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SEQUÊNCIAS
Geralmente quando queremos determinar certos elementos de um conjunto, ordenamos esses elementos seguindo um determinado padrão. Dizemos que esse conjunto corresponde a uma sequência ou sucessão. Elementos de uma sequência podem ser de vários tipos. Veremos alguns exemplos propostos a seguir: A escalacão de um time de futebol escritos em ordem alfabética: (Deola, Marcio, Marcos, Kleber, Valdivia, Victor). Anos em que aconteceram os jogos panamericanos no período de 1991 a 2007: (1991, 1995, 1999, 2003, 2007) Sequência dos números primos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...) Cada um desses elementos dos conjuntos que chamamos de sequência ou sucessões é denominado termo. Na sequência que anteriormente dizemos ser uma escalação de um time de futebol, Deola é o primeiro termo, Marcio o segundo termo, e assim por diante. De um modo geral, a representação dos termos de uma sequência é dada por uma letra e um índice que indica a posição do termo na sequência. O primeiro termo da sequência, por exemplo, pode aparecer indicado como A1, O segundo termo por A2, o terceiro termo por A3 e assim sucessivamente. Além dessas definições de sequências indicamos também o n-ésimo termo conhecido também pela notação definida An. O elemento An (termo geral) pode representar qualquer termo da sequência assim quando formos nos referir por exemplo ao 15° termo da sequência, basta indicarmos por An=A15. Indicamos também por An qualquer elemento que queremos tomar, pois An é conhecido principalmente por ser um termo de ordem n. A representação de uma sequência dada por definição é: (A1, A2, A3, A4, ..., An). Sequência finitas Números primos entre 2 e 29 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29); Posição relativa de times de futebol da primeira divisão do futebol brasileiro (1°, 2°, 3°, 4°, 5°, ..., 20°). Sequências infinitas Números naturais (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...); O conjunto entre todos os números primos (2, 3, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...); O conjunto de todos os números pares (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...). Exemplos
1) Determine os cinco primeiros elementos de uma sequência tal que an = 10n^ + 1, n N* a1 = 10^1 + 1 = 10 + 1 = 11 a2 = 10^2 + 1 = 100 + 1 = 101 a3 = 10^3 + 1 = 1000 + 1 = 1001 a4 = 10^4 + 1 = 10000 + 1 = 10001 a5 = 10^5 + 1 = 100000 + 1 = 100001 Portanto, a sequência será (11, 101, 1001, 10001, 100001). 2) Na sequência definida por em que , cada termo, exceto o primeiro, é igual ao anterior adicionado a 3. Portanto, a sequência pode ser escrita como (4, 7, 10, 13, ...). 3) Uma sequência numérica infinita (e1, e2, e3,…, en,…) é tal que a soma dos n termos iniciais é igual a n² + 6n. O quarto termo dessa sequência é igual a (A) 9 (B) 13 (C) 17 (D) 32 (E) 40 Resolução: Calculando a soma dos 3 primeiros termos: n² + 6n = 3² + 6.3 = 9 + 18 = 27 Calculando a soma dos 4 primeiros termos: n² + 6n = 4² + 6.4 = 16 + 24 = 40 Logo, o quarto termo é 40 – 27 = 13 Resposta: B 4) A senha de meu cofre é dada por uma sequência de seis números, todos menores que 100, que obedece a determinada lógica. Esqueci o terceiro
Veja que a sequência vermelha é a que começa com o menor número, ou seja, o número 15 aparecerá pela última vez nesta sequência. Analisando a sequência vermelha: 5 – posição 1 6 – posição 5 7 – posição 9 8 – posição 13 9 – posição 17 10 – posição 21 11 – posição 25 12 – posição 29 13 – posição 33 14 – posição 37 15 – posição 41 Resposta: B 7) Seguindo o padrão da sequência numérica, qual o próximo número correspondente nas sequências abaixo: a) (1, 3, 5, 7, 9, 11,...) b) (0, 2, 4, 6, 8, 10,...) c) (3, 6, 9, 12,...) d) (1, 4, 9, 16,...) e) (37, 31, 29, 23, 19, 17,...) a) Trata-se de uma sequência de número ímpares, donde o próximo elemento é o 13. b) Sequência de números pares, cujo elemento sucessor é o 12. c) Sequência de razão 3, donde o próximo elemento é 15. d) O próximo elemento da sequência é o 25, donde: 1²=1, 2²=4, 3²=9, 4²=16, 5²=25. e) Trata-se de uma sequência de números primos, sendo o próximo elemento
8) Estão representados na figura, os três primeiros termos de uma sequência de conjuntos de bolas pretas e brancas que segue uma lei de formação. O 7º termo desta sequência terá (A) 5 bolas pretas e 16 bolas brancas.
(B) 6 bolas pretas e 16 bolas brancas. (C) 7 bolas pretas e 22 bolas brancas. (D) 8 bolas pretas e 21 bolas brancas. (E) 8 bolas pretas e 23 bolas brancas. A maneira pela qual você pensou na resolução da questão é muito importante, portanto escreva no quadro a seguir, como você chegou à resposta. Resposta O padrão de formação é composto pelos três primeiros conjuntos de bolas (5, 9 e 13) nos quais, a quantidade de bolas aumenta de 1 bola preta e 3 brancas, conforme a figura a seguir. 9) Observe a sequência numérica a seguir: 1, 3, 5, 2, 7, 9, 11, 4, 13, 15, 17, 6, 19, 21, 23, 8, ... Mantida a lei de formação, o próximo número na sequência será: (A) 5 (B) 11 (C) 15 (D) 25 (E) 29 A maneira pela qual você pensou na resolução da questão é muito importante, portanto escreva no quadro a seguir, como você chegou à resposta. Resposta Professor, a questão forneceu a seguinte sequência: 1, 3, 5, 2, 7, 9, 11, 4, 13, 15, 17, 6, 19, 21, 23, 8, ... Note que a sequência é formada por números ímpares e pares. Na verdade, observe que temos sempre: 3 números ímpares; 1 número par; 3
