UNIVERSIDAD DE MURCIA
Departamento de Matem´aticas
´
Optica y Optometr´ıa
Res´umenes
Curso 2006-2007
Vectores.
Un espacio vectorial Vsobre un cuerpo Kes un conjunto en el que se puede definir un operaci´on interna, que
llamaremos suma y denotaremos por “+”, que verifica las siguientes propiedades:
1. u+v∈V, para todo u, v ∈V.
2. u+v=v+u.
3. u+ (v+w) = (u+v) + w
4. Existe 0 ∈Vtal que u+ 0 = 0 + u=u.
5. Existe −u∈Vtal que u+ (−u) = u−u= 0.
Adem´as se puede definir una operaci´on externa, que llamaremos producto por escalares, que verifica:
6. λu ∈V, para todo λ∈Ky todo u∈V.
7. 1u=u(1 es el elemento unidad de K).
8. (λ+µ)u=λu +µv.
9. λ(µu) = (λµ)u.
10. λ(u+v) = λu +λv.
R3, con las operaciones conocidas
(x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1+y1, x2+y2, x3+y3) y λ(x1, x2, x3) = (λx1, λx2, λx3),
es un espacio vectorial.
Se llama combinaci´on lineal de v1,...,vnvectores y λ1,...,λnescalares, al vector v=λ1v1+···+λnvn. En
este caso se dice que ves combinaci´on lineal o linealmente dependiente de los vectores v1,...,vn.
Un conjunto de vectores v1,...,vnes linealmente independiente si ninguno de ellos es combinaci´on lineal del
resto.
Son equivalentes las siguientes afirmaciones:
1. Un conjunto v1,...,vnde vectores de Rnes linealmente independiente.
2. Si λ1v1+···+λnvn= 0, entonces λ1=···=λn= 0.
3. El determinante de la matriz formada por los vectores (puestos por columnas o por filas), es distinto de
cero.
Un subconjunto Ude un espacio vectorial Vsobre K, es un subespacio vectorial de V, si a su vez, es un espacio
vectorial con las operaciones definidas en V. Esta afirmaci´on es equivalente a la siguiente: si u, v ∈Uyλ, µ ∈K,
entonces λu +µv ∈U.
Un conjunto de vectores v1, . . . , vn∈Ves un sistema generador del espacio vectorial V, si cualquier otro
vector de Vse puede expresar como combinaci´on lineal de v1,...,vn. Una base de Ves un sistema generador
linealmente independiente. Un espacio vectorial no tiene una ´unica base, pero todas las bases tienen el mismo
n´umero de elementos. A dicho n´umero se le llama dimensi´on del espacio vectorial.
Escribiremos lo que sigue en R3, se har´ıa de la misma forma en cualquier otra dimensi´on.
Producto escalar.
Dados dos vectores u= (u1, u1, u3) y v= (v1, v2, v3) de R3se define el producto escalar de uyvcomo el escalar
u·v=u1v1+u2v2+u3v3.
Se define el m´odulo de un vector como kuk=√u·u=pu2
1+u2
2+u2
3
Se verifican las propiedades siguientes:
