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Escola Secundária Carlos Amarante
Ficha de Avaliação nº 3 – Matemática A – 12 º Ano 3 de fevereiro 202 3
1. Qual dos seguintes limites é finito?
(A) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→− ∞
𝜋
𝑒
𝑥
(B) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→− ∞
𝑒
𝜋
𝑥
(C) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→− ∞
𝑥
(D) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→− ∞
−𝑥
2. Considere uma circunferência de raio 2 e centro C. Seja [DB]
um diâmetro dessa circunferência.
Considere que o ponto 𝑃 percorre a semicircunferência e,
para cada posição desse ponto seja:
- 𝐴 o pé da perpendicular de 𝑃 sobre [DB];
- 𝑥 a amplitude, em radianos, do ângulo 𝑃𝐶𝐵
]
[)
[
]
em função de 𝑥.
2.1 Mostre que 𝑓(𝑥) = 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛( 2 𝑥).
2.2 Indique o valor de
lim
f x
x
e interprete geometricamente o resultado.
2.3 Determine a área do triângulo [𝐴𝑃𝐵] se 𝑠𝑒𝑛 (
5 𝜋
2
3
5
2.4 Mostre que 𝑓 ´ (𝑥) = 2 + 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 4 𝑐𝑜𝑠
2
𝑥 e determine o valor de 𝑥 que maximiza a
área do triângulo [𝐴𝑃𝐵].
3. Considere a função 𝑓 definida analiticamente por 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔( 2 𝑥). O declive da reta tangente ao
gráfico de 𝒇 , no ponto de abcissa
𝝅
𝟑
é:
(A)
𝟏
𝟖
(B)
𝟐 √
𝟑
𝟑
(C)
𝟒
𝟑
(D) 𝟖.
- Escreva na tua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão de escolha
múltipla.
- Nas respostas aos itens de desenvolvimento apresente o raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos
que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.
- Atenção : quando para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exato.
Nome: ________________________________________________________________ nº ________ Turma: _______
4. Seja 𝑘 um número real tal que a sucessão (𝑢
𝑛
), definida por 𝑢
𝑛
𝑛−𝑘
𝑛
𝑛
, tem limite igual a
Qual é o valor de 𝑘?
(A) − 2 (B) −
1
2
(C)
1
2
(D) 2
5. Resolve, em IR, a equação 4 × 2
4 𝑥
+ 3 × 2
𝑥
− 2 𝑥
6. Considera a função g, de domínio IR, definida por 𝑔
𝑥
− 4. Resolve os itens sem usar
calculadora.
6.1 Determina a abcissa do ponto do gráfico de g de ordenada
9
√
9
5
6.2 Determina o domínio de f sendo 𝑓
𝑔
( 𝑥
) − 23
𝑒−𝑒
𝑥
6.3 Na figura estão representados, num referencial 𝑜. 𝑛. 𝑥𝑂𝑦,
parte do gráfico da função g e o trapézio retângulo
[ABCD]. Sabe-se que:
- O ponto A pertence ao gráfico de g e ao eixo 𝑂𝑦;
- O ponto B tem a mesma ordenada que A;
- O ponto C tem a mesma abcissa que B;
- O ponto D tem abcissa − 2 e a mesma ordenada que C;
Supondo que a abcissa do ponto B é 2.
Calcula a área do trapézio [ABCD].
6.4 Seja ℎ a função, definida por ℎ
O domínio da função ℎ ∘ 𝑔 é:
(A)
]
]
(B)
]
]
(C) [ 2 , + ∞
[
(D)
]
]
Formulário
Geometria
Comprimento de um arco de circunferência
α𝑟 (α − amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; 𝑟 − raio)
Área de um polígono regular : Semiperímetro × Apótema
Área de um setor circular:
α𝑟
2
2
α − amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; 𝑟 − raio
Área lateral de um cone: π 𝑟 𝑔 (𝑟 − raio da base; 𝑔 − geratriz)
Área de uma superfície esférica: 4 π 𝑟
2
(𝑟 − raio)
Volume de uma pirâmide:
1
3
× Área da base × Altura
Volume de um cone:
1
3
× Área da base × Altura
Volume de uma esfera:
4
3
π 𝑟
3
(𝑟 − raio)
Progressões
Soma dos 𝑛 primeiros termos de uma progressão (𝑢
𝑛
Progressão aritmética:
𝑢 1
+𝑢 𝑛
2
× 𝑛
Progressão geométrica: 𝑢
1
×
1 −𝑟
𝑛
1 −𝑟
Trigonometria
sen
= sen 𝑎 cos 𝑏 + sen 𝑏 cos 𝑎
cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 − sen 𝑎 sen 𝑏
Complexos
(ρ𝑒
𝑖θ
𝑛
= ρ
𝑛
𝑖𝑛θ
√ρ 𝑒
𝑖θ
𝑛
ρ
𝑛
𝑖
θ+ 2 𝑘π
𝑛 (𝑘 ∈ { 0 , … , 𝑛 − 1 } e 𝑛 ∈ ℕ)
Regras de derivação
′
′
′
′
′
′
2
𝑛
′
𝑛− 1
′
(sen 𝑢)
′
′
cos 𝑢
cos 𝑢
′
′
sen 𝑢
(tg 𝑢)
′
′
cos
2
𝑢
′
′
𝑢
𝑢
′
′
𝑢
ln 𝑎 (𝑎 ∈ ℝ
{ 1 })
ln 𝑢
′
′
(log
a
′
𝑢 ln 𝑎
{ 1 })
Limites notáveis
lim ( 1 +
1
𝑛
𝑛
lim
𝑥→ 0
sen 𝑥
lim
𝑥→ 0
𝑥
lim
𝑥→+∞
ln 𝑥
lim
𝑥→+∞
𝑥
𝑝
