos provar que dado ϵ＞ 0 , existe δ＞ 0 tal que |𝑥 − 1 |＜δ ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑓(1) |＜ϵ. Temos
|𝑓(𝑥) − 𝑓(1) |＜ϵ ⇔ |2𝑥 + 1 − 3 |＜ϵ ⇔ |2𝑥 − 2 |＜ϵ ⇔ |𝑥 − 1 |＜.
ϵ 2 Assim, dado ϵ＞ 0 e tomando-seδ =
ϵ 2 | 𝑥 − 1 |＜δ ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑓(1) |＜ϵ Logo, 𝑓 é contínua em 𝑝 = 1.
2. A função constante 𝑓(𝑥) = 𝑘 é contínua em todo 𝑝real. Solução |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑝) | = |𝑘 − 𝑘 | = 0 para todo 𝑥 e todo 𝑝; assim, dado ϵ＞ 0 e tomando-se
um δ＞ 0 qualquer
|𝑥 − 𝑝 |＜δ ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑝) | = |𝑘 − 𝑘 |＜ϵ. Logo, 𝑓 é contínua em 𝑝, qualquer que seja 𝑝. Como 𝑓 é contínua em todo 𝑝de seu
domínio, resulta que 𝑓(𝑥) = 𝑘é uma função contínua.
NEGAÇÃO DE FUNÇÃO CONTÍNUA
A negação de função contínua em um ponto p é: ∼ (∀ ϵ＞0, ∃ δ＞0 / ∀ 𝑥 Є 𝐷𝑓, |𝑥 − 𝑝 |＜δ ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑝) |＜ϵ) ⇓ ∃ ϵ＞0 / ∀ δ＞0, ∃ 𝑥 Є 𝐷𝑓 / 𝑥 − 𝑝| |＜δ 𝑒 |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑝) | ≥ ϵ
Definição: Sejam 𝑓 uma função e 𝑝um ponto de seu domínio. Definimos:
𝑓 contínua em 𝑝quando ∀ ϵ＞0, ∃ δ＞0 / ∀ 𝑥 Є 𝐷𝑓, 𝑝 − δ＜𝑥＜𝑝 + δ ⇒ 𝑓(𝑝) − ϵ＜𝑓(𝑥)＜𝑓(𝑝) + ϵ.
Exercícios:
- é contínua em 𝑝 = 1? Justifique. Solução Intuitivamente, vemos que 𝑓 não é contínua em 𝑝 = 1, pois o gráfico apresenta “salto”
neste ponto. Para provar que 𝑓 não é contínua em 𝑝 = 1, precisamos achar um ϵ＞ 0 para o
qual não exista δ＞ 0 que torne verdadeira a afirmação
“ ∀ 𝑥 Є 𝐷𝑓, 1 − δ＜𝑥＜1 + δ ⇒ 𝑓(1) − ϵ＜𝑓(𝑥)＜𝑓(1) + ϵ”.
Como 𝑓(𝑥) = 1 para 𝑥＜ 1 e 𝑓(1) = 2, tomando-se ϵ = (ou ), para todo
1 2 0 ＜ϵ＜^1
δ＞ 0 ,
1 − δ＜𝑥＜ 1 ⇒ 𝑓(𝑥) = 1
e 1 não está entre 𝑓(1) − e. Logo, não existe que torne verdadeira a
1 2 𝑓(1) +^
1 2 δ＞^0
afirmação
“ ∀ 𝑥 Є 𝐷𝑓, 1 − δ＜𝑥＜1 + δ ⇒ 𝑓(1) − ”.
1 2 ＜𝑓(𝑥)＜𝑓(1) +^
1 2
Portanto, a função dada não é contínua em 𝑝 = 1. Observe que 𝑓 é contínua em todo 𝑝 ≠ 1.
REFERÊNCIAS
GUIDORIZZI, Hamilton. Um curso de Cálculo. Volume 1. 5. ed. São Paulo: LTC, 1995.
STEWART, James. Cálculo. Volume 2, 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009.