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Teste N.º 3 de Matemática A 11.º Ano Expoente^11 | Daniela Raposo e Luzia Gomes
Teste de Matemática A
Teste N.º 3
Matemática A
Duração do Teste: 90 minutos
11.º Ano de Escolaridade
Nome do aluno: __________________________________________ N.º: ___ Turma: ___
Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta.
Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretende que não seja classificado.
É permitido o uso de calculadora.
Apresente apenas uma resposta para cada item.
As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado.
Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de
respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.
Na resposta aos restantes itens, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas
as justificações necessárias. Quando para um resultado não é pedida a aproximação,
apresente sempre o valor exato.
Teste N.º 3 de Matemática A 11.º Ano Expoente^11 | Daniela Raposo e Luzia Gomes
1. Na figura está representada, num referencial ortonormado 𝑂𝑥𝑦, a circunferência de centro em 𝑂 e raio 4. Sabe-se que: os pontos^ 𝐴, 𝐵 e^ 𝑃 pertencem à circunferência; o ponto^ 𝐴^ tem abcissa positiva e ordenada nula; o ponto 𝐵 é obtido a partir do ponto 𝑃 por uma rotação de centro no ponto 𝑂 e amplitude 90°; o ponto 𝑃 pertence ao 3.º quadrante e tem abcissa െ 2. A área do triângulo ሾ𝑂𝐴𝐵ሿ é: 2. Considere as funções 𝑓 e 𝑔, ambas de domínio ቃെ ଶଷ , ହଷ ቂ, representadas graficamente na figura
e definidas por: 𝑓ሺ𝑥ሻ ൌ 2 senଶ^ ሺെ𝑥ሻ 4 e 𝑔ሺ𝑥ሻ ൌ 7 cos ቀെ𝑥 ଶ ቁ 1 Sabe-se que: 𝐴 e 𝐵, ambos de abcissa positiva, são pontos de interseção dos gráficos de 𝑓 e de 𝑔; 𝐶, de abcissa negativa, e 𝐷, de abcissa positiva, são pontos do gráfico de 𝑔 cuja ordenada é mínima. Determine, recorrendo a processos exclusivamente analíticos, a área do trapézio ሾ𝐴𝐵𝐶𝐷ሿ^.
3. Na figura estão representados, num referencial ortonormado 𝑂𝑥𝑦, a circunferência 𝐶, de equação ሺ𝑥 െ 2 ሻ ଶ^ ሺ𝑦 െ 4 ሻ ଶ^ ൌ 40 , a reta 𝑡 e quatro pontos, 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐷. Sabe-se que: 𝐴, 𝐵 e 𝐷 são pontos da circunferência; 𝐶 é o centro da circunferência; 𝐷 tem abcissa negativa e ordenada igual à abcissa do ponto 𝐶; a reta 𝑡 é tangente à circunferência no ponto 𝐷. 3.1 Sabendo que a área da região colorida é ସଷ , o valor do produto escalar 𝐶𝐴ሬሬሬሬሬ⃗^. 𝐶𝐵ሬሬሬሬሬ⃗^ é: (A) (^20) (B) 20 √ 3 (C) െ (^20) (D) െ 20 √ 3
3.2 Seja β a inclinação da reta 𝑡. Determine, recorrendo a processos exclusivamente analíticos, o valor exato de sen ቀെβ െ ଶ ቁ.
(A) 4 (B) 2 (C) 4 √ 3 (D) 2 √ 3
Teste N.º 3 de Matemática A 11.º Ano Expoente^11 | Daniela Raposo e Luzia Gomes
8. Considere uma espiral constituída por 50 semicircunferências, de diâmetros 1, 3, 5, 7, 9, e assim sucessivamente, tendo cada semicircunferência, a partir da segunda, mais 2 unidades de diâmetro do que a semicircunferência anterior, como se representa na figura. Considere a sequência crescente dos comprimentos das semicircunferências. Os termos desta sequência são termos conse- cutivos de uma progressão aritmética. 8.1 Mostre que os termos desta sequência são termos consecutivos de uma progressão aritmética cuja razão é π.
8.2 Determine o comprimento total da espiral constituída pelas 50 semicircunferências.
9. Considere duas progressões, uma aritmética e uma geométrica, das quais se sabe que:
o primeiro termo da progressão aritmética é igual a metade do primeiro termo da progressão geométrica; a razão da progressão geométrica é 3; a soma dos dez primeiros termos da progressão aritmética é igual a 255; a soma dos quatro primeiros termos da progressão geométrica é igual a 240. Determine a razão da progressão aritmética.
FIM
COTAÇÕES
Item Cotação (em pontos)
1. 2. 3.1 3.2 4.1 4.2 4.3 5. 6. 7. 8.1 8.2 9. Total 10 20 10 18 18 10 20 10 18 10 18 18 20 200
