Proposta de teste de avaliação
Matemática A
12.
O
A
NO DE ESCOLARIDADE
Duração: 90 minutos
|
Data:
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Guias e Dicas
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Encontrar documentos
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade
Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade
Videoaulas
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Quiz
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Teste Matemática A 12 ano - Manual Máximo
Tipologia: Provas
2023
1 / 10
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Documentos relacionados
Pré-visualização parcial do texto
Baixe Teste Matemática A 12 ano e outras Provas em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Proposta de teste de avaliação
Matemática A
O
ANO DE ESCOLARIDADE
Duração: 90 minutos | Data:
o
Caderno 1
(é permitido o uso de calculadora)
Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de
respostas, o número do item e a letra que identificam a opção escolhida.
1. Seja f a função de domínio
[ ]
0 ,π definida por ( )
4 4
f x = x + cos x −sin x
1.1. Mostre que
, cos 2
f
∀ ∈ x D f x = x + x.
1.2. Recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto, determine
f
1.3. Qual das seguintes opções indica a abcissa de um ponto do gráfico de f em que a reta
tangente é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares?
(A)
(B)
(C)
(D)
1.4. Estude a função f quanto ao sentido da concavidade do gráfico e à existência de pontos de
inflexão.
1.5. Na figura está representado, em referencial ortonormado xOy , o gráfico da função f.
Os vértices A e C do retângulo
[ ]
OABC pertencem aos
semieixos positivos Ox e Oy , respetivamente. O vértice B
pertence ao gráfico de f.
Sabendo que o retângulo
[ ]
OABC tem medida de área igual
a 5 u.a., recorra à calculadora gráfica para determinar um
valor aproximado do comprimento da diagonal
[ ]
OB.
Na sua resposta deve:
- equacionar o problema;
- reproduzir o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora, incluindo o referencial;
- indicar o valor pedido arredondado às décimas.
f
x
y
O
C B
A
π
o
Caderno 2
(não é permitido o uso de calculadora)
Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de
respostas, o número do item e a letra que identificam a opção escolhida.
3. Considere, para um certo número real k , a função f , de domínio
ℝ , definida por:
2
2
sin 2 2
se 0 1
3 se 1
k x
x
f x x x
x x x
3.1. Determine k sabendo que a função f é contínua em x = 1.
3.2. Estude a função f quanto à existência de assíntotas não verticais ao respetivo gráfico.
4. Considere a função f :ℝ →ℝ definida por
( ) ( )
f x = 4 cos x + 2sin 2 x.
4.1. Na figura está representada uma circunferência de centro no ponto O e raio 2.
Sabe-se que:
- os diâmetros
[ ]
DE e
[ ]
CF são perpendiculares;
- o ponto A se desloca sobre o arco EF ;
- para cada posição do ponto A o ponto B é a sua imagem na reflexão de eixo FC ;
- x é a amplitude, em radianos, do ângulo EOA 0,
x
π
a) Mostre que, para cada 0,
x
π
, a área do triângulo
[ ]
ABC é dada por
f x.
b) Determine, caso exista, o valor de x para o qual a área do triângulo
[ ]
ABC é máxima.
x
O
A
B
C
D E
F
o
4.2. Se
arcsin sin
α
, então
f α é igual a:
(A) 3 (B) − 3 (C) 3 3 (D) − 3 3
5. Um ponto P desloca-se numa reta numérica durante um intervalo de tempo I , de tal forma que a
respetiva abcissa é dada por ( ) 2sin
x t t
5.1. Mostre que se trata de um oscilador harmónico.
5.2. A frequência
f e o ângulo de fase
ϕ deste oscilador são:
(A)
f = e
ϕ
= (B) f = 2 e
ϕ
(C)
f = e
ϕ
= (D) f = 2 e
ϕ
6. Seja
( )
n
u a sucessão definida por
3
n
n
u
n
O valor de lim ( )
n
u é:
(A)
e
e
(B)
2
e
e
(C) e e (D)
3 2
e
Fim da prova
COTAÇÕES (Caderno 2)
Item
Cotação (em pontos)
3.1. 3.2. 4.1. a) 4.1. b) 4.2. 5.1. 5.2. 6. Total
15 15 15 20 10 15 10 10 110
TOTAL (Caderno 1 + Caderno 2) 200
o
1.4. f ( x ) 1 2sin 2( x ) 0 2 2cos 2( x ) 4 cos 2( x )
= − = − × = −
( ) ( ) [ ]
f ′′ x = 0 ⇔ −4 cos 2 x = 0 ∧ x ∈ 0 ,π ⇔
⇔ cos 2 ( x ) = 0 ∧ x ∈ [ 0 ,π ⇔]
[ ]
x k k ∈ x
π
⇔ = + π ℤ∧ ∈ π ⇔
[ ]
k
k
x ∈ x
π π
⇔ = + ℤ∧ ∈ π ⇔
x x
π π π
x x
π 3π
x 0 0
4
π
4
3π
π
f
′′
− − 0 + 0 − −
f ∩ ∪ ∩
P.I. P.I.
