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La integral
UNIDAD
a integración y la derivación son las más potentes herramientas de las que jamás hayan dispuesto las ciencias, tanto naturales como sociales, y las ingenierías, para la resolución de infinidad de problemas. Ambas están englobadas en lo que se conoce como Cálculo Infinitesimal, Cálculo o Análisis matemático. Algunos autores sostienen que lo comienza Arquímedes de Siracusa ( c. 287 a. C. – c. 212 a. C.), con la intención de obtener un método para el cálculo de cualquier área. Sin embargo, como en el resto de la materia del Análisis que hemos visto, hubo que esperar al siglo XIX para encontrarle una justificación rigurosa: la noción actual de integral de una función continua es obra del matemático alemán G. F. B. Riemann (1826 – 1866). Alteramos el desarrollo histórico con fines didácticos. En primer lugar introducimos el concepto de función primitiva y lo usamos para hacer aparecer la integral indefinida como operación inversa a la derivada. Es muy importante que aprendas los rudimentos de la integración y que seas capaz de resolver con soltura integrales inmediatas, a partir de la tabla de dichas integrales y casi- inmediatas, bien por ajuste directo de constantes, bien usando el método de sustitución. Aparecen después el método de integración por partes y la integración de funciones racionales. Con todo ello se adquieren notables conocimientos del cálculo integral, que permiten enfrentarse con éxito a su posible ampliación. Si el cálculo del área hizo aparecer la integral, tenemos que estudiar de dónde surge la idea y cómo la relacionamos con el área. Aparecen la integral definida, el teorema fundamental del cálculo y la Regla de Barrow. En este punto, hemos de mostrar que, aunque la integral se invente como herramienta para el cálculo de áreas, hay que distinguir entre dicho cálculo y la integral definida. Una vez aclarada la diferencia, abordamos el cálculo del área encerrada por una función y el eje OX , y también el cálculo del área encerrada por dos o más funciones. A partir de lo señalado, esta Unidad tiene como objetivos los siguientes:
1. Calcular la función primitiva de una función. 2. Calcular integrales inmediatas y casi-inmediatas. 3. Calcular integrales por los métodos de sustitución e integración por partes. 4. Calcular integrales de funciones racionales sencillas. 5. Calcular integrales definidas. 6. Calcular áreas encerradas por funciones.
L
● Arquímedes de Siracusa. (Wikipedia.org. Dominio público)
Función primitiva
Integral indefinida
Integrales inmediatas
Integrales casi -inmediatas
Integración por partes
Ajuste de constantes
Método de sustitución
Integración de funciones racionales
Integral definida
Teorema Fundamental del Cálculo
Regla de Barrow
Cálculo de áreas encerradas por funciones
Cálculo de la longitud de arco
Cálculo de la superficie y del volumen de un cuerpo de revolución
Aplicaciones a la Física
1. INTEGRAL INDEFINIDA.............................................................................................. 254 1.1. Función primitiva................................................................................................. 254 1.2. Integral indefinida................................................................................................ 255 1.3. Cálculo de integrales indefinidas inmediatas........................................................................... 256 2. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN......................................................................................... 257 2.1. Integración por sustitución o cambio de variable........................................................................ 257 2.2. Integración por partes............................................................................................. 262 2.3. Integrales racionales sencillas...................................................................................... 264 3. INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES........................................................................... 268 3.1. Integral definida................................................................................................. 268 3.2. Teorema fundamental del Cálculo. Regla de Barrow. Derivada de una integral. Cálculo de integrales definidas...................... 270 3.3. Cálculo de áreas................................................................................................. 275 3.4. Aplicaciones de la integral en la Física................................................................................ 282
Í N D I C E D E C O N T E N I D O S
1.2. Integral indefinida
Usando la idea de función primitiva, definimos la integración como la inversa de la derivación: la integral deshace lo que la derivada hace y viceversa (ver gráfico). Al no ser la primitiva única, se vuelve a una familia de funciones que difieren en una constante, no a la función de partida.
Aunque en el gráfico hemos representado la integral indefinida con I , en la práctica se usa el símbolo ∫, que
semeja una S alargada. Escribimos la integral como El término dx (que se lee
diferencial de x ) indica únicamente cuál es la variable respecto de la que integramos; procede de la notación de
Leibniz. Esta segunda notación, más antigua, es la que usaremos, pues tiene ventajas a la hora de
enfrentarse a integrales complicadas. Todo lo que aparece bajo el símbolo ∫, salvo el diferencial, se denomina integrando. No podemos quitar este símbolo hasta que no demos la primitiva del integrando.
Hay una tabla de integrales inmediatas , que consiste en la tabla de primitivas rescrita con la notación para las integrales. Hay que aprendérsela de memoria:
f x df dx
⎝⎜^
∫^ f^ =^ F^ +^ k^ ó^ ∫ f x dx ( )^^ =^ F x ( )^^ + k.
