UNIVERSIDAD DE MURCIA
Departamento de Matem´aticas
´
Optica y Optometr´ıa
Relaci´on de Problemas no3
Curso 2006-2007
Vectores.
54. ¿Para qu´e valores de λ∈R, el conjunto de vectores {(1,1,1); (1, λ, 1); (1,1, λ)}es una
base de R3?
55. a) Pruebe que los vectores {(−1,1,1); (1,−1,1); (1,1,−1)}, son base de R3.
b) Determine las coordenadas del vector (2,4,−2) en la base anterior.
56. Dados los vectores (1,1,0, m); (3,−1, n, −1); (−3,5, m, −4), halle los valores de myn
para que sean linealmente independientes.
57. Determine los valores de aybpara que el vector (a, −2,1, b) sea linealmente dependiente
de (1,2,3,4) y (−1,0,−2,3).
58. Dados los vectores (1,4, m, 10); (6,10,1,0); (n, 2,1,1), encuentre un valor de my otro de
nde modo que sean linealmente independientes.
59. Simplifique:
(a) (3~u ·~v)−(~u ·2~v),(b)~u ·(~u −~v) + ~v ·(~v +~u)
(c)~u ·(~u + 2~w) + (2~v −~u)·(~u + 2~w)−2~v ·(~u + 2~w)
60. Sean ~u = (2,1,0), ~v = (3,−1,2) y ~w = (4,0,3).
a) Calcule los productos escalares dos a dos.
b) Calcule los ´angulos que forman entre s´ı.
c) Halle la proyecci´on de ~u en la direcci´on de ~v y en la direcci´on de ~w.
61. Halle un vector unitario con ´angulos directores π
3,π
4y2π
3. Halle otro con m´odulo 2 y los
mismos ´angulos.
62. Calcule los cosenos y los ´angulos directores del vector i−j+√2k.
63. Demuestre que los vectores ~u = (2,1,−1); ~v = (−1,4,2); ~w = (2,−1,3) son ortogonales
dos a dos.
64. Dados los vectores ~u = (−1,2, a) y ~v = (4, a, −3); ¿qu´e valor debe tener el par´ametro a
para que sean ortogonales?
65. Dados los vectores ~u = (1,5,0), ~v = (−3,0,2) y ~w = (0,1,−1); calcule los ´angulos que
forman dos a dos.
66. Obtenga un vector unitario y proporcional a ~u = (3,0,4).
67. Sean los vectores ~u = (x, 3,6) y ~v = (3, y, 4). Calcule xeyde modo que los vectores
anteriores sean perpendiculares y k~vk= 13.
68. Dados los vectores ~u = (1,5,3) y ~v = (−1,0,2); halle un vector unitario ~w que sea
perpendicular a los dos anteriores.
