Excercicis de matrius, Ejercicios de Matemáticas Aplicadas

¡Descarga Excercicis de matrius y más Ejercicios en PDF de Matemáticas Aplicadas solo en Docsity!

DOSSIER D’EXERCICIS

MATEM ATIQUES BT/QM. Facultat de Ci`` encies

12 de setembre de 2018.

3103G00085 Matem`atiques.

Pr`actiques d’aula.

Grau en Biotenologia. Grau en Qu´ımica.

L’assignatura ´es un curs de matem`atiques amb un enfoc als models tant

discrets com continus.

T.1 Algebra: models discrets.`

T.2 C`alcul: funcions, derivades i integrals.

T.3 Equacions diferencials: models continus.

1.6 Donades les matrius

A =

A , B =

A

solucioneu l’equaci´o matricial X + A = 2(X B).

1.7 Determineu x, y complint

✓ 3 x 1

1 2 0

5 x 4

11 y 8

1.8 Dibuixeu al pla, el triangle de v`ertexs P = ( 3 , 1), Q = (1, 4) i R = (2, 1). Calculeu, en valor absolut, els determinants:

1 2 det(

P Q,

P R),

1 2 det(

QP ,

QR) i 1 2 det(

RQ,

RP ).

Expliqueu perque coincideixen. Quant val l’area del triangle P QR?

1.9 Considereu el tetraedre que t´e per v`ertexs P = ( 2 , 6 , 7), Q = (5, 6 , 8), R = (8, 4 , 9) i S = (9, 5 , 1). Calculeu el seu volum.

1.10 Considereu el tetraedre que t´e per v`ertexs P = ( 2 , 6 , 7), Q = (2, 6 + b, 8), R = ( 1 , 6 , 9) i

S = (0, 3 , 8), on b ´es un par`ametre. Per quins dos valors de b, el tetraedre t´e un volum de 9 unitats

al cub?

1.11 Calculeu les inverses de les seg¨uents matrius 2 ⇥ 2 i 3 ⇥ 3:

A =

B =

A .

Nota: recordeu que hi ha un f´ormula senzilla per calcular la inversa d’una matriu 2 ⇥ 2.

1.12 Trobeu les solucions de cadascun dels sistemes lineals seg¨uents. En cada cas, doneu una interpre-

taci´o geom`etrica del resultat obtingut.

(a) x + y = 3, x + 2y = 8.

(b) 2 x + 3y = 3, 2 x 3 y = 3.

(c) 4 x + 5y = 0, 2 x y = 3.

(d) 2 x = 1, 4x 3 y = 0.

(e) 7 x + 3y = 0, 5 x + 10y = 0.

(f) 3 x 7 y = 5, 4x 3 y = 2.

(g) 7 x + 4y = 1, 7 x 4 y = 3.

(h) 7 x + 4y = 0, 7 x 4 y = 0.

(i) 13 x + 3y = 7, 5x + 22y = 9.

(j) 9 x 3 y = 3, 2 x + 4y = 1.

(k) 2 x + 3y = 4.

(l) 2 x + 3y = 3, 2x 3 y = 3.

(m) x + 2y = 5, 3x + 4y = 6.

(n)

p 3 x

p 5 y = 1,

p 5 x

p 3 y = 0.

1.13 Discutiu i resoleu els sistemes lineals segons els par`ametres a 6 = 0, b 6 = 0 i c, d.

(a)

ax + by = c bx + ay = c

(b)

ax + by = c ax by = c

(c)

ax by = c bx + ay = d

Per a cada cas calculeu el determinant de la matriu del sistema i calculeu la matriu inversa si

existeix, en funci´o dels par`ametres a i b.

1.14 Discutiu i resoleu els sistemes lineals seg¨uents en funci´o del par`ametre ↵:

(a)

(↵ 2)x + 2y z = 1 2 x + ↵y + 2z = 1 2 ↵x + 2(↵ + 1)y + (↵ + 1)z = 0

(b)

x + ↵y + z = 1 ↵x + y + (↵ 1)z = ↵ x + y + z = ↵ + 1

1.15 Dels sistemes lineals homogenis seg¨uents determineu si tenen una o infinites solucions:

(a) 2 x + 4y + 6z = 0, 4x + 5y + 6z = 0, 3x + y 2 z = 0.

(b) x + 2y z = 0, 3x 3 y + 2z = 0, x 11 y + 6z = 0.

(c) x + y + z = 0, 2x + 3y 4 z = 0, 3x + 4y + az = 0, amb a un par`ametre.

(d) x + y z = 0, 2x + ay + 3z = 0, 3x + 7y z = 0, amb a un par`ametre.

En quins casos existeix la matriu inversa del sistema? Trobeu-la quan sigui possible.

1.16 Proveu que el seg¨uent sistema lineal no t´e soluci´o:

x + 2y + 3z + 3t = 3 x + 2y + 3t = 1

x + z + t = 3 x + y + z + 2t = 1

1.17 Per a quin valor del par`ametre el sistema t´e soluci´o:

x 3 y z 10 t =

x + y + z = 5 2 x 4 t = 7

x + y + t = 4

Calculeu la soluci´o pel valor de trobat.

1.18 Donades les matrius 2 ⇥ 2:

R =

a b

b a

i S =

a b

b a

amb a 2

• b 2 = 1, comproveu que es compleixen les relacions:

R · R

T = Id = R T · R i S 2 = Id.

(e)

(f)

A.

(g)

A.

(h)

A.

(i)

A.

(j)

A.

Comproveu en cada cas que la suma dels valors propis ´es igual a la tra¸ca de la matriu i que el

producte ´es igual al determinant: tr(A) = 1 + · · · + n, det(A) = 1 ·... · n.

1.27 Escriviu l’expressi´o de les pot`encies d’una matriu At^ = V · Dt^ · V ^1 , t 0, per les matrius (d), (e),

(f) i (g) de l’exercici anterior. Calculeu efectivament la inversa de la matriu dels vectors propis V.

1.28 Considereu la matriu A =

(a) Calculeu els valors propis i els vectors propis de la matriu.

(b) Calculeu la pot`encia A 31

. Que observeu? En aquest cas, podr´ıem haver calculat a ma qualsevol pot`encia de la matriu?

1.29 Resolent un sistema lineal, determineu la matriu A =

a c b d

que t´e ~v 1 = ( 1 , 3) com a vector

propi de valor propi 1 i ~v 2 = ( 3 , 1) com a vector propi de valor propi 1. Quant val el

determinant de la matriu A? Calculeu la seva inversa. Qu`e observeu?

1.3 Models matricials

1.30 En una universitat on s’imparteixen uns estudis de tres anys, hi ha 240 estudiants a primer curs,

160 a segon curs i 120 a tercer. Si, per altres anys, sabem que els estudiants que repeteixen s´on un 30% a primer, un 25% a segon, i un 10% a tercer,

(a) Escriviu la matriu d’aquest model. Suposeu que no es matriculen nous estudiants i que cap abandona els estudis abans de graduar-se.

(b) Quants estudiants hi haur`a a cada curs l’any seg¨uent? El nombre total d’estudiants augmenta

o disminueix?

(c) Quants estudiants hi haur`a al cap de tres anys? I a la llarga?

1.31 Durant una epid`emia la transici´o entre els estats sa i malalt, d’un dia per altre, ve donada per la matriu de transici´o (^) ✓ 3 / 10 6 / 10 7 / 10 4 / 10

Els elements de la primera columna s´on les probabilitats que una persona sana continu¨ı sana o es posi malalta, respectivament. Els elements de la segona columna s´on les probabilitats que una

persona malalta guareixi o continu¨ı malalta, respectivament. Admetem que la malaltia ´es benigna i que una persona que ha tingut la malaltia la pot tornar a agafar. Si un dia la poblaci´o d’un poble estava formada per un 90% de persones sanes, quins percentatges de sans i malalts hi haur`a

al cap d’una setmana? Cap a quin valor tendeix la proporci´o entre sans i malalts a llarg termini?

Nota: aquest model no ´es molt realista ja que en realitat, la probabilitat que una persona s’infecti i es posi malalta dep`en del n´umero de persones que hi ha infectades.

1.32 El risc d’incendi d’un bosc mediterrani a l’estiu pot ser mitj`a o alt. Sabem que si el risc en un dia

determinat ´es alt, seguira essent alt el dia seg¨uent amb una probabilitat de 1/3. Si el risc ´es mitja,

llavors l’endema el risc seguira essent mitj`a amb una probabilitat del 80%.

(a) Escriviu la matriu de Markov d’aquest model.

(b) A llarg termini, quin percentatge de boscos hi haur`a amb un risc alt d’incendi?

1.33 Una poblaci´o de balenes del mar del Jap´o s’ha classificat en dos grups d’edat. S’ha observat que

anualment les balenes adultes (de m´es d’un any d’edat) sobreviuen un 20% i les joves un 10%, i

que cada any es reprodueixen en mitjana 1.5 i 0.5 vegades respectivament.

(a) Escriviu la matriu de Leslie d’aquest model.

