Baixe Tabela derivadas e integrais e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity!
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
sen^2 a + cos^2 a = 1 tg x = sen x cos x cotg x = cos x sen x € sec x =
cos x cosec x =
sen x € sen^2 a + cos^2 a = 1 1 + tg^2 x = sec^2 x 1 + cotg^2 x = cosec^2 x sen^2 x = 1 / 2 (1 - cos 2 x ) cos^2 x = 1 / 2 (1 + cos 2 x )
sen 2 x = 2 sen x cos x
sen x cos y = 1 / 2 [sen( x − y ) + sen( x + y )]
sen x sen y = 1 / 2 [cos( x − y ) − cos( x + y )]
cos x cos y = 1 / 2 [cos( x − y ) + cos( x + y )]
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS
senh x = ex^ − e −^ x 2 cosh x = ex^ + e −^ x 2 € tgh x = ex^ − e −^ x ex^ + e −^ x cotgh x = ex^ + e −^ x ex^ − e −^ x € sech x =
ex^ + e −^ x cosech x =
ex^ − e −^ x TABELA DE DERIVADAS.
- y = c ⇒ y ' = 0 2. € y = sen u ⇒ y ' = cos u. u ' 3. € y = senh u ⇒ y ' = cosh u. u '
- y = ax ⇒ y ' = a 5. € y = cos u ⇒ y ' = − sen u. u ' 6. € y = cosh u ⇒ y ' = senh u. u '
- y = c. u ⇒ y ' = c. u ' (^) 8. € y = tg u ⇒ y ' = sec^2 u. u ' 9. € y = tgh u ⇒ y ' = sech^2 u. u '
- y = u + v ⇒ y ' = u ' + v ' (^) 11. € y = cotg u ⇒ y ' = −cosec^2 u. u ' 12. € y = cotgh u ⇒ y ' = −cosech^2 u. u '
- y = u. v ⇒ y ' = ( u. v ' ) + ( v. u ' ) 14. € y = sec u ⇒ y ' = sec u. tg u. u ' 15. € y = sech u ⇒ y ' = −(sech u ).(tgh u. u ' )
16. y =
u
v
⇒ y ' =
( v. u ') −^ ( u. v ')
v^2
€ y = cosec u ⇒ y ' = −cosec u .cotg u. u ' 18. € y = cosech u ⇒ y ' = −(cosech u ).(cotgh u. u ' )
- y = un^ ,( n ≠ 0 ) ⇒ y ' = n .( un −^1 ). u ' 20. € y = arc sen u ⇒ y ' = u ' 1 − u^2
€ y = arg senh u ⇒ y ' = u ' u^2 + 1
22. y = au^ , ( a ≥ 0 , a ≠ 1 ) ⇒ y ' = au^ .ln a. u ' 23.
y = arc cos u ⇒ y ' = − u ' 1 − u^2
€ y = arg cosh u ⇒ y ' = − u ' u^2 − 1 , u > 1
- y = eu^ ⇒ y ' = eu^. u ' 26. € y = arc tg u ⇒ y ' = u '
(^1 +^ u^2 ) 27.
y = arg tgh u ⇒ y ' = − u ' 1 − u^2 , u < 1
- y = log a u ⇒ y ' = u ' u log a e 29. € y = arc cotg u ⇒ y ' = − u '
(^1 +^ u^2 ) 30.
y = arg cotgh u ⇒ y ' = u ' 1 − u^2 , u > 1
- y = ln u ⇒ y ' = u ' u 32. € y = arc sec u , u ≥ 1 ⇒ y ' = u ' u u^2 − 1 , u > (^1) 33. € y = arg sech u ⇒ y ' = − u ' u 1 − u^2 , 0 < u < 1
- y = uv^ ⇒ y ' = ( v. uv −^1. u ' ) + ( u v^ .ln u. v ' ) 35. € y = arc cosec u , u ≥ 1 ⇒ y ' = − u ' u u^2 − 1 , u > 1 36. € y = arg cosech u ⇒ y ' = − u ' u 1 + u^2 , u ≠ 0
INTEGRAIS
∫ du = u + C 2.
∫ adu = au + C 3.
∫^ un^ du =^
un +^1
n + 1
+ C, n ≠ -
du
u
∫ =^ ln^ |^ u^ |^ + C^ 5.
∫^ audu =^
au
ln a
+ C, a > 0 e a ≠ 1 6.
∫^ eudu^ =^ eu^ +^ C
€
∫^ cu^ du =^ c^ ∫ u^ du 8.
∫ sen^ u^ du^ =^ −^ cos^ u^ +^ C 9.
∫^ cos^ u^ du^ =^ sen^ u^ +^ C
€
∫ tg^ u^ du^ =^ lnsec^ u^ +^ C 11.
∫ cotg^ u^ du^ =^ ln^ sen^ u^ +^ C 12.
