Fundamentos de Telecomunicações: Correlação e Densidade Espectral, Provas de Engenharia Elétrica

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Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

Capítulo 3

Correlação e

Densidade

Espectral

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3.1 Introdução

A energia de sinais n„o periÛdicos È representada no domÌnio da freq¸Íncia pela

transformada de Fourier, que È uma funÁ„o contÌnua da freq¸Íncia e livre de impulsos. O

sinal de energia È:

E = ò ò

∞

−∞

∞

−∞

v(t) = v(t).v(t)*dt

2

A densidade espectral de energia |V(f)| 2 d· a distribuiÁ„o em freq¸Íncia. Por outro

lado, a potÍncia de sinais periÛdicos È representada no domÌnio da freq¸Íncia por um

espectro impulsivo

A potÍncia mÈdia È:

→∞ ò−^ →∞^ ò−

= =

2

T

2

T

2

T

2

T v(t).v*(t)dt T

1 v(t) dt lim T

1 P lim T

2

T

3.2 Produto Escalar, Norma e Ortogonalidade

Seja v(t) e w (t) dois sinais. Ambos periÛdicos ou ambos n„o-periÛdicos.

O produto escalar de v(t) com w(t) È uma quantidade possivelmente complexa

representada por

e definida por:

ò

∞

∞

E v(t).w*(t)dt sinais com E ≠ 0

∆

= (^) ò →∞ −

2

T

2

T

v(t).w*(t)dt T

1 lim T

sinais com P ≠ 0

Caso os sinais sejam periÛdicos de mesmo T com P ≠ 0.

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Neste caso vale a superposiÁ„o da energia, isto È:

Ev = ||v||

2

Ev+w = ||v + w||

2 = ||v||

2

• ||w||

2

Ew = ||w||

2

CondiÁıes de ortogonalidade de:

1 – sinais disjuntos no tempo

2 – sinais disjuntos em freq¸Íncia

3 – sinais com simetria oposta (um par outro Ìmpar)

Estas condiÁıes n„o s„o necess·rias, porÈm suficientes.

De outra forma, o produto escalar nos fornece uma medida de similaridade entre os

dois sinais.

Se → 0 , os sinais tendem a ser ortogonais

Se || → ||v(t)||. ||w(t)|| os sinais tendem a ser proporcionais

3.3 Função Correlação

A correlaÁ„o entre duas formas de onda È uma medida de similaridade ou

relacionamento entre as formas de onda.

Define-se como a correlaÁ„o cruzada de v(t) com w(t):

Rvw(τ) =

A medida de correlaÁ„o cruzada È mais importante que o produto escalar, pois ela

permite verificar a similaridade existente entre duas funÁıes quando uma delas È desviada

no tempo de τ s que passaria despercebido pelo produto __.

Define-se como autocorrelação , a correlaÁ„o de uma funÁ„o consigo mesma.

Rv(τ) = Rvv(τ)

∆ = (^)

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Por exemplo:

Se |Rv (τ)| È grande, conclui-se que v(t - τ) È proporcional a ± v(t) se:

|Rv(τ)| → 0 , ent„o v(t) e v(t - τ) s„o ortogonais.

Se o desvio for nulo, isto È, τ = 0

Rv(τ) = Rv(0) = = ||v(t)||

2 , logo

|Rv(τ)| ≤ Rv(0)

Pode-se mostrar que: Rv (-τ) = Rv

(τ)

Portanto, se v(t) È real Rv (τ) È real e tem simetria par.

Seja o sinal z(t) = v(t) + w(t)

Rz (τ) = Rv(τ) + Rvw(τ) + Rwv (τ) + Rw(τ)

Se v(t) e w(t) s„o ortogonais, teremos: Rvw = Rwv = 0

Rz (τ) = Rv(τ) + Rw(τ)

||z||

2 = ||v||

2

• ||w||

2

CorrelaÁ„o as vezes È tambÈm conhecida por coerência. Quando a correlaÁ„o È

nula, os sinais s„o ditos incoerentes.

AutocorrelaÁ„o de uma senÛide.

z(t) = A. cos (W (^) 0t + θ) W 0 = T 0

2 π

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G(f) → funÁ„o densidade espectral

Logo:

F

• [Gv(f)] = Rv(τ) = (^) ò

∞

`−∞ Gv(f).e

j2πfτ df

Rv(τ) ↔ Gv(f) Teorema de wiener-kinchine

A principal propriedade de Gv (f) È que a integraÁ„o ao longo de todo espectro de

freq¸Íncia fornece ||v|| 2 como pode ser facilmente verificado substituindo-se τ = 0 na

equaÁ„o de Rv (τ).