(b) Si observem una poblaci´o de 32 i 27 exemplars joves i adults respectivament, quants exemplars de cada grup d’edat hi haur`a al cap de 2 anys? La poblaci´o total de balenes augmenta o

disminueix?

(c) Segons aquest model, calculeu el nombre mitj`a de cries de balena que t´e cada cetaci al llarg

de la seva vida.

(d) Calculeu la taxa de creixement asimpt`otic de la poblaci´o? Quin ´es el percentatge d’augment

asimpt`otic?

(e) Calculeu la distribuci´o estable en classes d’edat. Expresseu-ho en percentatges.

1.34 Una certa especie d’aus migratories es troba repartida entre els Aiguamolls de l’Empord`a (AE), el

Delta de l’Ebre (DE) i l’Illa de Formentera (IF). Considereu un model de Markov on setmanalment

es produeixen les seg¨uents migracions entre les tres regions: el 16% i el 15% de les aus de IF viatgen al delta i a l’Emporda respectivament, el 26% i el 25% de les aus de DE viatgen a l’illa i a l’Emporda respectivament, i finalment el 46% i el 45% de les aus de AE viatgen a l’illa i al delta

respectivament.

(a) Escriviu la matriu de Markov d’aquest model.

(b) Si observem 1000 aus en cada una de les regions, quantes aus hi haur`a en cada regi´o al cap

de dues setmanes?

(c) Cap a quin valor tendeix la proporci´o d’aus entre cada una de les regions. Expresseu els

percentatges (%) d’aus a l’Empord`a, al Delta de l’Ebre i a Formentera.

prenent una fertilitat f 2 = 6, una supervivencia s 1 = 2/3 i una poblaci´o inicial de 250 joves i 750 adults. Calculeu tamb´e el nombre reproductiu basic (R 0 ). Quina ´es la proporci´o entre joves/adults

si inicialment hi ha 300 joves i 100 adults?

1.39 Considereu el model de Leslie del fam´os problema dels conills de Fibonacci:

✓ xt+ yt+

xt yt

x 0 y 0

on t 0 ´es el temps en mesos, xt s´on (les parelles) de conills de menys d’un mes d’edat, yt s´on (les

parelles) de conills de m´es d’un mes d’edat i Nt = xt + yt. Quantes (parelles) de conills hi haur`a en total al cap d’un any, ´es a dir, quant val N 12? Quina de les seg¨uents afirmacions ´es FALSA?

(a) Els conills d’aquesta esp`ecie s´on immortals.

(b) Els conills joves de menys d’un mes no s´on f`ertils.

(c) La poblaci´o total compleix que Nt+1 = Nt + Nt 1 , t 1.

(d) El nombre mitj`a de fills que t´e cada (parella) de conills al llarg de la vida ´es de R 0 = 2.

1.40 Considereu la seg¨uent cadena de Markov per a una poblaci´o dividida en dos grups d’individus

✓ xt+ yt+

xt yt

, t 0 ,

x 0 y 0

Calculeu el vector normalitzat de la poblaci´o al cap de 3 generacions, ´es a dir, 1 N 3 ~x 3.

1.41 El model de Leslie per una poblaci´o d’una esp`ecie dividida en dos grups d’edat, joves immadurs i

adults madurs, ´es: ✓ xt+ yt+

0 f 2 s 1 p

xt yt

on t 0 ´es el temps, f 2 > 0 ´es la taxa de fertilitat dels adults i 0 < s 1 , p < 1 s´on les probabilitats de supervivencia de joves i adults respectivament. Comproveu que la taxa asimptotica de creixement

d’aquesta poblaci´o ´es 1 = p 2 +

q p 2

• f 2 s 1 > 0 (vap dominant) i que llavors la distribuci´o estable

de poblaci´o ´es 1 f 2 + 1 (f^2 ,^ ^1 ) (vep normalitzat).

Exercicis test del Tema 1

1.42 Si A =

4 a 1 6

A, per a quin valor d’a el rang de la matriu ´es igual a 2?

a = 4 a = 2 a = 1 Cap de les anteriors

1.43 Per a quin valor del par`ametre a els vectors ~v 1 = (2, a, 1), ~v 2 = (1, 1 , 0), ~v 3 = (0, a, 2) s´on linealment dependents?

a = 4 a = 1 a = 2 Cap dels anteriors

1.44 Per quins valors del par`ametre a existeix la matriu inversa de A =

a 2

2 a

i quina ´es?

Per qualsevol a i A^1 = 1 a^2 + A Per a 6 = ±2 i A^1 = 1 a^2 4

A

Per qualsevol a i A 1 = 1 a^2 + A Per a 6 = ±2 i A 1 = 1 a^2 4

A

1.45 Donada la matriu A =

, quina ´es la seva inversa?

