UNIVERSIDAD DE MURCIA
Departamento de Matem´aticas
´
Optica y Optometr´ıa
Relaci´on de Problemas no9
Curso 2006-2007
Funciones de varias variables
183. Represente cada uno de los siguientes subconjuntos del plano R2:
A={(x, y) : 2 ≤x≤4,1≤y≤3};B={(x, y); 1 < x2+y2≤4};
C={(x, y) : 1 < x2≤4};D={(x, y) : (x+ 2)2+ (y−1)2<16, x ≤y};
E={(x, y) : |xy|>1}∪{(0,0)};F={(x, y) : y2≥2}.
184. Calcule el dominio de las funciones siguientes:
f(x, y) = x2+y2
xy ;g(x, y, z) = µx
x2+y2+z2−4,ln (x2+y2+z2−1)¶;
h(x, y) = 1
p4x2−y2;r(x, y) = cos (x2+y2)−1;
185. Calcule las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones:
(a)f(x, y) = x4+y4−4x2y2; (b)f(x, y) = ln (x2+y2);
(c)f(x, y) = 1
ycos x2,(y6= 0); (d)f(x, y) = tan µx2
y¶,(y6= 0);
(e)f(x, y) = arctan( y
x),(x6= 0); (f)f(x, y) = arctan x+y
1−xy ,(xy 6= 1);
Estudie qu´e pasa con las derivadas parciales mixtas de segundo orden.
186. Calcule las derivadas parciales de la funci´on f(x, y )x2tan y2
x2+y2; (x, y)6= (0,0) y com-
pruebe la igualdad siguiente:
x∂f
∂x (x, y ) + y∂f
∂y (x, y ) = 2f(x, y).
187. Calcule las derivadas parciales de la funci´on f(x, y) = xcos(3y)−y2sen x. Calcule su
derivada respecto de un vector v= (v1, v2) en el punto (1,2). Calcule su diferencial en
dicho punto.
188. Halle el vector gradiente, en cada punto en el que exista, para las funciones siguientes:
(a)f(x, y) = x2+y2sen(xy); (b)f(x, y ) = excos y;
(c)f(x, y, z) = x2y3z4; (d)f(x, y, z) = x2−y2+ 2z2;
189. Calcule las derivadas direccionales en los puntos y direcciones indicadas:
a)f(x, y, z) = x2+ 2y2+ 3z2, en (1,1,0), direcci´on i−j+ 2k.
b)f(x, y, z) = µx
y¶z
, en (1,1,1), direcci´on 2i+j−k.