ò

∞

`−∞ Gv(f)df = ||v||

2

O que justifica o nome de funÁ„o densidade espectral dada a Gv (f).

Mas, ||v|| 2 representa a energia ou potÍncia associada com v(t) e isto nos parece um

tanto esquisito.

Recordemos que:

[Rv(τ)] = [v(τ)] * [v

(-τ)]

Usando o teorema da convoluÁ„o

[v(τ)] = V(f) e [v

(-τ)] = V

(f) logo:

Gv(f) = [R (^) v(τ)] = [v(τ)]*[v

(-τ)]

Gv(f) = V(f).V

(f) = |V(f)|

2

Que È a densidade espectral de energia.

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Rv(τ) = F

ñ [|V(f)|

2 ] = (^) ò

∞

`−∞ |V(f)|

2 .e

j2πfτ df

Que È tambÈm uma alternativa para a autocorrelaÁ„o. Quando τ = 0,

||v||

2 = Rv(0) = (^) ò

∞

`−∞ |V(f)|

2 df

Que È o teorema de Rayleigh para a energia.

3.5 Relação de Entrada e Saída

Se x(t) È um sinal com espectro de X(f), a densidade espectral de energia de saÌda È:

|Y(f)|

2 = |H(f)|

2

. |X(f)|

2

Gy (f) = |H(f)|

2

. Gx(f) , onde Gy (f) = |Y(f)|

2

Gx(f) = |Y(f)|

2

A autocorrelaÁ„o obtida na saÌda pode ser obtida por:

Ry (τ) = F

ñ [Gy (f)] = (^) ò

∞

`−∞ |H(f)|

2 .Gx(f).e

j2πfτ df

Uma outra aplicaÁ„o È a correlaÁ„o da derivada de um sinal.

Suponha que:

dt

dv(t) w(t) =

Queremos Gw(f) e se conhece Gv (f).

Um diferenciador tem funÁ„o de transferÍncia H(f) = j2πf

h(t)

H(f)

y(t)

G (^) y(f)

x(t)

G (^) x(f)

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Logo:

||v||

2

. ||w||

2 > ||

2

O que confirma a desigualdade de Schwarz

2) Por inspeÁ„o estabeleÁa as condiÁıes sobre α, tal que cada um dos seguintes

pares sejam ortogonais.

a) π ÷ ø

ö ç è

æ

τ

t ; π

( ) ú û

ù ê ë

é −

τ

t α

Resposta:

|α| > τ o que implica em disjunÁ„o no tempo.

b) sinc(2wt), sinc(2wt) cos 2π αt

Resposta:

|α| > 2w o que implica em disjunÁ„o em freq¸Íncia

c)e

-|t| , t

α

Resposta:

α = ± 1; ± 3; ± 5; ± 7;... isto implica em sinais com simetria oposta.

3) O pulso gaussiano x(t) = 3e

• π(10t) 2 È aplicado a um filtro gausiano com

H(f) = e

• π(f/5) 2 . Determine e esboce Rx (τ), Gx (f), Gy(f) e Ry(τ).

Calcule:

2

2

||x||

||y||

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Solução:

x(t) ↔ X(f)

Ver tabela A – Carlson

X(f) = 10

. e - π(f/10) 2

Gx(f) = X(f).X

(f) =

10

π( 2 f)^2

.e 100

Rx(τ) = F

ñ [Gx(f)] =

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ë

é ÷ ÷ ø

ö ç ç è

æ −

2

10

2 f π

. e 10

2 . 10 2

9

Rx(τ) = 10 2

. e - π 50 τ 2

Gy (f) = |H(f)|

2

. Gx(f) |H(f)|

2

25

-2 f 2

e

π

Gy (f) =

25

-2 f^2

e

π

2 f 10

2

• π e 100

(^9) ú ú û

ù ê

ê ë

é ÷ ÷ ø

ö ç ç è

æ

Gy (f) =

÷ ÷ ø

ö ç ç è

æ − + 100

f 25

f 2 π

2 2

.e 100

20

f 2 π

2

.e 100

Gy (f) =

2

10

f π

. e 100

9 ÷÷ø

ö çç è

−æ

R

y

(τ) = F

ñ [Gy (f)] =

2

10

π

. e 10 10

9 ÷÷ø

ö çç è

æ − σ

0 , 447 10

2

10 2

9

10 10

9

. R ( 0 )

R ( 0 )

||x||

||y||

x

y 2

2 = = =