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Séries e Seqüências
SEQÜÊNCIAS
Definição: Uma seqüência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos. O contradomínio de uma seqüência será considerado o conjunto dos números reais.
A cada número inteiro positivo "n" corresponde um número real f(n).
a 1 = f(1) ; a 2 = f(2) ; a 3 = f(3) ; ... ; an = f(n)
Notações:
{an} = {a 1 , a 2 , a 3 , ..., an, ...}
an é o termo genérico da seqüência.
Exemplos:
Se, quando n cresce, an se torna cada vez mais próximo de um número real L , diz-se que a seqüência {an} tem limite L (ou converge para L) e se escreve:
Uma seqüência que não é convergente, é chamada de divergente.
TEOREMA DO SANDUÍCHE
Se {an}, {bn}, {cn} são seqüências tais que an bn cn para todo e se
então
SÉRIES
Definição: Se {an} é uma seqüência, então:
A soma infinita a 1 + a 2 + a 3 + ... + an + ... = é chamada série.
Cada número ai é um termo da série;
an é o termo genérico de ordem n.
Para definir a SOMA de infinitas parcelas, consideram-se as SOMAS PARCIAIS.
S 1 = a 1
S 2 = a 1 + a 2
S 3 = a 1 + a 2 + a 3
Sn = a 1 + a 2 + a 3 + ... + an-1 + an
E a SEQÜÊNCIA DAS SOMAS PARCIAIS
S 1 , S 2 , S 3 , ..., Sn, ...
Se essa seqüência tem limite S, então a série CONVERGE e sua soma é S.
Ou seja: Se , então a série converge e sua soma é a 1 +a 2 +a 3 +...+an... = S
Se a seqüência {Sn} não tem limite, então a série DIVERGE.
TEOREMA
Se e se converge, então também converge.
Se e se diverge, então também diverge.
OBS: Se an é expressa por uma fração, devemos considerar tanto no numerador, quanto no denominador de bn somente os termos de maior importância.
Ex: Verifique se a série dada converge ou diverge:
é uma série geométrica de razão 1/3, logo ela é convergente. Aplicando o teste da comparação, temos:
Logo, conclui-se que a série CONVERGE.
SÉRIE-P
CONVERGE se p > 1
DIVERGE se p 1
Se p = 1, a série
é chamada SÉRIE HARMÔNICA e, de acordo com o teorema, é divergente.
SÉRIE ALTERNADA
É da forma:
SÉRIES DE POTÊNCIA
Séries de potências de x:
ou
Séries de potência de (x-c):
Por conveniência, vamos admitir que , mesmo quando x = 0.
Ao substituir x por um número real, obtém-se uma série de termos constantes que pode convergir ou divergir.
Em qualquer série de potências de x, a série converge sempre para x=0, pois se substituirmos x por 0 a série se reduz a a 0.
Na série de potências de (x-c), a série converge para x = c.
Para determinar os outros valores de x para os quais a série converge, utiliza-se o teste da razão.
TESTE DE LEIBINZ
Uma série alternada CONVERGE se:
- Seu termo genérico, em módulo , tende a zero.
RESUMO
TESTE SÉRIE
CONVERGÊNCIA ou DIVERGÊNCIA
COMENTÁRIOS
da DIVERGÊNCIA ou do N-ÉSIMO TERMO
DIVERGE se
Nada se pode afirmar se
SÉRIE
GEOMÉTRICA
se | r | < 1.
Útil para testes de comparação
SÉRIE-P
CONVERGE se p > 1
DIVERGE se p 1
Útil para testes de comparação
da COMPARAÇÃO no limite
e
an > 0, bn > 0
CONVERGE, então
CONVERGE.
DIVERGE.
A série de
comparação , é, em geral, uma série geométrica ou uma série-p.
Para achar bn, consideram-se apenas os termos de an que têm maior efeito.
de LEIBNIZ
ALTERNADA
an > 0
CONVERGE se:
- A série dos módulos é decrescente.
Aplicável somente a séries alternadas.
Se o primeiro item é falso, aplica-se o TESTE DA DIVERGÊNCIA.
