¡Descarga Integrales apunts y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
MATEMÀTIQUES I
Curs 2015 - 2016
Grups T1 i T Professor Santiago Zarzuela
1.3 Càlcul de primitives (càlcul integral)
A continuació, trobareu algunes integrals immediates que podeu fer servir als exercicis. La llista d’integrals immediates la podeu ampliar tant com voleu, vosaltres mateixos. Per simplificar, no hi apareix la constant d’integració.
xndx = xn+ n + 1 (amb n qualsevol enter 6 = −1) •
dx x = log x
ex^ dx = ex^ •
log x dx = x log x − x
sin x dx = − cos x •
cos x dx = sin x •
tan x dx = − log(cos x)
cot x dx = log(sin x) •
sec x dx = log(tan( π 4
x 2
log( 1 + sin x 1 − sin x
csc x dx = log(tan x 2
log( 1 − cos x 1 + cos x
dx 1 + cos x
= tan x 2
dx 1 − cos x = − cot x 2
dx a^2 + x^2
a arctan x a
dx a^2 − x^2
2 a log | a + x a − x
dx √ a^2 − x^2
= arcsin( x a
a^2 − x^2 dx = a^2 2
arcsin( x a
x 2
a^2 − x^2 •
arcsin x dx = x arcsin x+
1 − x^2
arccos x dx = x arccos x−
1 − x^2 •
arctan x dx = x arctan x−
log(1+x^2 )
...
A continuació podeu trobar explicats de forma resumida els tres mètodes bàsics per calcular primitives explicats a classe. Naturalment, hi ha altres tècniques (més o menys sofisticades) que es poden utilitzar. Vosaltres mateixos.
- Integració per canvi de variable.
Es dedueix de la regla de la cadena per derivar: f (g(x))′^ = f ′(g(x))g′(x). ∫ f (g(x))g′(x) dx =
f (t)dt, amb t = g(x)
Exemple:
xex (^2) + dx
Fent el canvi de variable t = x^2 + 1 tenim que dt = 2xdx, d’on substituint a l’integral resulta ∫ xex (^2) + dx =
et^ dt =
et^ + c =
ex (^2) +
amb c una constant real qualsevol.
Es dedueix de la fórmula de la derivada del producte: (u(x)v(x))′^ = u′(x)v(x)+ u(x)v′(x). ∫ u(x)v′(x) dx = u(x)v(x) −
u′(x)v(x) dx
Exemple:
x^2 ex^ dx
Escollim les següents parts: u(x) = x^2 , v(x) = ex. Aleshores, u′(x) = 2x, v(x) = ex^ i tenim que
(1)
x^2 ex^ dx = x^2 ex^ −
2 xex^ dx = x^2 ex^ − 2
xex^ dx
Per calcular l’integral
xex^ dx tornem a fer parts, escollint u(x) = x, v(x) = ex. Aleshores, u′(x) = 1, v(x) = ex^ i tenim que
(2)
xex^ dx = xex^ −
ex^ dx = xex^ − ex^ + c
Substituint el resultat (2) a (1) obtenim
∫ x^2 ex^ dx = x^2 ex^ − 2(xex^ − ex) + c = x^2 ex^ − 2 xex^ + 2ex^ + c = ex(x^2 − 2 x + 2) + c
Observeu que la integral del sumand c(x) és immediata ja que és un polinomi.
En l’exemple anterior, fent la divisió entera de polinomis tal com heu après al batxillerat, tenim que
x^3 − 5 x + 2 = 1 · (x^3 − 3 x + 2) − 2 x
de forma que
g(x) = x^3 − 5 x + 2 x^3 − 3 x + 2
− 2 x x^3 − 3 x + 2 i ens podem reduir a calcular la primitiva de la funció
h(x) = − 2 x x^3 − 3 x + 2 que té el numerador de grau més petit que el denominador.
- A continuació és descompon q(x) en factors irreductibles:
q(x) = (x − a 1 )m^1 · · · (x − at)mt^ q 1 (x)n^1 · · · qs(x)ns
on a 1 ,... , at són les arrels reals de q(x) (totes diferents) amb multiplici- tats m 1 ,... , mt respectivament, i q 1 (x),... , qs(x) són polinomis mònics (tots diferents) de grau 2 amb coeficients reals i discriminant negatiu, és a dir, sense arrels reals. Trobar aquesta descomposició pot ser realment molt difícil ja que és el mateix que trobar totes les arrels del polinomi.
En el nostre exemple tenim que les arrels del polinomi x^3 − 3 x + 2 són exactament 1 , 1 , − 2 (és dir, 1 amb multiplicitat 2 i − 2 amb multiplicitat
- Les hem trobat fàcilment pel mètode de Ruffini, o per la fórmula de les arrels de la equació de segon grau.), de forma que podem escriure
x^3 − 3 x + 2 = (x − 1)^2 (x + 2)
- Aleshores es troba la descomposició en fraccions simples de r q((xx)) , és a dir, es troba la descomposició r(x) q(x)
A^11
(x − a 1 )
Am 11 (x − a 1 )m^1
A^1 t (x − at)
Am tt (x − at)mt^
b^11 (x) q 1 (x)
bn 1 1 (x) q 1 (x)n^1
b^1 s (x) qs(x)
bs(x)ns qs(x)ns
on A^11 ,... , Am 1 1 ,... , A^1 t ,... , Am tt
són números reals i
b^11 (x),... , bn 1 1 (x),... , b^1 s (x),... , bn s s(x)
són polinomis de grau com a molt 1 amb coeficients reals. Aquesta des- composició en fraccions simples sempre existeix i es troba tal com s’ha fet a classe amb alguns exemples.
Pel nostre exemple tenim el següent: hi haurà una descomposició de la forma
h(x) =
− 2 x x^3 − 3 x + 2
A
x − 1
B
(x − 1)^2
C
x + 2
Per trobar A, B, C operem a la dreta reduint a comú denominador, de forma que
− 2 x x^3 − 3 x + 2
− 2 x (x − 1)^2 (x + 2)
A(x − 1)(x + 2) (x − 1)^2 (x + 2)
B(x + 2) (x − 1)^2 (x + 2)
C(x − 1)^2 (x − 1)^2 (x + 2)
A(x − 1)(x + 2) + B(x + 2) + C(x − 1)^2 (x − 1)^2 (x + 2)
A(x^2 + x − 2) + B(x + 2) + C(x^2 − 2 x + 1) (x − 1)^2 (x + 2)
(A + C)x^2 + (A + B − 2 C)x + (− 2 A + 2B + C) (x − 1)^2 (x + 2)
Igualant els numeradors tenim que
− 2 x = (A + C)x^2 + (A + B − 2 C)x + (− 2 A + 2B + C)
d’on igualant coeficients obtenim el sistema d’equacions
A + C = 0 A + B − 2 C = − 2 − 2 A + 2B + C = 0
- Trobem la descomposició en factors irreductibles del denominador. En aquest cas, per Ruffini podem veure que − 1 és una arrel múltiple de multiplicitat 3 i que les altres dues arrels del polinomi són complexes, de forma que
x^5 + 3x^4 + 5x^3 + 7x^2 + 6x + 2 = (x + 1)^3 (x^2 + 2) (Observeu que les dues arrels complexes són
2 i, −
2 i, que són conju- gades.)
- A continuació busquem la descomposició de la funció racional en fraccions simples: sabem que existeixen constants A, B, C, D, E tals que 4 x^4 + 10x^3 + 9x^2 + 9x + 3 x^5 + 3x^4 + 5x^3 + 7x^2 + 6x + 2
A
(x + 1)
B
(x + 1)^2
C
(x + 1)^3
Dx + E (x^2 + 2) Operant en aquesta possible descomposició tenim que 4 x^4 + 10x^3 + 9x^2 + 9x + 3 x^5 + 3x^4 + 5x^3 + 7x^2 + 6x + 2
(A + D)x^4 + (2A + B + 3D + E)x^3 + (3A + B + C + 3D + 3E)x^2 + (x + 1)^3 (x^2 + 2)
+(4A + 2B + D + 3E)x + (2A + 2B + 2C + E) (x + 1)^3 (x^2 + 2) de forma que, igualant els coeficients de cada grau dels numeradors, ob- tenim el sistema d’equacions lineals
A + D = 4
2 A + B + 3D + E = 10
3 A + B + C + 3D + 3E = 9
4 A + 2B + D + 3E = 9
2 A + 2B + 2C + E = 3
Resolent el sistema (la teoria ens assegura que aquest sistema té solució única) obtenim que
A = 2, B = 1, C = − 1 , D = 2, E = − 1
de forma que la descomposició en fraccions simples és
4 x^4 + 10x^3 + 9x^2 + 9x + 3 x^5 + 3x^4 + 5x^3 + 7x^2 + 6x + 2
(x + 1)
(x + 1)^2
(x + 1)^3
2 x − 1 (x^2 + 2)
- Finalment calculem les primitives de cada terme de la suma:
∫ 4 x^4 + 10x^3 + 9x^2 + 9x + 3 x^5 + 3x^4 + 5x^3 + 7x^2 + 6x + 2 dx =
(x + 1) dx +
(x + 1)^2 dx +
(x + 1)^3 dx +
2 x − 1 (x^2 + 2) dx =
log(x + 1)^2 − (x + 1)−^1 +
(x + 1)−^2 +
2 x − 1 (x^2 + 2) dx
Anem a calcular aquesta darrera integral: tenim que ∫ 2 x − 1 (x^2 + 2) dx =
2 x (x^2 + 2) dx −
(x^2 + 2) dx =
log(x^2 + 2) −
arctan
x √ 2 Per lo tant, ∫ 4 x^4 + 10x^3 + 9x^2 + 9x + 3 x^5 + 3x^4 + 5x^3 + 7x^2 + 6x + 2
dx =
log(x + 1)^2 (x^2 + 2) − (x + 1)−^1 +
(x + 1)−^2 −
arctan x √ 2
amb c qualsevol constant real.