Derivada
Integral
Integrales inmediatas
x dx x n
n k n R n ∫ =^ + +^ ∈^ − −{^ }
dx x ∫ =^ ln x^ + k
∫^ e dxx^ =^ e^ x +^ k ∫^ senx dx ·^^ = −^ cos x^ + k
∫ (^1 + tg x dx^2 )^^ =^ ∫ dx 2 =^ + x
tgx k cos ∫ cos · x dx^ =^ senx^ + k
dx x
arc sen x k arc x k 1 − 2 ∫ =^ +^ = −^ cos^ + dx x arc tg x k 1 + 2 ∫ =^ +
a)
b)
c)
dx x k
x dx x^ k x^ k
x dx x
∫
∫
2 1 3
9 9 1
kk x^ k
dx x
x dx x^ k x^ k x
k
∫
∫ ∫ − − +^ −
10
5 5 5 1 4 4
d).
ee)
f)
dx x
x dx x^ k x k x k
x
6
1 6
1 (^6 1 56 )
7 2
− −^ + ∫ ∫.
∫∫ =^ ∫ =^ + +^ =^ +^ =^ +
dx x dx x^ k x k x k
2 7
2 (^7 1 97 ) 2 7 1
E j e m p l o E j e m p l o
1. Calcula las siguientes integrales:
LA INTEGRAL
UNIDAD 10
Hay que escribir los radicales como potencias fraccionarias y las x del denominador como potencias negativas. Derivando la primitiva comprobamos que la integral está bien resuelta.
1.3. Cálculo de integrales indefinidas inmediatas
Las propiedades de linealidad sirven para calcular integrales más complicadas, haciendo las veces del álgebra de derivadas. Sólo hay dos: ● La integral de una suma es igual a la suma de las integrales.
● La integral del producto de una constante λ por una función es igual a la constante por la integral de la función. Estas propiedades suelen abreviarse escribiendo. Es decir, sacamos las constantes multiplicativas e integramos las funciones. Observa que son las propiedades recíprocas a las derivadas de una suma de funciones y del producto de una constante por una función. Sólo se escribe una constante k en la primitiva.
∫(^ λ^ f^ +μ^ g^ ) =^ λ^ ∫ f^ +μ∫ g
∫ (^ λ^ f^ ) =^ λ^ ∫ f^ ,λ∈^ R ≡
∫(^ f^^ + g^ ) =^ ∫ f^ +^ ∫ g ≡
a)
b)
x x dx x dx xdx x^ x^ k.
x dx x dx
2 2 3 2 3 2 5 5
( + ) =^ +^ =^ +^ +
∫ ∫ ∫ cos · cos · == +
= = +
= =
∫ ∫
∫ ∫ −
3
3
senx k dx x
dx x x k
x
dx x dx x
c).
d)
ln −− −
∫ ∫
2 2 8 3 3 8
11 8
k x
k
x (^) dx x dx x (^) k x
e)^8111
⎝⎜^
⎠⎟^
∫ ∫ k
e x
dx e dx x
dx e dx dx x
x x x (^) ex
f) lnn x k
x
dx x
dx dx x
dx x k
⎝⎜^
⎠⎟^
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
g)^3 1
∫ ==^3 arc tg x^ +^ x^ + k. Se calcula la integral directamente, sin esccribir detalladamente la propiedad:
h) 3 7 1
x − (^) − x 2 + (^) cos (^2) x
⎟ =^ +^ +^ +
⎝⎜^
⎠⎟^
∫ dx^
x (^) arc x tgx k
e x x
x dx e
6
4
cos.
i) xx^ x x k
senx x x^
dx x ar
⎟ = −^ +
∫
3
2 2
ln
cos
j) cc sen x x ∫ +^5 + k.
E j e m p l o E j e m p l o
2. Calcula las siguientes integrales:
Fíjate en que hemos de tener cierta idea sobre la posible primitiva. Además, conforme se complica el integrando, el ajuste de constantes se vuelve más difícil. Por esta razón se usa el método de sustitución o de cambio de variable , que consiste en cambiarle el nombre a la función cuya derivada aparece, de modo que tras dicho cambio quede una integral inmediata. También hay que cambiar el diferencial: si hacemos
Al hacerlo, debe
desaparecer la variable x , quedando una integral inmediata en z , que se integra tal y como hemos hecho con las de x. Al final, se deshace el cambio, volviendo a la variable original.
dz z dx dx dz z
= ' ⇒ =. El cambio de var '
iiable lo escribimos simbólicamente como:
f z dx dz z
z f x z dz dx
= ( ) entonces '= ⇒
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a) (^) ( e^7 x^^ ) 7 e^7 x : hay que
= mmultiplicar por 7 para que sea inmediata. Para no cambiar el valor, si multiplicamos por
7 dividimos tammbién por 7: e dx e dx e k
sen x
7 x^17 x 7 x 7
∫ ∫. b) 44 cos 4 x : falta multiplicar por 4. Como antes, multiplicamoss y dividimos por un mismo número:
5 cos 4 xdx = 5 44
2 2
cos
ln
xdx sen x k
x x x
( (^ + ))
∫ ∫.
c) : faltamultiplicar por 2. Se multiplica y se divide por 2:
2
x x ++
= (^) ( + ) +
∫ 1 ∫
2 2
dx x x dx
ln x k. No es necesarrio el valor absoluto para el argumento del neperiano, porrque siempre es positivo.
d) x^2 x x : 6 2 5 ( (^ −^7 ))^12
= (^) ( − ) falta multiplicar por 12. Se multiplica y se divide por 112:
3 7 3. 12
5 2 5 2 6 ∫^ x x (^^ − )^ dx^ =^ ∫ x x (^^ − )^ dx^ =^ (^ x^ − ) + k
e) Este es un ejemplo de idea feliz: como ( tgx )′ = 11 + tg x^2 , falta un 1 sumando en el integrando para que sea iinme-
diata. Pues se lo sumamos y, para no cammbiar el valor, se lo restamos: (^) ∫ tg xdx^2 = (^) ∫( 1 + tg x^2 − (^1) ) dx = = (^) ∫ ( 1 + tg x dx^2 ) − (^) ∫ dx = tgx − x + k
Calcula: a) ; b).
a)
8 x^3 1 x dx^2 7 xe^3 25 dx Solución
⋅ − x ∫ ∫
−
:
2 2 3 2
2 ( − )
x x x z x (^) ∫ x x dx ⎨
z x z x dx dz x
⎪⎪^ '
= − = − + = − (^) ( − )
∫^8
1 3
1 3
4 3 3 2 4
x z dz x
∫ z dz^ z^ k^ x^ ++ k.
E j e m p l o s E j e m p l o s
5.
El símbolo ∝ se usa para indicar la proporcionaliddad. Fíjate en que, al hacer el cambio, en z sólo va la fuunción, no el exponente, que ya pondremos después..
b) e xe xe z e xe dx
z e ( 3 x^^2 −^5 )′ =^6 3 x^^2 −^5 ∝^3 x^^2 −^5 ⇒^ =^3 x^^2 −^5 ⇒^73 x^2 −^5 =
∫
33 5 3 5
3 5
2 2
2
x x
x
z xe dx dz xe
dz xz
xz dz xz
− −
−
= (^) ∫ =
3 5
2 3 2
2
dz
z k e k
x x
x
( + )
∫
− (^).
Calcula: a) ddx x x dx Solución
x x x z x
∫ ∫
( + )
; b).
a)
ln
:
3 3 2 9 2 2 3 3 2 66 3 2
2 3 2
3 2
2
x x dx
z x z x dx dz x
( + ) =
∫
xx z dz x
z dz z^ k
x k
x x
z
2 2 2
2 3
3 3 9
( + )
( )′ =^ ⇒^ =
∫ ∫.
b) ln lln ln
ln ' x x x
dx
z x z x dx dz x
xdz
z x
⇒ = xdz zdz
∫ ∫ ∫^ ==^ z^ +^ k^ = (^ )^ +
x k
2 2 2 2
ln
. No puede
escribirse el valor absoluto del argumento, pues el integrando sólo existe paara los valores de x positivos.
Calcula: a)^4 ; b ∫ (^1) + 3 x dx ))
a)
Solución:
( + )′ =^ ∝^ =^ +^ ⇒^
∫
2
x x dx
x k z x x dx
z ;
∫ =^ ∫ =^ ∫ =^ +^ =^ +
x z dx dz^ z
dz dz z z k x
ln ln ++
( + )
k
x x x z x x x
dx
z x z x dx
b) 4 7 17 4 7 5 4 7
2 2 2
2
==
= −^ = − =
∫ dz ∫ ∫ x
x z
dz x
dz z
z k
ln == − (^5) ( + ) + 14
ln 4 7 x^2 k. No es necesario el valor absoluto para eel argumento del neperiano, porque siempre es posiitivo. Los ejemplos anteriores se pueden hacer ajuustando constantes y sería conveniente que así fuera para adquirir agili- dad en el cálculo de primitivas. OObserva que el 5 b) responde a (^) ( e f^ (^ x^ )^ )′ = f ' (^) ( x e ) f^ (^ x )y el 77
a.
El se generaliza como
ln
f x f x f x ( (^ ))′ =^
::^ dx. Este resultado se usa para integrar ax b ax b k
∫ =^ ln^ +^ + ffunciones racionales. A veces hay que operar en el integrando, incluso después de haber hecho el cambio.
