Функцiї багатьох змiнних
Д/з
1)
Знайти повну похiдну складної функцiї z=x2ey, де x= ln(t),y= sin(t).
∂z
∂x = 2xey= 2 ln(t)esin(t).
dx
dt=1
t.
∂z
∂y =x2ey= ln2(t)esin(t).
dy
dt= cos(t).
dz
dt=∂z
∂x
dx
dt+∂z
∂y
dy
dt=2 ln(t)esin(t)
t+ ln2(t)esin(t)cos(t).
2)
Дослiдити функцiю на екстремум z= 8x+ 10y−x2−xy −y2.
Дана функцiя неперервна та диференцiйована на всiй площинi xOy.
∂z
∂x = 8 −2x−y,∂z
∂y = 10 −x−2y.
Знайдемо стацiонарнi точки з необхiдної умови екстремуму.
(8−2x−y= 0
10 −x−2y= 0 =⇒(2x+y= 8
x+ 2y= 10 =⇒(x= 2
y= 4 =⇒M0(2; 4) - це стацiонарна точка.
∂2z
∂x2=−2,∂2z
∂x ∂ y =−1,∂2z
∂y2=−2.
З достатнiх умов екстремуму:
A=∂2z
∂x2M0
=−2, B =∂2z
∂x ∂ y M0
=−1, C =∂2z
∂y2M0
=−2,
∆ = AC −B2= (−2) ·(−2) −(−1)2= 3 >0.
Екстремум iснує.
Так як A=−2<0, функцiя має максимум у точцi M0(2; 4).
zmax = 8 ·2 + 10 ·4−22−2·4−42= 28.
1