UNIVERSIDAD DE MURCIA
Departamento de Matem´aticas
´
Optica y Optometr´ıa
Relaci´on de Problemas no10
Curso 2006-2007
C´alculo integral en varias variables
202. Calcule las integrales dobles siguientes en los recintos que se indican:
a)ZZΩ
(x2−y)dxdy; Ω = {(x, y) : −1≤x≤1; −x2≤y≤x2}.
b)ZZΩ
(xy −y2)dxdy; Ω = {(x, y) : 0 ≤y≤1; −1≤x≤y}.
c)ZZR
(y−2x)dxdy;R={(x, y) : 1 ≤x≤2; 3 ≤y≤5}.
d)ZZΩ
(√x−y2)dxdy; Ω = {(x, y) : x∈[0,1], x2≤y≤x1/4}.
e)ZZΩ
(x4+y2)dxdy en el recinto limitado por y=x3ey=x2.
203. Calcule el ´area de las superficies que se indican:
a) Regi´on comprendida entre √x+√y=√ayx+y=a.
b) Regi´on comprendida entre x2= 4yy 2y−x−4 = 0.
c) Regi´on comprendida entre x2+y2= 4x,x2+y2= 8x,y=xyx√3 = y.
204. Calcule el volumen de la parte del cilindro x2+y2=b2comprendida entre los planos
y+z=a2yz= 0.
205. Halle el volumen del s´olido limitado superiormente por z=x+ye inferiormente por el
tri´angulo de v´ertices (0,0) (0,1) y (1,0).
206. Halle el volumen del s´olido limitado superiormente por z= 2x+ 1 e inferiormente por
{(x, y) : (x−1)2+y2≤1}.
207. Deduzca la f´ormula del volumen de la esfera de radio Rutilizando integrales dobles y
coordenadas polares.
208. Calcule las siguientes integrales haciendo un cambio a coordenadas polares:
a)ZZΩ
1
px2+y2dxdy; siendo Ω = {(x, y) : 0 ≤x≤1; x2≤y≤x}.
b)ZZΩ
xypx2+y2dxdy; con Ω = {(x, y) : 0 ≤x≤p1−y2,0≤y≤1
2}.
209. Calcule la integral ZZΩ
1
(1 + x2+y2)3
2
dxdy, donde Ω es el tri´angulo de v´ertices (0,0),
(1,0) y (1,1).