a) Aquí no sirve el método anterior. Ahora hay que quitarr el exponente recurriendo al ángulo doble: sen x^2 ==
2
4
cos ; cos x cos x x
sen xdx
. En este caso:
ccos (^2) cos cos co 2
2 ⎛ x^ dx x (^2) x dx x sen x ⎝⎜^
⎠⎟^
∫ ∫ =^ ∫(^ −^ + )^ =^ −^ + ∫ ss^2 2 xdx. Volvemos a aplicar la fórmula, teniendo een cuenta que cada vez que la usemos tenemos que duplicar el ángulo de partida. cos 2 2 1 cos^4 2
xdx = +^ x dx = x + senn x
sen xdx x sen x x
4
∫ ∫
∫ =^ −^ +^ +
. La integral queda: 11 32
sen x + k = x − sen x + sen x 4 + k. Dado que la integgral de partida ni lleva ángulos dobles ni cuádruples, debbemos operar para que la primitiva quede en funcióón de x sen x : 2 = 2 senx cos x sen x , 4 = 2 sen x 2 cos 2 x , cos 2 x = 2 cos^2 x − 11 1 3 8
2 2 4
, cos cos
sen x x sen xdx x senx
∫ =^ −
Se obtiene: xx sen x x k
xdx x^ dx x
⎝⎜^
⎠⎟^
3
6
3
cos
cos cos^ cos
b) 33 2 2 2 1 4 2 1 2
cos^2 x cos^3 x dx cos^2 xdx cos x dx
x
( + ) =^ +^ =
∫ ∫ ∫ ;∫ ∫
sen x 4 ; (^) ∫ cos^3 2 xdx = (^) ∫cos^2 2 x cos 2 xdx = (^) ∫( 1 − sen^22 x (^) ) cos 2 xdx = cos 2 xdxx sen x xdx
sen x sen x
∫ ∫
2
3
cos
. La integral qqueda: cos 6 1 8
∫ xdx^ =^ x^ +^ sen x^ +^ x^ +^ sen x^ +^ sen x^2 −
.
Igual que antes, se obtiene operan
sen^32 x k
ddo: cos 6 5 cos cos 3 cos^5. 16
∫^ xdx^ =^ x^ +^ senx^ x^ +^ senx^ x^ +^ senx^ x^ + k CCalcula:.
En este tipo de integrales se
∫ 1 − x dx^2 Solución : uusan las funciones trigonométricas seno o coseno: x sent d
xx tdt sen t t dt tdt t dt t =
= (^) ∫ − = = +^ = + cos 1 ·cos · cos 1 cos^2 2
(^2 2) ssen t k
t arc sen x x dx arc sen
2
∫ ∫.
Deshacemos el cambio xx sent t k arc senx x x k
x dx So
∫
∫
2
2
cos.
Calcula:. llución
x dx x dx
x sent t arc sen x
2 − = −
∫
∫ 7 3
dx tdt dx tdt
tdt
cos cos
cos 22 7
2
(^ t^ + sent^ t^ ) +^ k^ =^ arc sen^ x^ x^ x^ k
⎟⎟ +^
∫ cos^.
2.2. Integración por partes
¿Cómo podremos integrar cuando hay un producto, pero una función no es la derivada de la otra? Recordemos que la derivada de un producto de funciones es o, usando los diferenciales y sobreentendiendo que tanto u como v son funciones de la variable x , d ( u · v ) = v · du + u · dv , por lo que u · dv = d ( u · v ) - v · du e integrando queda. Ésta es la fórmula habitual de lo que se conoce como integración por partes. El quid está en que la integral de la derecha sea más sencilla que la de la izquierda o directamente inmediata. Para ello, hay que elegir las funciones u y dv convenientemente. Como du se obtiene derivando y v integrando, la pauta habitual es elegir dv como una integral inmediata. Con u y dv tenemos que recoger todos los términos del integrando. Veamos los casos habituales:
∫^ udv^ =^ u v ⋅^^ −^ ∫ v du ⋅
( u v ⋅ ) (' x ) = u ' ( x ) ⋅ v ( x ) + u x ( ) ⋅ v '( x )
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Calcula: a) xe dx ; b) xdx ; c) arc tgxdx. Solución
x ∫ ∫ ln ∫ :
aa) Aquí se integran bien tanto x como e x^. Sin embargo, laa primitiva de x es x , lo que nos complicaría la integr
2 2
aal de la derecha. Por lo tanto, procederemos así:
xe dx
u x du u dx dx dv e dx v e dx e
x = (^) x x x xex
∫ ∫
−− (^) ∫ e dxx^ = xe x^ − e x^ + k = (^) ( x − (^1) ) e x + k.
b) En este caso sólo tenemos laa posibilidad siguiente:
ln
ln '· xdx
u x du u dx dx x dv
= ddx v dx x
x x x dx x
x x x k x x k ⇒ = =
∫
∫ ln^ ∫ ln^ ln^^1.
c) IIgual que en b) : arc tgxdx
u arc tgx du dx x dv dx v dx
∫ ∫
xx
xarc tgx x x dx xarc tgx x k
∫ =^ −^ (^ + ) + 1
2^ ln^^12.
Calcula:: a) x e dx ; b) x xdx ; c) arc senx dx. Soluc
2 − x 3 3 2 ∫ ∫ cos ∫ (^ ) iión
x e dx u x du xdx dv e dx v e
x x x x
a)^2
− ∫ =^ − −
= − 22 e −^ x^ + (^2) ∫ xe − xdx. La integral de la derecha también hay que rresol-
verla por partes, pero no podemos llamar u a lo que antes llamamos dv, pues llegaríamos a que la integgral es
igual a ella misma. xe dx
u x du dx dv e dx
x x
− = (^) −
−
− − − −
−
∫ ∫
∫
v e
xe e dx xe e
x e dx x e
x
x x x x
x
2 2 xx (^) xe x (^) e x (^) k x x e x k
x xdx u^ x^ du^ x d
− − + = − (^) ( + + ) +
= =^ ⇒^ =
− −
∫
2
3 3 2
b) cos xx dv xdx v senx
x senx x senxdx = ⇒ =
= − (^) ∫ cos
E j e m p l o s E j e m p l o s
13.
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2.3. Integrales racionales sencillas
Se habla de integrales de funciones racionales cuando el integrando es un cociente de polinomios p ___ q (( xx )). Tienen una ventaja: hay un método que conduce al resultado. También un inconveniente: el cálculo puede ser muy pesado. Dependiendo de los resultados de la factorización del denominador, hay 5 posibilidades:
- El denominador tiene raíces reales sencillas.
- El denominador tiene raíces reales simples y múltiples.
- El denominador tiene raíces complejas.
- El denominador tiene raíces reales simples y complejas.
- El denominador tiene raíces reales simples y múltiples, así como complejas. El grado del numerador siempre ha de ser menor que el del denominador. Si no es así, se divide quedando p x. Veamos con ejemplos cada uno de los casos: q x
c x r x q x
= ( ) + (^ )
Calcula: a)^ x ; b) ; c) Te of x x
dx x x
− dx ∫ (^) − ∫( + ) ( − )
rrecemos este otro ejemplo para profundizar:
3 5 (^24 )
x x x
En primer lugar resolvemos la ecuación
Solución DE
a) NN x ( ) = 0 ⇒ x^3 − 4 x = 0 ⇒ x = 0 , ± 2. Después planteamos la
ecuacióón^ x. Observa que x x
A
x
B
x
C
x
x x x
dx A x
dx B x
(^1) ∫ = + 4 2 2
∫ ∫ 2 ∫ 2 2 2
dx C x
dx A ln x B ln x C ln x k. La ecuación es. Tenemos dos caminos
A x ( + 2 ) ( x − 2 ) + Bx x ( − 2 ) + Cx x ( + 2 ) = x − 1
:: plantear y resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 inccógnitas o dar valores conve- nientes (las raíces dell denominador) a la x para hallar los coeficientes. x = 0 ⇒ − 44 1 1 4
A A x
B B x C C
= − ⇒ = −^ = ⇒ = ⇒ =
;. Por lo tannto, Fíjate en
x x x
− dx x x x k − ∫ 1 =^ −^ +^ +^ −^ + 4
3 ln^ ln^ ln^2. que hay tantas fracciones como factores tenga el denominaador y que la primitiva es una suma de lo- garitmos neeperianos. b) Como el denominador está factorizado, este paaso lo saltamos. Ahora hay que plantear la ecuación 66 1 3 1 3 3
x x^2
A
x
B
x
C
( + ) ( − ) x^ x^ x
. Observa que ahora
∫ ∫ ∫
∫
2
2
dx A x dx B x dx
C x
k A x B x x C x −
. La ecuación es 3 2 1 3 1 6.
SSólo tenemos dos raíces, con las que determinamos dos coeeficientes. Para el tercero damos otro valor a la x : x = − ⇒ 1 16 A = 6 ⇒ A = 3 x = ⇒ C = ⇒ C = x = ⇒ A − B + C = ⇒ B = − Lueg 8
; ;. oo (^6). 1 3
x x^22
dx x x x
k
∫ ln^ ln +
E j e m p l o s E j e m p l o s 16.
c) x^2 + 4 x + 7 ≠ 0 ⇒ tiene dos raíces complejas conjugadas. Recordaando los trinomios cuadrados perfectos podemos escribir:
x^2 x x^2 x. Por lo tanto
2 4 7 2 3 3 1 2 3
⎝⎜^
⎞ ⎠⎟
⎡ ⎣
⎢ ⎢
⎤ ⎦
⎥ ⎥
,, en la primitiva va a haber un arco tangente. Si el numerrador fuera sólo un número, la primitiva sería ese arcco tangente, pero, al tener también x , aparecerá un neperiiano, porque siempre podremos tener la derivada del denomii-
nador en el numerador. Para ello, como ( x^2 + 4 x + 7 ) =' 22 ( x + 2 ) , cambiamos la x del nume rador por x + 2 y ajustamos el término indepen-
diente: 3 (^) ( x + (^2) ) = 3 x + 6 ⇒ 3 x + 5 = (^3) ( x + (^2) ) − 1 .. (^) ∫ (^) x (^2) (^3) +^^ x 4 + x^5 + 7 dx = (^) ∫ (^3) x^ ( 2 x ++ 42 x^ ) −+ 71 dx = (^) ∫ (^) x^32 (+^ x 4 + x^2 +) 7 dx − x 22 1 2
2 2
4 7
3 2 4 7 1 (^3 1 ) 3
3 2 4
+ + =^ (^ +^ + ) −
−
⎞ ⎠⎟
= +
∫
∫
x dx^ x^ x dx x
x x
ln
ln ( ++ ) − ⎛ +
⎝⎜^
⎞ ⎠⎟ 7 33 2 + 3 arc tg x^ k
Calcula: a)^ x ; b) ; c) x x x
dx x x x
∫ ∫ ( − )
a)
Usando Ruffini se obtiene
x x x
dx
Solución
∫ + + : qque 3 11 2 8 4 3 2. Hacemos 2 3 11
3 2 2
3
x x x x x x x x x
− − − = ( − ) (^) ( + + )
− 22 − 2 − 8 4 3 2 2
x + +
A
x
Mx N x x
. El numerador del polinomio irreduucible de 2º grado debe ser un bi- nomio de primer grrado Mx + N. De esta segunda fracción obtendremos un neperiaano y un arco tangente. La ecuación es ahora: A (^) ( 3 x^2 + x ++ ) + ( + ) ( − ) = + = ⇒ = = ⇒ − = ⇒
= − =
Mx N x x x A x A N
N x
A M N M. Como x 0 no es raíz, puede usarse paraa calcular. En caso de que lo fuera, tanto el se
N
ggundo como el tercer valor serían arbitrarios. Ya tenemos que x. x x x
dx x x x x
∫ ∫ + +
ln HHay que operar la integral de la derecha:
(^3^ x^^2 +^ x +^2 )) =^ +^ =^ ⎛ + ⎝⎜^
⎝⎜^
x x x x (^) 2 x x x
(( x )
2 2 2
x x x x x x
El primer término da ln (^) ( 22 ). Para el segundo hay que operar el denominador: 3 x^2 + x ++ =
⎝⎜^
⎝⎜^
2 x x x ·^33 36
2 x^2
. Aparece como
derivada del argumento, luego
hhabrá que dividir por él:
x
arc tg x
x x
Resumiendo se tiene: 11 2 8
2 x x
dx x x x arc tg x − −
= − − (^) ( + + ) − ⎛ + ⎝
∫ (^) ⎠ ln ln (^) ⎟⎟ + k.
Ahora, para cada factor necesitamos tantas fracciones como sea la multiplicidad de la raíz. Si la raíz es doble, dos (ejemplo resuelto); si la raíz es triple, tres… Observa que si todas las raíces son simples, necesitamos una fracción por raíz (caso a )).
I dx , q x x x
t dt t t t
t dt t t
∫ 3 3 2 3 ∫ ∫ − −
5 3 2
4 2 uue es una integral racional.
Efectuamos la división t t t t t t. Como e t t
(^4 2 2 23 25 6) t (^2) t t t 2 : (^) ( − − ) = + + + + 2 1 2 − −
− − = ( +) ( − ) sscribiremos
4 2
t t t
A
t
B
t
A B t t t
3 2 ∫^ dt^ =^ t^ +^ t^ +^ t^ −^ ln^ t^ +^ +^ ln^ t −. Al deshacer el cammbio y multiplicar por −6, se tiene: I = 2 ln 63 − x + 1 − 22 3 − − 3 3 3 − − 18 6 3 − − 32 63 − − 2 +
=
x x x x k
e x^ t e dx
ln
,
b) Con el cambio xx dt dx dt t
dt t t
∫ + pasamos a 2 3. El denominador factorizadoo es ,
luego
t t
t t
A
t
B
t
C
t
A B C
2
2 3 2
∫ =^ +
. Deshaciendo el cambio tenemos: e dx e e
e
x x x
x 2 3 ln((^1 ) −^ x^ −^ e x + k
6. Calcula: a) x^3 x^2 dx ; b) x x^2 dx ; c) 3 ∫ (^ +^1 )^ (^ −^1 )^ ∫ 4 (^7 −^5 ).
Halla: ; ;
2 3 2
x x
dx
x x dx x
dx
∫
7. a) (^) ∫ b) (^) ∫ **cc)
- a) b)**
Averigua: ;
2
3 2
2
x x dx x x
dx xe x
∫^ cos
∫ (^) +
− (^) ddx x senx
dx
e x dx
∫ ∫
∫
Calcula: ;
c)
9. a) b)
cos
Halla: ;
e dx x
dx x x x
dx
− x ∫ ∫
∫
c)
10. a) ;.
Averigua:
b) c)
11. a)
2 xe dx e e
dx
sen
x x x
− ∫ ∫ (^) + − (^33 4) xdx (^2 7) xdx sen (^2) (^3) x (^33) xdx ∫ ;^ ∫ ;^ ∫. Calcul
b) c)
12.
cos ·cos aa: ;. Halla:
a) b)
13. a)
cos 4 2 2 2
xdx x dx e x x
∫ ∫ − ∫ −^ ((^ − )^ dx^ ;^ ∫ x^ xdx^ ;^ ∫(^ arc^ x^ ) dx. Calcula:
b) c)
14. a)
(^3) ln cos^2
; ;.
Aver
x arc tgxdx x x ∫ 2 b)^ ∫ 3 5 dx^ c) ∫ e^^5 xsen xdx^3
15.
ln
iigua: ;.
Halla:
a) b)
16.
x x x
dx x x x
∫ ∫ − +
2 2
aa)^ x ; b) ; c) co x x
dx x x x x
dx dx e x
3 3 2 3 2
∫ ∫ (^) − + − ∫ (^) + nn el cambio.
Calcula: ; ;
z e dx x
xe dx
x
x
∫ (^) − ∫
17. a) (^) 3 b)^4 1
Averigua:.
c)
18.
x x
dx
x x x
dx
4 2 2
∫
∫
A c t i v i d a d e s
LA INTEGRAL
UNIDAD 10
3. Integral definida y sus aplicaciones
3.1. Integral definida
Históricamente, la integral surge como herramienta para el cálculo de áreas de figuras planas y es anterior a la derivación. El procedimiento es el siguiente: llamamos al área encerrada por la función continua f , el eje
OX , y las rectas x = a , x = b (zona coloreada). Los puntos a , b que aparecen en la integral son sus extremos o límites de integración e indican desde y hasta donde queremos calcular el área. Por comodidad, suponemos f positiva en el intervalo [ a, b ]. Más adelante veremos qué hay que hacer cuando no sea así. Para calcular el área de la figura, podemos descomponerla en n rectángulos y sumar el área de todos ellos. Este troceamiento del intervalo de integración se llama partición P , que está caracterizada por su. Obtene- mos n subintervalos [ x (^) i- 1 , x (^) i ], con x 0 = a, x (^) n = b. Si la función es continua, siempre tendrá un mínimo y un máximo en cualquier intervalo [ x (^) i- 1 , x (^) i ] de la partición P , a los que llamaremos mín ( f , [ x (^) i- 1 , x (^) i ]) y máx ( f , [ x (^) i- 1 , x (^) i ]), respectivamente. Los rectángulos tienen de base b – a____n y pueden tener de altura:
● mín ( f , [ x (^) i- 1 , x (^) i ]); la S uma inferior ( L de Lower , inferior) es la suma del
área de todos estos rectángulos. Es un área por defecto. ● máx ( f , [ x (^) i- 1 , x (^) i ]); la S uma superior ( U de Upper , superior) da un área
por exceso. Claramente , estando acotada la diferencia entre el máximo y el mínimo de la
función en cada trozo de la partición. Como con toda aproximación, podemos mejorarla volviendo a dividir el intervalo por la mitad. El primer mínimo quedará en uno de los dos nuevos trozos, por lo que en el otro el nuevo mínimo es mayor o igual que el antiguo. Por ello, aumenta la suma inferior. Si subdividimos, otra vez ocurrirá lo mismo, siendo el nuevo mínimo de alguno de los trozos mayor que el antiguo. Se tiene una sucesión monótona creciente: L ( f, P 1 ) ≤ L ( f, P 2 ) ≤ L ( f, P 3 ) ≤.... El primer máximo quedará en uno de los trozos, por lo que en el otro el nuevo máximo es menor o igual que el antiguo. Así, disminuye la suma superior, sucediendo esto cada vez que subdividimos. Se obtiene una sucesión monótona decreciente: U ( f, P 1 ) ≥ U ( f, P 2 ) ≥ U ( f, P 3 ) ≥.... Además, la diferencia entre ambas sumas se hace cada vez menor, pues, al disminuir el diámetro de la partición (cuando n →∞, b – a____n →0), el mínimo y el máximo se acercan, aproximándose ambos a f ( x (^) i ). De este modo, si el área por
diámetro anchura n de trozos
b a n
L f P f x dx U f P a
b ( ,^ ) ≤^ ∫ ( ) ≤^ ( , )
U f P b^ a n máx f x (^) i xi i
n ( ,^ ) =^ −^ ( ,^ [ (^) −, ]) = ∑ (^1) 1
L f P b^ a n
mín f x (^) i xi i
n ( ,^ ) =^ −^ ( ,^ [ (^) −, ]) = ∑ 1 1
f x dx a
b ∫^ ( )
a b
f
El área por defecto aumenta
El área por exceso disminuye
Una cuestión de notación: si llamamos Δ xi = xi – xi -1, y suponemos que mín ( f ,[ xi- 1 , xi ]) = máx ( f ,[ xi- 1 , xi ])= f ( xi ) (lo que ocurre si la anchura del intervalo es suficientemente pequeña), las sumas se escriben como , por lo que
3.2. Teorema fundamental del Cálculo. Regla de Barrow.
Derivada de una integral. Cálculo de integrales definidas
Dado lo tedioso del cálculo del área mediante el procedimiento de las sumas superior e inferior, averiguaremos el valor de la derivada del área. Observa que como A es función
de x se escribe otra variable en la integral. En el gráfico vemos que:
es calcular primitivas. Algunas apreciaciones: ● La función dibujada es decreciente en [ x, x + h ], pero el que fuese creciente en dicho intervalo no cambia el resultado. ● Para poder tomar el límite, y obtener el resultado obtenido, la función f ha de ser continua y la función A derivable. Gracias al resultado anterior, conocido como el Teorema fundamental del cálculo , podemos escribir que
. La Regla de Barrow permite que el área no quede en función de una constante arbitraria k ;
su demostración es sencilla:
El segundo igual no es más que otra forma de escribir dicha regla usando la barra de las particularizaciones. Hay que tener cuidado al aplicar el teorema fundamental del cálculo para hallar la derivada de una integral.
