UNIVERSIDAD DE MURCIA
Departamento de Matem´aticas
´
Optica y Optometr´ıa
Relaci´on de Problemas no8
Curso 2006-2007
Funciones vectoriales
164. Si x=as cos t,y=bs sen tyz=s, compruebe que est´a en el cono z2=x2
a2+y2
b2.
165. Calcule las derivadas de las funciones siguientes:
a)F(t) = (cos t, sen2t, sen 2t, tan t).
b)F(t) = ln (1 + t2)e1+ arctan te2+1
1 + t2e3.
c)F(x) = (xex,ln 3x, 0) y x(t) = ln t.
d)F(x) = cos √x, arctan x, −1
1 + √xyx(t) = t2+ 2t+ 1.
166. Sea la funci´on vectorial siguiente: F(t) = ( 2t
1+t2,1−t2
1+t2,1); demuestre que el ´angulo formado
por F(t) y F′(t) es constante, es decir, no depende de t.
167. Calcule las siguientes integrales de funciones vectoriales:
(a)Z1
0
(t, √t, et)dt; (b)Z1
0et
1 + ete1+1
1 + ete2dt.
168. Considere las funciones F(t) = (2t2,3,0), G(t) = (1, t, t2) y u(t) = 1
3t3. Calcule: F′,G′,
u′, (F+G)′, (uF )′, (F·G)′, (F×G)′, (G×F)′y (F◦u)′.
169. Demuestre que si f(t) = cos ti+ sen tj, entonces f(t)·f′(t) = 0.
170. Demuestre que si g(t) = ekti+e−kt j, con k∈R, entonces g(t) y g′′(t) tienen la misma
direcci´on.
171. Considere la circunferencia c(t) = (ρcos θ, ρ sen θ) con ρ∈Rfijo y θ∈[0,2π]. Demuestre
que el vector tangente es perpendicular al vector radio.
172. Considere la curva c´ubica alabeada r(t) = ti +t2j+t3k. Halle el vector tangente a la
curva en el punto P(2,4,8) y la recta tangente en dicho punto.
173. Halle el punto Pde la curva r(t) = ((1 −2t), t2,2e2(t−1)) en el que el vector tangente r′(t)
es paralelo a r(t).
174. Demuestre que las circunferencias c1(t) = (cos t, sen t, 0) y c2(s) = (0,cos s, sen s) se cortan
en los puntos P(0,1,0) y Q(0,−1,0) formando ´angulos rectos.
175. Considere la curva plana r(t) = ti+ (1 + t2)j.
a) Halle los puntos en los que r(t) y r′(t) son perpendiculares.
b) Los puntos en los que dichos vectores tienen la misma direcci´on.
c) Los puntos en los que, teniendo la misma direcci´on, tienen sentidos opuestos.