∫^ sec^ u^ du^ =^ ln^ sec^ u^ +^ tg^ u^ +^ C
€
∫ cosec^ u^ du^ =^ ln^ cosec^ u^ −^ cotg^ u^ +^ C 14.
∫^ sec u tg u^ du^ =^ sec u^ +^ C 15.
∫^ cosec u cotg u^ du^ =^ − cosec u^ +^ C
€
∫ sec^2 u^ du^ =^ tg^ u^ +^ C 17.
∫ cosec^2 u^ du^ =^ −cotg u^ +^ C 18.
du u^2 + a^2
∫ =^
a arc tg u a
+ C
€ du a^2 − u^2
∫ =^
2 a ln u + a u − a
- C , u^2 > a^2 20. € du u^2 ± a^2
∫ =^ ln^ u^ +^ u^2 ±^ a^2 +^ C^ 21.
du u a^2 ± u^2
∫ =^ −^
a ln a + a^2 ± u^2 u
+ C
€ du a^2 − u^2
∫ =^ arc^ sen^
u a
- C , u^2 < a^2 23. € du u u^2 − a^2
∫ =^
a arc sec u a
+ C 24.
∫^ senh^ u^ du^ =^ cosh^ u^ +^ C
€
∫ cosh^ u^ du^ =^ senh^ u^ +^ C 26.
∫ sech^2 u^ du^ =^ tgh^ u^ +^ C 27.
∫^ cosech^2 u^ du^ =^ −cotgh^ u^ +^ C
€
∫ sech^ u^ tgh^ u^ du^ =^ −sech^ u^ +^ C 29.
∫^ cosech^ u^ cotgh^ u^ du^ =^ −cosech^ u^ +^ C
∫^ udv^ =^ uv^ −^ ∫ vdu
Fórmulas de Recorrências
€
∫ sen n^ u^ du =^ −^
n sen n −^1 u cos u + n - 1 n
∫sen n −^2 u^ du
€
∫ cos n^ u^ du =^
n cos n −^1 u sen u + n - 1 n
∫cos n −^2 u^ du
€
∫ tg n^ u^ du =^
n − 1
tg n −^1 u − ∫tg n −^2 u du
∫ cotg n^ u^ du =^ −^
n − 1
cotg n −^1 u − ∫cotg n −^2 u du
€
∫ sec n^ u^ du =^
n − 1 sec n −^2 u tg u + n - 2 n - 1
∫sec n −^2 u^ du
∫ cosec n^ u^ du =^ −^
n − 1
cosec n −^2 u cotg u +
n - 2
n - 1
∫cosec n −^2 u^ du
€ du ( u^2 + a^2 ) n
∫ =^
u ( u^2 + a^2 )^1 − n 2 a^2 ( n − 1 )
2 n − 3 2 a^2 ( n − 1 ) du ( u^2 + a^2 ) n −^1
SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA
a^2 − u^2 = a cos θ
u = a sen θ
du = a cos θ d θ
u^2 + a^2 = a sec θ
u = a tg θ
du = a sec
2
θ d θ
u^2 − a^2 = a (tg θ )
u = a sec θ
du = a (sec θ )(tg θ ) d θ
sen
m
x cos
n
∫ x^ dx Procedimento^ Identidades Relevantes
n ímpar Separe um fator de cos x Aplique a identidade Faça a substituição u = sen x
x x
2 2
cos = 1 −sen
m ímpar Separe um fator de sen x Aplique a identidade Faça a substituição u = cos x
sen 2 x = 1 −cos^2 x
n par m par Utilize a identidade relevante para reduzir as potências de sen x e cos x.
( 1 cos 2 )
cos
( 1 cos 2 )
sen
2 2
x x
x x
∫ tg m^ x^ sec n^ x^ dx Procedimento^ Identidades Relevantes
n par Separe um fator de sec^2 x Aplique a identidade Faça a substituição u = tg x
sec^2 x = tg^2 x + 1
m ímpar Separe um fator de sec x tg x Aplique a identidade Faça a substituição u = sec x
tg
2
x = sec
2
x − 1
n ímpar m par Utilize a identidade relevante para reduzir o integrando somente às potências de sec x. Utilize as fórmulas de redução para potências de sec x.
tg^2 x = sec^2 x − 1
COMPRIMENTO DE ARCO INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
L = 1 + [ f ' ( x )]^2 dx a b
OU
L = 1 + [ g ' ( y )]^2 dy c d
Se f é contínua para
x ≥ a ⇒ f ( x ) dx
a +∞
∫ =^ lim
b → +∞
f ( x ) dx
a b
∫ ,^ se existir
Se f é contínua para
x ≤ b ⇒ f ( x ) dx
−∞ b
∫ =^ lim
a → −∞
f ( x ) dx
a b
∫ ,^ se existir
Se f é contínua para todo x ⇒ f ( x ) dx
−∞ +∞
∫ =^ lim
a → −∞
f ( x ) dx
a 0
∫ +^ lim
b → +∞
f ( x ) dx
0 b
∫ se existirem
