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EXAMEN DE ECONOMETRÍA II
30 de mayo de 2012 - Duración: 2 horas y 45 minutos
APELLIDOS: .................................................................NOMBRE:.....................
LICENCIATURA:..........................................................GRUPO:........................
Notas: Los números entre paréntesis son errores estándar convencionales. Considere válidas las aproximaciones asintóticas. En todos los contrastes tome como nivel de significación el 5 %. La tabla estadística (página 3) le ofrece valores críticos.
- (2.40 puntos) Considere el siguiente modelo de regresión lineal simple Y (^) t = β 1 + β 2 X (^) t + u (^) t , t = 1, ..., T , que satisface todos los supuestos básicos del modelo de regresión lineal con datos iid; se sabe además que E (X (^) t ) > 0. Sin embargo, se usa un modelo sólo con constante
Y (^) t = β 1 + ε (^) t , t = 1, ..., T (1)
Sea β˜ 1 el estimador de MCO del parámetro β 1 en (1).
a) ¿Bajo qué condiciones β˜ 1 será consistente? Justifique cuidadosamente su respuesta. (0.75 puntos) b) Explique brevemente si β˜ 1 es un estimador asintóticamente eficiente de β 1 , si conoce otro estimador que lo sea y por qué. (0.35 puntos) c) Suponga que β 2 = 0. Obtenga la distribución asintótica de β˜ 1. Explique detalladamente cada paso. (0. puntos) d ) Suponga que β 2 = 0. En una muestra con T = 50, se tiene que β˜ 1 = 1, 86 y
T
t=1 Y^ t^2 = 204. Contraste que β 1 es menor que 2. (0.70 puntos)
Solución:
a) El estimador de MCO en el modelo sólo con constante es
β^ ˜ 1 =
T
t=1 Y^ t T
= Y =
T
^ T
t=
(β 1 + β 2 X (^) t + u (^) t )
= β 1 + β (^2)
T
^ T
t=
X (^) t +
T
^ T
t=
u (^) t
Usando la Ley de los Grandes Números y el supuesto (a)
plim (^) T →∞
T
^ T
t=
X (^) t
= E (X (^) t )
plim (^) T →∞
T
^ T
t=
u (^) t
= E (u (^) t ) = LEI
E [E (u (^) t |X (^) t )] = (a)
Por tanto, aplicando el Teorema de la Función Continua,
plim (^) T →∞ β˜ 1 = β 1 + β 2 E (X (^) t )
Puesto que E (X (^) t ) > 0 , se necesita que β 2 = 0 para que plim (^) T →∞ β˜ 1 = β 1 y, por tanto, β˜ 1 sea consistente b) β˜ 1 es el estimador de MCO de un modelo que no cumple todos los supuestos básicos del modelo de regresión lineal con datos iid (en particular, E (ε (^) t ) = 0). Por tanto, β˜ 1 NO es asintóticamente eficiente. Por contra, el estimador de β 1 por MCO en el modelo Y (^) t = β 1 + β 2 X (^) t + u (^) t sí lo será: ningún otro puede tener menor varianza asintótica.
c) Para β 2 = 0, el modelo es Y (^) t = β 1 + u (^) t donde u (^) t satisface todos los supuestos básicos. En este caso β^ ˜ 1 = β 1 + (^1) T^ ^ Tt=1 u (^) t y se tiene √ T
β˜ 1 − β (^1)
T
T
^ T
t=
u (^) t
Aplicando el TCL para observaciones iid
√ T
T
^ T
t=
u (^) t − E (u (^) t )
→^ d Z 1 ∼^ N^ (0, V ar^ (u^ t ))
donde
E (u (^) t ) (^) LEI= E (E (u (^) t |X (^) t )) = (a)
V ar (u (^) t ) = E
u (^2) t
LEI= E^
E
u (^2) t |X (^) t
(b)
σ 2
Por tanto, (^) √ T
β˜ 1 − β (^1)
(^) d → Z 1 ∼ N
0 , σ 2
d ) Para β 2 = 0, la distribución aproximada de β˜ 1 será
β^ ˜ 1 N
β 1 ,
σ 2 T
Se quiere contrastar H 0 : β 1 = 2 , H 1 : β 1 < 2. Dado lo que sabemos, el estadístico de contraste será
t =
β˜ 1 − 2 σ 2 (X ^ X) −^1
β˜ 1 − 2 σ 2 T
∼a H 0 N^ (0,^ 1)
donde β˜ 1 = 1,86 = Y. También sabemos que se puede estimar σ 2 como σ 2 = (^) T^1
T
t=1 e^
(^2) t (o como σ 2 = (^) T 1 −k
T
t=1 e^
(^2) t ), donde los residuos de este modelo son e (^) t = Y (^) t − β˜ 1. Puesto que ^ T t=1 e^
(^2) t = (^) T t=
Y (^) t − β˜ (^1)
T
t=1 Y^ t^2 −^ T
β˜ (^1)
, se tiene que σ 2 = 501 204 − 1 , 86 2 = 0, 6204. Por tanto, t = − 0 , 14 /,1114 = − 1 , 2568 ≮ −z (^0) , 05 = − 1 , 65. No se rechaza H 0 : no existe evidencia de que β 1 sea menor que 2.
