UNIVERSIDAD DE MURCIA
Departamento de Matem´aticas
´
Optica y Optometr´ıa
Res´umenes
Curso 2006-2007
Funciones vectoriales.
En este resumen escribiremos todo en el espacio eucl´ıdeo tridimensional R3.
Una funci´on vectorial es una funci´on que transforma un n´umero real en un vector:
F:R−→ R3,definida como F(t) = (x(t), y(t), z(t)),
donde x(t), y(t) y z(t) son funciones reales de variable real.
As´ı, se dice que Fes continua, derivable o integrable, si lo son x,yyz; esto es:
F′(t) = (x′(t), y′(t), z′(t)) y Zb
a
F(t)dt = Zb
a
x(t)dt, Zb
a
y(t)dt, Zb
a
z(t)dt!
Algunas reglas de derivaci´on de estas funciones relacionadas con las operaciones entre vectores son las siguientes
(suponemos que FyGson dos funciones vectoriales, ues una funci´on real y λ∈R):
1. (F(t) + G(t))′=F′(t) + G′(t).
2. (λF (t))′=λF ′(t).
3. (u(t)F(t))′=u′(t)F(t) + u(t)F′(t).
4. (F(t)·G(t))′=F(t)·G′(t) + F′(t)·G(t).
5. (F(t)×G(t))′=F(t)×G′(t) + F′(t)×G(t).
6. (F◦u)′(t) = (F(u(t)))′=F′(u(t))u′(t).
Cuando una funci´on vectorial es diferenciable, se puede identificar con una curva diferenciable. Al vector F(t)
se le llama vector de posici´on de la curva y, si F′(t)6= 0, el vector F′(t) es el vector tangente a la curva en el
punto F(t); a dicho vector se le llama tambi´en vector velocidad y la velocidad en el instante tes kF′(t)k.
De modo similar F′′(t) es el vector aceleraci´on y kF′′ (t)kes la aceleraci´on.
Se llama vector tangente unitario Tal vector T(t) = F′(t)
kF′(t)k.
Longitud de un arco de curva en R3.
La longitud de un arco de curva en R3, entre dos puntos F(a) y F(b) viene dada por la f´ormula
L(F, a, b) = Zb
ap(x′(t))2+ (y′(t))2+ (z′(t))2dt
Curvatura.
Dada una curva F(t) definida en un intervalo a≤t≤b, se define el par´ametro longitud de arco s(t) como
la longitud del arco de curva entre F(a) y F(t). Se puede reparametrizar la curva en funci´on del par´ametro
longitud de arco s. Se define la curvatura κde un curva como la derivada del vector tangente unitario respecto
al par´ametro longitud de arco:
κ=
dT
ds
Esta definici´on es bastante intuitiva, puesto de mide como var´ıa el vector tangente respecto de la longitud del
arco de curva. Sin embargo no es f´acil de calcular; no obstante se puede obtener la siguiente expresi´on m´as f´acil
de manejar:
κ=kT′(t)k
kF′(t)k.
El vector N(t) = T′(t)
kT′(t)k, es un vector unitario en la direcci´on de T′(t) y se llama vector normal principal
unitario.