A

1 = A A 1 = A A 1 = A 2 No t´e inversa

1.46 Sigui b un par`ametre. Quina ´es la matriu inversa de A =

b (1 b 2 )/ 3 3 b

Ella mateixa A 1 = A A 1 = A 2 No t´e inversa.

1.47 Donades les matrius A =

i B =

, quina de les igualtats seg¨uents ´es CERTA:

A

1 B 1 = B 1 (A B)A 1 A 1 B 1 = A 1 (Id B) 1

A

1 B 1 = A 1 (B A)B 1 A 1 B 1 = (A B) 1

1.48 Considerem un triangle al pla de vertexs P = ( 2 , 1), Q = (8, 4) i R = (3, a) on a ´es un parametre. Si l’`area del triangle ´es de 20 cm^2 , quines s´on les coordenades del punt R?

R = (3, 3 /2) R = (3, 11 /2) o R = (3, 5 /2)

R = (3, 7 /2) o R = (3, 1 /2) Cap de les anteriors.

1.49 Considereu a l’espai el tetraedre de v`ertexs P = ( 2 , 6 , 7), Q = (2, 18 , 8), R = ( 2 , 6 , 9) i S = (0, 3 , 8). Quant val el volum del tetraedre P QRS?

12 unitats 3 48 unitats 3 72 unitats 3 Cap de les anteriors

1.50 Calculant un determinant, troba el volum de la pir`amide de base triangular (tetraedre ABCD)

tres costats de la qual v´enen donats pels vectors

AB = (1, 5 , 2),

AC = ( 4 , 4 , 2) i

AD = (1, 5 , 5).

Nota: el volum del tetraedre ´es igual a 1/6 del volum paral·lelep´ıpede determinat pels vectors que

formen tres costats de la piramide incidents en un mateix vertex.

84 unitats 3 168 unitats 3 28 unitats 3 Cap de les anteriors

1.59 Calculeu els valors propis de la matriu

0

A

1 = 0, 2 = 1 i 3 = 5 1 = 1, 2 = 2 i 3 = 4

1 = 0, 2 = 3 i 3 = 4 1 = 0, 2 = 2 i 3 = 5

1.60 El vector

´es un vector propi de valor propi 4 de la matriu

1.61 Si A =

, llavors una matriu de vectors propis (en columnes) ´es?

Nota: l’ordre dels valors propis ´es de menor a major.

V =

V =

1 7

V =

V =

1 7

1.62 Si ~v =

´es un vector propi de la matriu A =

0 a 1 / 2 0

, quant val el par`ametre a?

a = 2 a = 4 a = 8 Cap de les anteriors

1.63 Donada la matriu (^0)

A ,

si l’equaci´o caracter´ıstica ´es 3

• 5 2 D · + 3 = 0, llavors quan val el par`ametre D?

D = 1 D = 7 D = 8 Cap de les anteriors.

1.64 Usant la f´ormula per les pot`encies d’una matriu At^ = V · Dt^ · V ^1 , t 0, calculeu

✓ 2 1

1 2

30 1

30

30 0

30

30 0

330 + 2

330 + 2 330 + 2

330 + 2

1.65 Usant la f´ormula per les pot`encies d’una matriu A t = V · D t · V 1 , t 0, calculeu

30 4

15 0

30 0

Cap de les anteriors

1.66 Si una poblaci´o de bacteris es quadruplica cada mes, ´es a dir, Nt = 4 t · N 0 , t 0 mesos i N 0 ´es la poblaci´o total inicial, quina ´es la taxa anual de creixement de la poblaci´o?

4 ⇥ 12 = 48 124 412 Cap de les anteriors.

1.67 La din`amica d’una cadena de Markov per a una poblaci´o dividida en dos grups d’individus, ve

donada per la matriu

1. 25 r
2. 75 1 r

, on r ´es la probabilitat de canviar del segon grup al primer

en cada per´ıode de temps. Per quin valor de r la proporci´o entre els individus del primer grup i els individus del segon grup ser`a a la llarga de 2 : 4?

r = 0. 625 r = 0. 375 r = 0. 125 Cap de les anteriors.

1.68 Una poblaci´o, on els individus estan classificats en contents

^ o enfadats^

_ , evoluciona segons una cadena de Markov. En mitjana, cada any el 30% dels contents s’indigna per`o en canvi el 20% dels enfadats recupera el bon humor. A llarg termini, quina de les afirmacions ´es certa?

La proporci´o de contents i enfadats sera de 30% : 70%. Hi haura el mateix n´umero de contents que d’enfadats.

La proporci´o de contents i enfadats sera de 40% : 60%. La proporci´o entre contents i enfadats dependra de la poblaci´o inicial.

1.69 Mensualment, es recopilen dades sobre la opini´o que tenen els habitants d’un pa´ıs sobre dos

candidats a la presid`encia del govern, la senyora Marianna i la senyora Petra. Considerem que els individus estan dividits entre els partidaris de Marianna i els de Petra, i que el percentatge dels que segueixen creient en el seu candidat d’un mes al seg¨uent ´es del 90% i 75% respectivament. A

la llarga, quin ser`a el percentatge d’individus favorables a cada candidat?

Marianna : Petra = 88.2% : 11.8% Marianna : Petra = 71.4% : 28.6%

Marianna : Petra = 45.4% : 54.6% Marianna : Petra = 21.7% : 78.3%

1.70 Els habitants d’una regi´o metropolitana estan classificats en dos grups: els residents a la ciutat

i els residents als suburbis. Sabem que cada any, el 5% de la poblaci´o de la ciutat es muda als suburbis i que el 3% de la poblaci´o dels suburbis es muda a la ciutat. Escriviu la matriu de Markov del model i calculeu la distribuci´o de poblaci´o que hi haur`a a la llarga.

Ciutat : Suburbi = 62.5% : 37.5% Ciutat : Suburbi = 37.5% : 62.5%

Ciutat : Suburbi = 5% : 95% Ciutat : Suburbi = 97% : 3%

1.78 La din`amica d’una poblaci´o ve donada per la matriu de Leslie

1. 75 p

. Per quina probabilitat

de supervivencia dels adults p tindrem que la proporci´o joves/adults sera a la llarga de 2 : 4?

p = 0. 25 p = 0. 75 p = 0. 925 Cap de les anteriors.

1.79 Una poblaci´o, on els individus estan classificats en tres franges d’edat: joves, adults petits i adults

grans, evoluciona segons un model de Leslie. En mitjana, les fertilitats anuals de cada grup s´on

f 1 = 0.25, f 2 = 1.75 i f 3 = 1.4 respectivament. Per altra banda, cada any, 7 de cada 8 joves sobreviuen a adult, 1 de cada 4 adults petits sobreviu, i 1 de cada 2 adults grans sobreviu i segueix un any m´es. Calculeu el nombre reproductiu basic R 0 d’aquesta poblaci´o (nombre mitja de fills

que t´e cada individu al llarg de la seva vida).

R 0 = 2. 39 > 1 i la poblaci´o creixera indefinidament. R 0 = 0. 42 < 1 i la poblaci´o s’extingira. R 0 = 1 i la poblaci´o es mantindr`a constant.

No es pot calcular R 0 sense saber la poblaci´o inicial.

1.80 Considerem el seg¨uent model matricial de poblacions

✓ xt+ yt+

xt yt

, t 0 ,

x 0 y 0

Calculeu la difer`encia entre el vector normalitzat de la poblaci´o al cap de 2 generacions 1 N 2 ~x^2 i la distribuci´o estable de poblaci´o 1 v 1 +v 2 ~v.

( 0. 014 , 0 .014) ( 0. 053 , 0 .053) (0. 086 , 0 .086) (0. 125 , 0 .125)

1.81 Considereu una extensi´o del model de Leslie on els individus estan classificats en 3 grups segons

la seva mida: (^0)

xt+

yt+ zt+

A =

2 .15 + p 1 1. 7 2

1. 2 p 2 0 0 0. 7 0. 5

A

xt

yt zt

A

on p 1 , p 2 s´on les probabilitats de sobreviure i quedar-se al mateix grup de mida en un per´ıode

de temps. Si p 1 = 0.15 i p 2 = 0.1, comproveu quin dels seg¨uents valors correspon a la taxa de creixement asimpt`otic de la poblaci´o

1 = 2. 0 1 = 2. 5 1 = 2. 9 1 = 3. 5

1.82 Considereu un model matricial del tipus:

~xt+1 = A~xt + ~b ,

on A ´es una matriu 2 ⇥ 2, ~b ´es un vector fixat del pla (entrada externa al sistema) i t ´es el temps discret. Comproveu quina ´es la soluci´o correcta d’aquest problema per a t 1 amb condici´o inicial

~x 0 a t = 0:

~xt = At~x 0 + ~b, t 1. ~xt = (A + b)t~x 0 , t 1.

~xt = At~x 0 , t 1 ~xt = At~x 0 +

A^0 + A^1 + A^2 + · · · + At^1 )~b, t 1.