- (2.40 puntos) Considere el siguiente modelo
y (^) t = β 1 + β 2 √x (^1) t + β 3 x (^1) t + β 4 x (^2) t + u (^) t , t = 1,... , 300 (2)
que satisface los supuestos básicos del modelo de regresión lineal con observaciones iid, excepto, quizás, el de homocedasticidad. Se dispone de las siguientes estimaciones por MCO:
y (^) t = 1, 43 (0,6) [0,7]
(1,9) [2,3]
x (^1) t + 2, 4 (1,1) [1,2]
x (^1) t + 7, 43 (3,0) [3,5]
x (^2) t + e (^) t (3)
y (^) t∗ = 4, 98 (1,8)
(0,4)
√x 1 t
(0,6)
x (^1) t + 2, 43 (0,9)
x (^2) t √x 1 t
y (^) t∗∗ = 3, 27 (0,8)
(1,6)
√x 1 t
(0,3)
x (^1) t
(1,9)
x (^2) t x (^1) t
e (^2) t = ˆα 0 + ˆα 1 x (^2) t + ˆv (^) t , R 2 = 0, 0054 (6)
e (^2) t = ˆγ 0 + ˆγ (^1)
x (^1) t
x (^2) t x (^1) t
x (^2) t x (^21) t
- ˆγ 5 x (^22) t , R 2 = 0, 0034 (7)
(e ∗ t ) 2 = ˆδ 0 + ˆδ (^1)
x (^22) t x (^1) t^ + ˆω^ t^ ,^ R^
donde los números entre corchetes son los errores estándar de White.
c) Suponga que β 1 = β 3 = 0. Demuestre algebráicamente que W (^) t es endógena en (9). ¿Qué implica este resultado para la estimación del parámetro β 2? (0.75 puntos) d ) Suponga que β 1 = β 3 = 0. Se dispone de una variable S (^) t tal que S (^) t = θY (^) t + ε (^) t , donde E (Y (^) t ε (^) t ) = 0 y E (ε (^) t u (^) t ) = E (ε (^) t ω (^) t ) = E (ε (^) t ) = 0. Derive β (^2) ,V I , el estimador de Variables Instrumentales que usa S (^) t como instrumento. Verifique si se satisfacen las condiciones para que S (^) t sea un instrumento válido. (0. puntos)
Solución:
a) Suponemos que verifican el supuesto 1 (ambas S (^) t y Z (^) t están incorrelacionados con el término de error). Para contrastar el segundo supuesto, ambas están parcialmente correlacionados con W (^) t , se utiliza la regresión auxiliar W (^) t = π 1 + π 2 X (^) t + π 3 S (^) t + π 4 Z (^) t + ζ (^) t donde contrastaremos la significatividad conjunta de S (^) t y Z (^) t. Es decir,
H 0 :π 3 = π 4 = 0 (no se cumple supuesto 2) H 1 :π 3 = 0 y/0 π 4 = 0 (se cumple supuesto 2)
b) Primero se deben estimar las siguientes ecuaciones auxiliares para cada variable potencialmente endógena W (^) t y S (^) t
W (^) t = ˆγ 1 + ˆγ 2 S (^) t + ˆγ 3 Z (^) t + ˆe (^1) t S (^) t = δˆ 1 + δˆ 2 S (^) t + ˆδ 3 Z (^) t + ˆe (^2) t
En segundo lugar, estimamos el modelo original ampliado con los residuos eˆ (^1) t y eˆ (^2) t de estas ecuaciones, es decir, C (^) t = β 1 + β 2 W (^) t + β 3 X (^) t + β 4 ˆe (^1) t + β 5 ˆe (^1) t + errort Contrastar la endogeneidad de W (^) t y S (^) t es equivalente a contrastar la significatividad conjunta de los residuos ˆe (^1) t y ˆe (^2) t.
H 0 :β 4 = β 5 = 0 (ambas variables son endógenas) H 1 :β 4 = 0 y/0 β 5 = 0 (no son endógenas ambas dos)
c) Si β 1 = β 3 = 0, entonces C (^) t = β 2 W (^) t + v (^) t = β 2 W (^) t + u (^) t − β 2 ω (^) t. La variable W (^) t es endógena si
E (W (^) t v (^) t ) = 0
En este caso, E [(Y (^) t + ω (^) t ) (u (^) t − β 2 ω (^) t )] = E (Y (^) t u (^) t ) − β 2 E (Y (^) t ω (^) t ) + E (ω (^) t u (^) t ) − β 2 E
ω (^2) t
donde el primer término es cero porque Y (^) t es exógena en el modelo original (respecto a u (^) t ) y los dos siguientes por las propiedades del error de medida ω (^) t. Puesto E
ω (^2) t
= V ar (ω (^) t ) > 0 , la variable W (^) t será endógena salvo que β 2 = 0. Esto implica que el estimador MCO del modelo (9) es inconsistente. d ) Si β 1 = β 3 = 0, entonces C (^) t = β 2 W (^) t + v (^) t = β 2 W (^) t + u (^) t − β 2 ω (^) t. El estimador de VI que usa S (^) t como instrumento será β^ (^2) ,V I =
T
t=1^ S^ t^ C^ t T t=1 S^ t^ W^ t
1 T
T
t=1 S^ t^ C^ t 1 T
T
t=1 S^ t^ W^ t S (^) t es un instrumento válido si (1) está incorrelacionado con v (^) t y (2) está correlacionado con W (^) t. Respecto a la primera condición,
E (S (^) t v (^) t ) = E [(θY (^) t + ε (^) t ) (u (^) t − β 2 ω (^) t )] = θE (Y (^) t u (^) t ) − θβ 2 E (Y (^) t ω (^) t )
- E (ε (^) t u (^) t ) − β 2 E (ε (^) t ω (^) t ) = 0
puesto que Y (^) t es exógeno respecto a u (^) t , está incorrelado con ω (^) t y por las propiedades de ε (^) t dadas en el enunciado. Luego se cumple siempre según la información del enunciado. Respecto a la segunda condición,
Cov (S (^) t , W (^) t ) = Cov (θY (^) t + ε (^) t , Y (^) t + ω (^) t ) = θCov (Y (^) t , Y (^) t ) + θCov (Y (^) t , ω (^) t )
- Cov (ε (^) t , Y (^) t ) + Cov (ε (^) t , ω (^) t ) = θV ar (Y (^) t )
donde todos los términos salvo el primero son cero, como ya se ha demostrado antes. Por tanto, Cov (S (^) t , W (^) t ) = 0 se cumplirá si θ = 0 (dado que V ar (Y (^) t ) > 0 ).
- (2.60 puntos) Considere la siguiente relación que satisface los supuestos básicos del modelo de regresión lineal con series temporales bajo exogeneidad estricta:
lnT C (^) t = β 1 lnP U St + β 2 lnP AU (^) t + u (^) t (10)
donde lnT C (^) t es el logaritmo del tipo de cambio entre el dólar australiano y el americano y lnP U St y lnP AU (^) t son el logaritmo de un índice general de precios en EE.UU. (US) y en Australia (AU), respectivamente. Además se sabe que u (^) t sigue una distribución normal (condicional en los regresores). Con una muestra de T = 77 observaciones trimestrales se han obtenido los resultados de las Tablas adjuntas.
a) Contraste de todas las formas posibles si existe correlación serial en (10). Justifique cuidadosamente su respuesta. (0.50 puntos) b) Explique qué estimador se muestra en la Tabla 8 y cómo se ha procedido para obtenerlo. (0.45 puntos) c) La teoría de Paridad de Poder Adquisitivo establece que el tipo de cambio debe ser igual al ratio entre los precios de Australia y de EE.UU. Contraste la validez empírica de esta teoría. (0.90 puntos) d ) Sea w (^) t = c + v (^) t − γtv (^) t− 1 + ε (^) t − θε (^) t− 1 , donde v (^) t y ε (^) s son ruidos blancos con varianzas σ (^2) v y σ (^2) ε , respecti- vamente, e independientes entre sí para todo t y s. Discuta si, en general, w (^) t es un proceso estocástico estacionario y débilmente dependiente. (0.75 puntos)
Solución:
a) No se puede hacer el contraste DW disponible en la Tabla 1, porque el modelo no tiene constante. Contraste de BG con los resultados de la Tabla 6.
H 0 : u (^) t ruido blanco H 1 : ρ 1 = 0 y/o ρ 2 = 0
donde ρ (^) j = Corr (u (^) t , u (^) t−j ) para j = 1, 2. El estadístico de contraste es (T − 2) ∗ R 2 ∼a H (^0)
χ 22. Por tanto, (T − 2) ∗ R 2 = 75 ∗ 0 ,83 = 62, 25 ≯ χ (^2) 2;0, 05 = 5, 99 y se rechaza la hipótesis nula de ausencia de correlación frente a la autocorrelación de orden menor o igual a 2. b) Se muestra un estimador de MCGF bajo el supuesto de que u (^) t ∼ AR(2). Los coeficientes del proceso autorregresivo se han estimado consistentemente mediante la ecuación mostrada en la Tabla 3. Cada variable del modelo original se ha transformado como T 2 X (^) t = X (^) t − φˆ 1 X (^) t− 1 − φˆ 2 X (^) t− 2 como puede verse en la tabla. c) En primer lugar, debemos decidir qué estimador utilizar. Se puede utilizar MCO pero con errores estándar robustos, puesto que existe evidencia de autocorrelación. También se disponen de dos estimadores de MCGF en las Tablas 7 y 8. Comprobamos si éstos están bien transformados antes de usarlos. En la Tabla 7 se dispone de un contraste de BG; puesto que p − valor = 0, 44 > α = 0, 05 no se puede rechazar que el término de error sea ruido blanco; el modelo está bien transformado. No podemos usar el resultado de la Tabla 8 porque no se dispone de ningún contraste de autocorrelación (DW no se puede usar porque el modelo no tiene constante). Por tanto, usaremos los resultados MCGF de la Tabla 7.