O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em 0 ,
π
e em
π
π
e tem a concavidade
voltada para cima em
π π
. Os pontos de abcissas
π
e
3π
são pontos de inflexão.
1.5. A área do retângulo [ OABC ] é igual a OA × AB.
Designando por x a abcissa dos pontos A e B , tem-se OA = x e ( )
AB = f x.
Vamos, assim, começar por determinar
] ]
x ∈ 0 ,π , tal que ( )
x × f x = 1.
Utilizando a calculadora gráfica, determinou-se a interseção da reta de equação y = 1 com a curva de
equação y = x × f ( x ) ⇔ y = x x +cos 2( x )
A abcissa do ponto A é, aproximadamente igual, a 2, 296.
OA = x ≈ 2, 296
( ) ( ) ( )
AB = f x ≈ f 2, 296 ≈ 2, 296 + cos 2 × 2, 296 ≈2,
( )
2
2 2 2
OB = x + f x ≈ 2, 296 + 2,176 ≈3, 2
Portanto, OB ≈ 3, 2.
x
O
2, 296
5
y = x × f ( x )
y
O
A
C
B
f ( x )
x
o
0
n
r
C C
n
0
C = 10 000, n = 12 e C =10 212
12 12
r r
×
1 1
12 12
r r
1
12
10 212
r
⇔ r ≈ 2,
Resposta: (C)
Caderno 2
2
2
sin 2 2
se 0 1
3 se 1
k x
x
f x x x
x x x
3.1. f é contínua em x = 1 se existir ( )
1
lim
x
f x
→
0
0
2
1 1 1
sin 2 2 sin 2 2
lim lim lim
x x x
k x x
f x k
x x x x
− − −
→ → →
1 1 1
2sin 2 2 sin 2 2 2
lim lim lim
x x x
x x
k k
x x x x
− − −
→ → →
= = − × =
0
sin
2 lim 2 1 2
y
y
k k k
y
→
= − × × = − × = −
2 2
1 1
lim lim 3 1 3 1 3 1
x x
f x x x f
→ →
Para que exista
1
lim
x
f x
→
é necessário e suficiente que:
1 1
lim lim 1 2 3
x x
f x f x f k k
− +
→ →
Portanto, se a função f é contínua em x = 1 , então
k = −.
3.2. Como
f
D
= ℝ , só poderá existir assíntota não vertical ao gráfico de f em +∞.
Seja y = mx + b a assíntota ao gráfico de f em +∞ , caso exista.
2
2 2
lim lim lim
x x x
x x
f x x x x
m
x x x
∞
∞
→+∞ →+∞ →+∞
2
2 2
lim lim lim
x x x
x
x x x x
x
x x
x x x
→+∞ →+∞ →+∞
2
lim 1 1 1 0 1 2
x
x
→+∞
2 2
Se 1 , 0.
y x
x y
− +
= −
→ →
o
x 0
6
π
2
π
f
′
- 0 −
f 4 ր ց
Máx.
A área do triângulo [ ]
ABC é máxima para
x
π π π
sin sin sin
π π π
= π − =
arcsin sin arcsin sin
π π π
porque ,
( )
4 cos 2sin 2
f α f
π π π
= = + × =
= × + × = + =
Resposta: (C)
( )
2sin 2 cos
x t t t
π π π
= π − = − π − =
2 cos
t
π π
= − π + =
2 cos
t
5π
= −π + =
2 cos
t
5π
= π − =
2 cos 2
t
5π
= π − + π =
2 cos
t
7π
= π +
( )
x t é da forma ( )
A cos ω t + ϕ com A > 0 , ω > 0 e
[ [
ϕ ∈ 0 , 2π , logo é um oscilador harmónico.
5.2. Frequência:
f
π
π
; fase:
π
Resposta: (A)
( )
3 3
3
lim lim 1 lim 1 lim 1
n n
n
n
u
n n n
( )
1
3
1 3 1
2
2
2 2 2
2 2
e e
e e e
e e
− − −
Resposta: (B)
[ ]
[ ]
, 1 , 1
2 2
sin
1 , 1 ,
2 2
arcsin
x x
x x
π π
− → −
→
π π
− → −
→
3 2
2 3 6 6
π π π + π 5π
- = =
cos ( − α )=cosα
sin cos
2
α α
π
= −