Sabemos que f t dt F x k ; además f t dt F a k , l a
x
a
a ∫ ( )^ =^ ( )^ +^ ∫ ( )^ =^ ( )+^ =^0 uuego^. Como
entonces
k F a f t dt F x F a
f x dx
a
x
a
b
∫
∫
( ) FF b ( ) − F a ( ) = F x ( ) (^) xx == ab ( Regla de Barrow ).
f t dt F x k a
x ∫ ( )^ =^ ( )+
f x h h A x h A x f x h f x h A x^ h^ A x h ( + ) ⋅ ≤ ( + ) − ( ) ≤ ( ) ⋅ ⇒ ( + ) ≤ (^ +^ )^ −^ ( )^ ≤ f x ( ) ⇒ (^) h lim→ 00 0
0
f x h A x^ h^ A x h f x f x A x f x A
h h
( ) lim (^ )^ ( ) lim ( ) ( ) '( ) ( ) '
+ ≤ +^ −^ ≤
→
→^ (( ) x^ =^ f^ (^ x ) ⇒^ El área encerrada por la función es su primitiva:: calcular áreas
A x f t dt a
x ( ) = (^) ∫( )
n lim i^ i^ , estableciéndose las equiv i
n a
b →∞ f^ x^ x^ f^ x dx = ∑ (^ )^ Δ =^ ∫ (^ ) 1
aalencias , cuando (que es
lo que sucede c
∑ → ∫ Δ x → dx Δ x → 0
uuando n → ∞).
f x (^) i xi i
n
= ∑ Δ 1
LA INTEGRAL
UNIDAD 10
f(x+h)
a x x+h
Aunque empezamos definiendo la integral definida como el área encerrada por una función, el eje OX y las rectas x=a y x=b , no podemos usarla para esta tarea sin más, pues la integral definida es el área si la función es positiva. Por ejemplo, para la función f (x) = x^3 , el eje OX y
las rectas x= –1, x= 1, no podemos decir que su área sea
pues un área no puede ser nula. Encontramos la explicación al representar gráficamente f(x) = x^3 en el intervalo [–1, 1]: la función tiene una parte negativa, con su área, y otra positiva, con la suya. Da la casualidad (nada casual, pues no lo habríamos puesto como ejemplo) de que ambas son iguales, pero tienen signos distintos, por lo que se anulan.
Es decir, la integral por sí sola no es capaz de calcular correctamente el área, de ahí que se distinga entre integral definida , que puede tomar cualquier valor (positivo, negativo o nulo), y el área, que sólo puede ser positiva.
Cuando escribimos entendemos que es una integral definida, por lo que, una vez calculada la primitiva,
usaremos directamente la Regla de Barrow, sin preocuparnos por el signo del resultado. En el siguiente apartado veremos cómo se calculan las áreas. Hay dos formas de aplicar la Regla de Barrow si resolvemos la integral mediante el método de sustitución:
- La usamos después de haber deshecho el cambio.
- Cambiamos los límites de integración, escribiendo z 1 = z ( a ), z 2 = z ( b ), con lo que tendríamos que f x dx = F ( z 2 ) – F ( z 1 ). a
b ∫^ ( )
f x dx a
b ∫^ ( )
A = x dx = x^ = − = u − (^) − ∫
3 1
(^1 )
1
1 2 4
En general, f t dt F g x F g x ; al deriv g x
g x ( ) =^ ( ( )) −^ ( ( )) ( )
( ) ∫ 1
2 2 1 aar, usando la regla de la cadena,^ f^ t dt g x
g x
( ) ∫ 1
2 ⎟⎟⎟
= (^) ( ( ( )))
− (^) ( ( ( )))
F g (^) 2 x F g (^) 1 x = F ' (^) ( g (^) 2 ( x (^) )) · g (^) 2 ' (^) ( x (^) ) − F ' (^) ( g (^) 1 ( x (^) ))· g 11 ' '
x F x f x
F g x f g x f t d
( ) ( ) =^ ( ) ⇒
⇒ (^) ( ( )) = (^) ( ( )) ( )
. Como
, entonces tt f g x g x f g x g x g x
g x
1
2 2 2 1 1 ( )
( ) ∫
⎟⎟ ' = (^) ( ( ))· ' (^) ( ) − (^) ( ( ))· ' (^) ( ).
a) 4 5 1 4 3
3
(^1 3 )
3
1 (^ x^ −^ x^ + ) dx^ =^ x^ −^ x^ +^ x = −^ −^ ⎛− ⎝⎜^
− − ∫
5 2 1
(^16 ) 1
1
1
b).
c)
x x dx x x x
x
dx
e
( −^ + ) =^ −^ +^ =^ −^ = − − − ∫
∫ ==^ =^ −^ =^ −^ =
∫ =^ +^ =^ +
1
2 0
2
ln ln ln
cos cos
x e
xdx x dx x^ sen
e.
d)
π (^22) 4
0
2
0
2
1 2
1 1
1
x
dx x
arc senx
π π π
π π (^) π
∫
∫
− −
e).
E j e m p l o s E j e m p l o s
21. Calcula las siguientes integrales:
