Transformada de Laplace: Definição, Existência, Propriedades e Exercícios, Slides de Cálculo

Baixe Transformada de Laplace: Definição, Existência, Propriedades e Exercícios e outras Slides em PDF para Cálculo, somente na Docsity!

C´alculo II

Lu´ıs M. Silva (adapta¸c˜ao)

Departamento de Matem´atica Universidade de Aveiro

1

Conte´udo

1 Transformada de Laplace

2 Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias

3 S´eries Num´ericas

4 S´eries de Potˆencias

5 Sucess˜oes e S´eries de Fun¸c˜oes

6 S´eries de Fourier

Defini¸c˜ao

Defini¸c˜ao 1. A transformada de Laplace de uma fun¸c˜ao f : [0, +∞[→ R ´e a fun¸c˜ao L{f } definida por

L{f }(s) =

0

f (t)e−st^ dt,

para os valores de s ∈ R onde o integral converge.

Exerc´ıcio 1.

Use a defini¸c˜ao para determinar as transformadas de Laplace de: (a) f (t) = 1 (b) f (t) = t

Transformada de Laplace 4

Existˆencia

Teorema 1. Seja f : [0, +∞[→ R. Suponhamos que (i) f ´e seccionalmente cont´ınua em [0, +∞[; (ii) existem a ∈ R, M > 0 e T > 0 tais que

|f (t)| ≤ Meat^ , ∀t ≥ T.

Ent˜ao L{f }(s) existe para s > a.

Observa¸c˜ao 1.

(a) o teorema anterior estabelece condi¸c˜oes suficientes para a existˆencia de transformada de Laplace de uma fun¸c˜ao; (b) as fun¸c˜oes que satisfazem (ii) designamos de fun¸c˜oes de ordem exponenciala direita

Transformada de Laplace 5

Propriedades da TL: linearidade

Teorema 1. Sejam α ∈ R e duas fun¸c˜oes f , g : [0, +∞[→ R. Suponhamos que existem L{f }(s), para s > sf L{g }(s), para s > sg

Ent˜ao: (i) L{f + g }(s) = L{f }(s) + L{g }(s), s > max{sf , sg }

(ii) L{αf }(s) = αL{f }(s), s > sf.

Exerc´ıcio 1. Determine a Transformada de Laplace de: (a) 1 + t (b) 5 + 3t Transformada de Laplace 7

Transformadas de Laplace fundamentais

Observa¸c˜ao 1. Usando as habituais t´ecnicas de integra¸c˜ao (p. ex., integra¸c˜ao por partes) e a propriedade de linearidade temos:

(a) L{eat^ }(s) =

s − a , s > a, a ∈ R

(b) L{cos(at)}(s) = s s^2 + a^2 , s > 0 , a ∈ R

(c) L{sen(at)}(s) = a s^2 + a^2 , s > 0 , a ∈ R

(d) L{tn}(s) =

n! sn+^ , s > 0 , n ∈ N 0

(e) L{cosh(at)}(s) = L{ e at (^) +e−at 2 }(s) =^

s s^2 − a^2 , s > |a|, a ∈ R

(f) L{senh(at)}(s) = L{ e at (^) −e−at 2 }(s) =^

a s^2 − a^2 , s > |a|, a ∈ R

Transformada de Laplace 8

Propriedades da TL: deslocamento na transformada

Teorema 1.3 (Propriedade do deslocamento na transformada) Sejam f : [0, +∞[→ R integr´avel em [0, b], para qualquer b > 0 e λ ∈ R. Se L{f }(s) = F (s) existe para s > sf , ent˜ao

L{eλt^ f (t)}(s) = F (s − λ), s > sf + λ.

Exerc´ıcio 1. Use a propriedade anterior para obter a Transformada de Laplace de: (a) f (t) = e^2 t^ t^2 (b) g (t) = e−^3 t^ sen(2t) (c) h(t) = e−t^ cosh(4t)

Transformada de Laplace 10

Propriedades da TL: transformada do deslocamento

Teorema 1.4 (Propriedade da transformada do deslocamento) Seja f : R → R, integr´avel em [0, b], para qualquer b > 0 e nula em R−. Se L{f }(s) = F (s) existe para s > sf , ent˜ao

∀a ∈ R+, L{f (t − a)}(s) = e−as^ F (s), s > sf

Exerc´ıcio 1. Use a propriedade anterior para obter a Transformada de Laplace de:

(a) f (t) =

0 se t < 2 1 se t ≥ 2

(b) g (t) =

0 se t < π sen(t − π) se t ≥ π

Transformada de Laplace 11

Propriedades da TL: derivada da transformada

Teorema 1.6 (Propriedade da derivada da transformada) Seja f : [0, +∞[→ R , integr´avel em [0, b], para qualquer b > 0. Se L{f }(s) = F (s) existe para s > sf , ent˜ao

∀n ∈ N, L{tnf (t)}(s) = (−1)nF (n)(s), s > sf.

