MATEM ´
ATICAS
1ocurso del Grado en Bioqu´ımica – Curso 2011-12
HOJA DE EJERCICIOS 3
DERIVACI ´
ON
1. Sabemos que (ln x)0= 1/x (x > 0) y que (ex)0=ex. Usar la regla de la cadena para calcular
a) (ax)0, a > 0b) (xa)0, a ∈Rc) (logax)0, a > 0
2. Sabemos que (sen x)0= cos x, (cos x)0=−sen xy que (tg x)0=1
cos2x. Usar la regla de la cadena
para calcular
a) (arcsen x)0b) (arccos x)0c)(arctg x)0.
3. Usar las reglas de derivaci´on para calcular las derivadas de las siguientes funciones a partir de
las derivadas de las funciones elementales:
a)f(x) = x2+ 1
x−3, x 6= 3 b)f(x) = e3x2−1c)f(x) = ln 1
x(x > 0)
d)f(x) = (0,2)3,2xe)f(x) = (x2+ 1)3,2xf)f(x) = (log x)2
g)f(x) = sen (x2−1) h)f(x) = [cos(7x)]3i)f(x) = tg(3x−2)
j)f(x) = arccos(5x)k)f(x) = ex2−1
ex+ 1 l)f(x) = e2xln(x2+ 1)
4. ([N], Secci´on 4.6.1, Ej. 63) El modelo log´ıstico para una poblaci´on de tama˜no N(t) en el
instante tes
N(t) = K
1+(K
N0−1)e−rt ,
donde N0es el tama˜no inicial de la poblaci´on y K, r son constantes positivas con K > N0.
a) Se llama capacidad de alojamiento de una poblaci´on al mayor tama˜no posible de ´esta. ¿Cu´al
es la capacidad de alojamiento en el modelo log´ıstico?
b) Calcular la derivada de N(t) y probar que N0(t) = rN(1 −N
K).
c) Tomar K= 10000 y r= 5,6 en este apartado. Dibujar la velocidad de crecimiento per
c´apita en funci´on de N, es decir v(N) = 1
NN0(t). ¿Aumenta o disminuye v(N) al aumentar el
tama˜no de la poblaci´on?
5. ([N], Secci´on 4.6.1, Ej. 64) El modelo R(P) = aP e−bP , P > 0,se usa en la literatura pesquera
para describir el n´umero de peces nuevos Ren funci´on de la cantidad Pde progenitores.
a) Derivar Rcon respecto a P.
b) Calcular todos los puntos de la funci´on R(P) que tengan una tangente horizontal.
c) Calcular todos los puntos de la funci´on R(P) en los que la segunda derivada sera cero.
d) Dibujar la gr´afica de R(P) cuando a= 0,2 y b= 0,001. ¿Puedes interpretar en esta
situaci´on el resultado obtenido en el apartado b)?
6. ([N], Secci´on 5.2.3, Ej. 29) La velocidad de crecimiento de una poblaci´on se expresa como
v(N) = N1−N
Ka, N ≥0,
siendo Nel tama˜no de la poblaci´on, K una constante positiva que indica la capacidad de
alojamiento y aun par´ametro mayor o igual que 1. Calcular v0(N) y determinar donde es
creciente y decreciente la velocidad de crecimiento.
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