Determinação de Valores de x em Funções Implicitas e Interpolação, Notas de aula de Cálculo Numérico

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NOTAS DE AULA

Cálculo Numérico

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

• UTFPR -

Professores: Lauro Cesar Galvão Luiz Fernando Nunes

Cálculo Numérico – (Lauro / Nunes) ii

Cálculo Numérico Noções básicas sobre Erros

1 Noções básicas sobre Erros

Fenômenos da natureza podem ser descritos através do uso de modelos matemáticos.

 MODELAGEM: é a fase de obtenção de um modelo matemático que descreve o comportamento do problema que se quer estudar.

 RESOLUÇÃO: é a fase de obtenção da solução do modelo matemático através da aplicação de métodos numéricos.

1.1 Erros

Para se obter a solução do problema através do modelo matemático, erros são cometidos nas fases: MODELAGEM e RESOLUÇÃO.

1. Calcular a área da superfície terrestre usando a formulação 𝐴 = 4𝜋𝑟^2.

Resolução: Aproximações (ERROS): MODELAGEM:

RESOLUÇÃO:

OBS. 1: Características do planeta Terra.

 Características Físicas: Diâmetro Equatorial: 12756Km; Diâmetro Polar: 12713Km; Massa: 5,98 1024 Kg; Perímetro de Rotação Sideral: 23h 56min 04seg; Inclinação do Equador Sobre a Órbita: 23o^ 27’.

 Características Orbitais: Raio da Órbita, isto é, 1U.A. (unidade astronômica): 149897570Km; Distância Máxima do Sol: 152100000Km; Distância Mínima do Sol: 147100000Km; Período de Revolução Sideral: 365dias 6h 9min 9,5seg; Velocidade Orbital Média: 29,79Km/seg.

1.2 Erros Absolutos e Relativos

1.2.1 Erro Absoluto

É o módulo da diferença entre um valor exato 𝑥 de um número e seu valor aproximado 𝑥̅.

𝐸𝐴𝑥 = |𝑥 − 𝑥̅|, onde 𝑥 é o valor exato e 𝑥̅ é o valor aproximado. Geralmente não se conhece o valor exato 𝑥. Assim, o que se faz é obter um limitante superior (𝑘 1 majorante) ou uma estimativa para o módulo do erro absoluto.

|𝐸𝐴𝑥| ≤ 𝑘 1.

MODELAGEM

MODELO

MATEMÁTICO

RESOLUÇÃO

PROBLEMA SOLUÇÃO

Cálculo Numérico Noções básicas sobre Erros

1.2.2 Erro Relativo ou Taxa de Erro

Erro relativo de 𝑥 é o módulo do quociente entre o erro absoluto 𝐸𝐴𝑥 e o valor exato 𝑥 ou o valor aproximado 𝑥̅, se 𝑥 ou 𝑥̅ ≠ 0.

𝐸𝑅𝑥 = | 𝐸𝐴𝑥 𝑥 | = |

𝑥−𝑥̅ 𝑥 |^ ou^ 𝐸𝑅𝑥^ = |

𝐸𝐴𝑥 𝑥̅ | = |

𝑥−𝑥̅ 𝑥̅ |.

2. Calcular os erros absoluto e relativo, nos itens a) e b).

a) 𝑥 = 1,5 e 𝑥̅ = 1,49; b) 𝑦 = 5,4 e 𝑦̅ = 5,39. Resolução:

1.3 Erros de Arredondamento e Truncamento

1.3.1 Erro de Arredondamento

Arredondar um número na casa 𝑑𝑖 é desconsiderar as casas 𝑑𝑖+𝑗 (𝑗 = 1, … , ∞) de tal forma que: 𝑑𝑖 seja a última casa se 𝑑𝑖+1 < 5; 𝑑𝑖 + 1 seja a última casa se 𝑑𝑖+1 ≥ 5.

3. Arredondar 𝜋 na quarta casa decimal, sendo que 𝜋 = 3,1415926535 …

Resolução:

1.3.2 Erro de Truncamento

Truncar um número na casa 𝑑𝑖 é desconsiderar as casas 𝑑𝑖+𝑗 (𝑗 = 1, … , ∞).

4. Aproximar  truncando na quarta casa decimal, sendo que 𝜋 = 3,1415926535 …

Resolução:

5. Sabendo-se que 𝑒𝑥^ pode ser escrito através da fórmula abaixo, faça a aproximação de 𝑒^2 através de um truncamento após quatro termos da somatória.

𝑒𝑥^ = ∑

∞

𝑖=

𝑥^2

𝑥^3

Resolução:

1.4 Aritmética de Ponto Flutuante

Um número é representado, internamente, na máquina de calcular ou no computador através de uma seqüência de impulsos elétricos que indicam dois estados: 0 ou 1, ou seja, os números são representados na base 2 ou binária. De maneira geral, um número 𝑥 é representado na base  por:

Cálculo Numérico Noções básicas sobre Erros

9. 11,01 2  x 10.

Resolução:

10. 403,12 5  x 10.

Resolução:

1.5.2 Conversão da Base Decimal para a  (10  )

Aplica-se um processo para a parte inteira e um outro para a parte fracionária.

 a) PARTE INTEIRA ( N ):

 a.1) N 

 N 10  N .

 a.2) N 

N 

r 1 q 1 

r 2 q 2

qn  1 

rn qn Até que qn 

 N 10 (^ qnrnrn  1 ^ r 3 r 2 r 1 )

11. Converta 59 10 para a base 2.

Resolução:

12. Converta 59 10 para a base 3.

Cálculo Numérico Noções básicas sobre Erros

Resolução:

 b) PARTE FRACIONÁRIA ( F ):

Multiplica-se F por  e toma-se a parte inteira do produto como o primeiro dígito do

número na base . Repete-se o processo com a parte fracionária do produto tomando sua parte inteira. Continua-se até que a parte fracionária seja igual a zero. Nos exercícios a seguir, determinar o valor de x :

13. 0,1875 10  x 2.

Resolução:

14. 0,6 10  x 2.

Resolução:

15. 13,25 10  x 2.

Resolução:

Cálculo Numérico Noções básicas sobre Erros

1.6 Operações de Pontos Flutuantes

1.6.1 Representações

 Precisão dupla: “dobra” a mantissa (2 t );

 O zero em ponto flutuante é em geral representado com o menor expoente ( exp  I )

possível na máquina;

 Ao converter um número para determinada aritmética de ponto flutuante, emprega-se sempre o arredondamento;

 Não é possível representar todos os números reais em determinada aritmética de ponto flutuante (reta furada).

OBS. 3: Um exemplo da reta furada é: Considere a aritmética de pontos flutuantes com

parâmetros 10 e t 3. Tome os números consecutivos 3,57 e 3,58. Existem infinitos

números reais entre 3,57 e 3,58 que não podem ser representados nesta aritmética de pontos flutuantes. Por exemplo: 3,571 ou 3,57437.

1.6.2 Exercícios

20. Preencher a tabela a seguir, com base nos parâmetros: 3, 10, 5, 5 e −5 ≤ exp ≤ 5.

Número Truncamento Arredondamento 6,

0,

3498,

0,

2379441,

OBS. 4: Deve-se converter os valores para a aritmética de ponto flutuante com 3 algarismos significativos. Nos exercícios seguintes, calcular o valor das expressões utilizando aritmética de ponto flutuante com 3 algarismos significativos.

21. (4,26  9,24)  5,

Resolução:

t I S

Cálculo Numérico Noções básicas sobre Erros

22. 4,26  (9,24  5,04)

Resolução:

23. (4210  4,99)  0,

Resolução:

24. 4210  (4,99  0,02)

Resolução:

Resolução:

Resolução:

OBS. 5: Em aritmética de ponto flutuante não valem as propriedades associativas nem distributivas.

27. Sendo 10, t 4 e exp [5,5], calcule:

a) 42450  

10

1

i

; b) 

10

1

i

Resolução:

1.6.3 Exercícios complementares

Nos exercícios seguintes, converter os números para a base decimal, determinando o valor da variável x :

28. 11000112  x 10.

Resolução:

29. 11111112  x 10.

Resolução:

Cálculo Numérico Noções básicas sobre Erros

35. 234510  x 2.

Resolução:

36. Determine x com 36 dígitos: 0,1217 10  x 2.

Resolução:

37. Determine x com 8 dígitos: 2,47 10  x 2.

Resolução:

Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais

2 Zeros reais de funções reais

2.1 Introdução

Dada uma função real f definida e contínua em um intervalo aberto I , chama-se de

zero desta função em I , a todo x  I , tal que f ( x )  0.

Neste capítulo são apresentados alguns processos iterativos para calcular de forma aproximada os zeros reais de uma função real dada. Por um processo iterativo entende-se

um processo que calcula uma seqüência de aproximações , , , da solução desejada.

O cálculo de uma nova aproximação é feito utilizando aproximações anteriores. Dizemos que

a seqüência , , , converge para , se dado 0,  ℕ (ℕ números naturais), tal

que qualquer que seja  , . Neste caso tem-se que  , o que também

poderá ser indicado por . Nos processos iterativos que serão apresentados, a

determinação dos zeros de uma função real de variável real será feita em duas etapas:

Fase I: Isolar cada zero que se deseja determinar da função f em um intervalo [ a , b ], sendo

que cada intervalo deverá conter um e somente um zero da função f.

Fase II: Cálculo dos zeros aproximados utilizando um método iterativo, com precisão prefixada ou não.

2.2 Fase I: Isolamento das raízes

Teorema 1 Seja f ( x ) uma função contínua num intervalo [ a , b ]. Se 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑏) < 0, então existe pelo menos um zero de f ( x ) entre a e b.

OBS. 1: Sob as hipóteses do teorema 1, o zero x  será definido e único em [ a , b ] se

a derivada f ' ( x ) existir e preservar o sinal dentro do intervalo ] a , b [, isto é se f ' ( x )0,

 x ] a , b [ ou f ' ( x )0,  x ] a , b [. Isto significa dizer que a função f ( x ) é estritamente

crescente ou estritamente decrescente, respectivamente, no intervalo ] a , b [.

f

x 1 x 2 x 3

x 1 x 2 x 3 x N

n N xn  x n

n

x

 

lim x

xn x

y

x

y =f x ( )

a b

y

x

y =f x ( )

a b

Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais

39. Isolar os zeros da função f ( x )  x ln x  3 , 2.

Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( x ) e analisar os sinais:

x 1 2 3 4

f ( x )

y

x

y = f’ x ( )

-^33

x

y =f x ( )

0 -0, -0, -0, -0, -0, -0, -0, -0, -0, -1,

-0,

0,1 2,6 2,8 (^) 3,0 3,2 3,

0,

0,

y

Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais

40. Isolar os zeros da função f^ (^ x ) ^5 log x ^2 ^0 ,^4 x.

Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( x ) e analisar os sinais:

x 1 2 3

f ( x )

41. Isolar os zeros da função f ( x )  x  5 e  x.

Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( x ) e analisar os sinais:

x 0 1 2 3

f ( x )

y

1 x

f’ ( ) x

y

x

( ) x

1^ ^ 2 3

h

g ( ) x

Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais

 3 a^ iteração ( n 3): é 3

( b  a )

 n a^ iteração: é n

b a

Se o problema exige que o erro cometido seja inferior a um parâmetro , determina-se

a quantidade n de iterações encontrando o maior inteiro que satisfaz a inequação: n

b a

que se resolve da seguinte maneira:

n

b a

  log n

b a

 log   log( b  a )  log 2 n  log   log( b  a )  n log 2  log 

 n  log 2

log( b  a )  log 

42. Determinar um valor aproximado para 5 , com erro inferior a 10 ^2.

Resolução: Determinar 5 é equivalente a obter o zero positivo da função f ( x ) =^ x^2 5.

n a x b f ( a ) f ( x ) f ( b ) ( b  a )/

Portanto 5 

43. Um tanque de comprimento L tem uma secção transversal no formato de um

semicírculo com raio r (veja a figura). Quando cheio de água até uma distância h do

topo, o volume V da água é: V  

 0 , 5 ^2 ^2 arcsen h ( r^2 h^2 )

r

h

L r r. Supondo

que L  10 ft , r 1 ft e V 12,4 ft^3 , encontre a profundidade da água no tanque com

precisão de 0,01 ft.

Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais

Resolução:

Pode-se construir uma tabela de valores para f ( x ) e analisar os sinais:

h (^)  1 0 1

f ( h )

Para se confirmar a unicidade deste zero neste intervalo, pode-se utilizar a OBS. 1, isto é,

calcula-se a derivada f ,^ ( h ) de f ( h ) para verificar que a mesma preserva o sinal no

intervalo ]0,1[.

n a h b f ( a ) f ( h ) f ( b ) ( b  a )/

Assim, h 

h (^) h

r 