Exerc´ıcio 1. Use a propriedade anterior para obter a Transformada de Laplace de: (a) f (t) = te^2 t (b) g (t) = t^2 cos(t) (c) h(t) = (t^2 − 3 t + 2)sen(3t)

Transformada de Laplace 13

Propriedades da TL: transformada da derivada

Teorema 1.7 (Propriedade da transformada da derivada) Seja f : [0, +∞[→ R seccionalmente cont´ınua. Admita-se que as derivadas f ′, f ′′,... , f (n−1)^ s˜ao de ordem exponencial e que f (n) ´e seccionalmente cont´ınua. Se existem

L{f }(s) = F (s), L{f ′}(s),... , L{f (n−1)}(s)

para s > sf , s > sf ′ ,... , s > sf (n−1) , respectivamente, ent˜ao

L{f (n)}(s) = snF (s) − sn−^1 f (0) − sn−^2 f ′(0)− − sn−^3 f ′′(0) −... − sf (n−2)(0) − f (n−1)(0),

para s > max{sf , sf ′^ , sf ′′^ ,... , sf (n−1) }.

Transformada de Laplace 14

Transformada de Laplace Inversa

Observa¸c˜ao 1.

(i) o problema 2 do Exerc´ıcio 1.8 ´e designado de Problema de Cauchy (ou problema de valores iniciais) e ser´a estudado com mais detalhe no ˆambito das equa¸c˜oes diferenciais. (ii) Note-se que o objectivo de tais problemas ´e o de determinar a express˜ao da fun¸c˜ao y = y (t). Neste momento, apenas podemos dizer que

L{y } = Y (s) =

(s^2 + 1)(s + 1)

s

(iii) Para determinar y precisamos de uma qualquer transforma¸c˜ao inversa que nos permita transformar Y (s) em y (t). (iv) Essa transforma¸c˜ao designa-se de Transformada de Laplace inversa, que ser´a estudada em seguida.

Transformada de Laplace Inversa 16

Defini¸c˜ao

Defini¸c˜ao 1. Seja F (s) uma fun¸c˜ao definida para s > α. Chama-se transformada de Laplace inversa de F que se representa por L−^1 {F } ou L−^1 {F (s)} `a fun¸c˜ao f , caso exista, definida em R+ 0 tal que L{f }(s) = F (s), para s > α.

Observa¸c˜ao 1.

(a) notar que dado F definida para s > α, nem sempre existe L−^1 {F } (b) ....no caso de existir, a transformada inversa pode n˜ao ser ´unica (veja-se a Observa¸c˜ao 1.2) e nesse caso escolhemos a solu¸c˜ao que origina uma fun¸c˜ao cont´ınua (o que ´e justificado pelo resultado seguinte)

Transformada de Laplace Inversa 17

Propriedades

Teorema 1. Suponha-se que existem L−^1 {F } e L−^1 {G }. Ent˜ao (i) L−^1 {F + G } = L−^1 {F } + L−^1 {G }; (ii) L−^1 {αF } = αL−^1 {F }.

Teorema 1. Se existe L−^1 {F }, ent˜ao

∀λ ∈ R, L−^1 {F (s − λ)} = eλt^ L−^1 {F (s)}.

Observa¸c˜ao 1. Estas propriedades e a tabela de transformadas (tomada agora no sentido inverso) ser˜ao usadas para determinar transformadas inversas. Transformada de Laplace Inversa 19

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 1. 1 Determine a transformada de Laplace inversa das seguintes fun¸c˜oes:

(a) 5 s^2 + 25

(b) 3 s − 4

(c) 4 s^7

(d) s + 2 s^2 + 4s + 40

(e) 5 s^2 − 6 s − 7

(f) 1 s^2 − 3 s

(g) 1 (s − 2)^2

(h) s

(^2) + 20s + 9 (s − 1)^2 (s^2 + 9)

2 Determine y = y (t) tal que (use o Exerc´ıcio 1.8)  



y ′′^ + y ′^ = cos(t) y (0) = 2 y ′(0) = 0 Transformada de Laplace Inversa 20