Matemática para
ingenieros 2
Alberto Morales Vargas.
Sesión 1. Integrales impropias
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Integrales Impropias: Matemática para Ingenieros 2, Diapositivas de Matemática Elemental
Integrales impropias. Te servira para los examenes que tu profe puede tomarte. Te ayudara para que practiques con las diapositivas que el mismo profe realiza para sus estudiantes con ejemplos explicitos.
Tipo: Diapositivas
2021/2022
1 / 24
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Matemática para
ingenieros 2
Alberto Morales Vargas.
Sesión 1. Integrales impropias
Conocimientos previos
𝒂 𝒃
𝒂
𝒃
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑿
𝒀
La integral definida de 𝒇 en 𝒂 , 𝒃
= 𝑭 𝒃 − 𝑭(𝒂)
𝒇 𝒙 = 𝑭
′
𝒙
Significado geométrico:
𝒂 , 𝒃 sea cerrado y compacto
donde,
Condiciones para calcular una integral definida:
….. ( 𝑭 es la antiderivada de 𝒇 )
Rpta.
Al finalizar la sesión, el estudiante identifica una integral
impropia y determina su convergencia o divergencia utilizando
límites.
Logro
Integral impropia
La integral impropia de 𝒇 es aquella integral donde el intervalo no es cerrado o donde el intervalo no es compacto
Integrales impropias de primera especie Integrales impropias de segunda especie
න
−∞
𝒃
𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
න
𝒂
+∞
𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
න
𝒂
𝒃−𝜺
𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
න
𝒂+𝜺
𝒃
𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
- 𝒇 continua en ሾ𝒂 , 𝒃ۧ
- 𝒇 continua en
ۦ 𝒂,
ሿ 𝒃
- 𝒇 continua en ሾ𝒂 , +∞ۧ
- 𝒇 continua en
ۦ −∞,
ሿ 𝒃
- 𝒇 continua en ۦ −∞, +∞ۧ
න
𝒂
𝒎−𝜺
𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
- 𝒇 continua en
ሾ 𝒂 , 𝒎ۧ ∪ ۦ𝒎 ,
ሿ 𝒃 + න
𝒂+𝜺
𝒃
𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
- න
𝒎
+∞
𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 න
−∞
𝒎
𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
Calcular la integral
Integrales impropias de primera especie
−∞
−𝟏
−𝒙
𝟐
Solución.
Cuando 𝒇 es continua en el intervalo
Caso 1.
−∞
−𝟏
−𝒙
𝟐
𝒍𝒊𝒎
𝒂→−∞
𝒂
−𝟏
−𝒙
𝟐
𝒍𝒊𝒎
𝒂→−∞
𝒍𝒊𝒎
𝒂→−∞
−𝒙
𝟐
−
𝟏
𝟐
−𝟏
−
𝟏
𝟐
−𝒂
𝟐
𝟏
𝟐
𝒍𝒊𝒎
𝒂→−∞
−𝒂
𝟐
𝟏
𝟐
−𝟏
−
𝟏
𝟐
𝑎
− 1
𝟏
𝟐𝒆
Integración por sustitución algebraica:
න 𝒙 𝒆
−𝒙
𝟐
𝒅𝒙 = 𝒆
−𝒙
𝟐
−
𝟏
𝟐
𝟎
න
−∞
𝟎
𝒅𝒙
𝟒
𝟓𝒆
𝒙
Calcular la integral
Integrales impropias de primera especie
Solución.
Cuando 𝒇 es continua en el intervalo
Caso 1.
𝟎
+∞
−𝒙
𝒍𝒊𝒎
𝒃→+∞
න
0
𝑏
𝒙 𝒆
−𝒙
𝑑𝑥
𝒍𝒊𝒎
𝒃→+∞
=
0
𝑏
𝒍𝒊𝒎
𝒃→+∞
=
=
− 𝒍𝒊𝒎
𝒃→+∞
− 𝒍𝒊𝒎
𝒃→+∞
= + 𝟏
𝟎
=
Integrales impropias de primera especie
𝟎
+∞
−𝒙
Solución.
−𝒙 𝒆
−𝒙
− 𝒆
−𝒙
Integración por partes
−𝒃 𝒆
−𝒃
− 𝒆
−𝒃
− 𝟎 𝒆
−𝟎
− 𝒆
−𝟎
𝟏
𝟎
Regla de Hospital
− 𝟎 + 𝟏
= 𝟏
Calcular la integral
𝒍𝒊𝒎
𝒃→+∞
−𝒃 𝒆
−𝒃
− 𝒆
−𝒃
- 𝟏
𝒃
𝒆
𝒃
𝟏
𝒆
𝒃
Cuando 𝒇 es continua en el intervalo
Caso 2.
න
𝟎
∞
𝒅𝒙
𝟒𝒆
𝒙
- 𝟗𝒆
−𝒙
Integrales impropias de primera especie
Solución.
Calcular la integral
Cuando 𝒇 es continua en el intervalo
Caso 2.
Integrales impropias de primera especie
Calcular la integral න
−∞
+∞
𝒙
−𝒙
Solución.
Cuando 𝒇 es continua en el intervalo
Caso 3.
𝒍𝒊𝒎
𝒂→−∞
𝒍𝒊𝒎
𝒃→+∞
න
𝒂
𝟎
𝟏
𝒆
𝒙
- 𝒆
−𝒙
𝒅𝒙 න
𝟎
𝒃
𝟏
𝒆
𝒙
- 𝒆
−𝒙
𝒅𝒙
න
𝒂
𝟎
𝒆
𝒙
𝟏 + 𝒆
𝟐𝒙
𝒅𝒙 න
𝟎
𝒃
𝒆
𝒙
𝟏 + 𝒆
𝟐𝒙
𝒅𝒙
𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒏 𝒆
𝒙
𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒏 𝒆
𝒙
𝑎
0
0
𝑏
𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒏 𝒆
𝟎
− 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒏 𝒆
𝒂
𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒏 𝒆
𝒃
− 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒏 𝒆
𝟎
𝝅
𝟐
−
𝝅
𝟒
𝝅
𝟒
− 𝟎
𝝅
𝟐
𝒍𝒊𝒎
𝒂→−∞
𝒍𝒊𝒎
𝒃→+∞
𝒍𝒊𝒎
𝒂→−∞
𝒍𝒊𝒎
𝒃→+∞
𝒍𝒊𝒎
𝒂→−∞
𝒍𝒊𝒎
𝒃→+∞
න
−∞
+∞
𝟏
𝒆
𝒙
- 𝒆
−𝒙
𝒅𝒙
න
𝒅𝒖
𝒂
𝟐
- 𝒖
𝟐
=
𝟏
𝒂
𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒏
𝒖
𝒂
න
−∞
+∞
𝟓 𝒅𝒙
𝟏 + 𝒙
𝟐
Calcular la integral
Solución.
Cuando 𝒇 es continua en el intervalo
Caso 3.
Integrales impropias de primera especie
Integrales impropias de segunda especie
Calcular la integral
න
𝟎
𝝅
𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒅𝒙
Solución.
Cuando 𝒇 continua en el intervalo
Caso 1. 𝒃
y 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒃
න
𝟎
𝝅
𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒅𝒙
𝒍𝒊𝒎
𝒃→
𝝅
𝟐
−
න
𝟎
𝒃
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒅𝒙
𝒍𝒊𝒎
𝒃→
𝝅
𝟐
−
𝒍𝒊𝒎
𝒃→
𝝅
𝟐
−
− 2 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝒙
− 2 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝒃 + 2 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝟎
0 + 2
0
𝑏
2
Integración por sustitución algebraica:
න
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒅𝒙 = − 𝟐 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒂
Asíntota vertical
𝒃
Cuando 𝒇 continua en el intervalo ۦ 𝒂, 𝒃ሿ
Integrales impropias de segunda especie
Caso 2.
𝒂
𝒃
𝒕
𝒃
𝒚 = 𝒇(𝒙)
y 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝑿
𝒀
𝒍𝒊𝒎
𝒕→𝒂
−∞
Significado geométrico:
- Si el límite es un número finito, se dice que la integral es convergente
- Si el límite es infinito, se dice que la integral es divergente
- Si el límite no existe, se dice que la integral es oscilante
𝟐
𝟓
Integrales impropias de segunda especie
Calcular la integral
Solución.
Cuando 𝒇 continua en el intervalo ۦ 𝒂, 𝒃ሿ
Caso 2.
y 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
Asíntota vertical
Integrales impropias de segunda especie
Caso 3.
𝒂
𝒃
𝒂
𝒃
𝒄
𝒙 = 𝒄
𝒂
𝒄
𝒄
𝒃
+∞
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑿
𝒀
MPI 2 - Alberto Morales Vargas
+∞
y 𝒍𝒊𝒎
𝒙 → 𝒎
Cuando 𝒇 continua en el intervalo ሾ 𝒇 𝒙 = ∞
Significado geométrico:
- Si el límite es un número finito, se dice que la integral es convergente
- Si el límite es infinito, se dice que la integral es divergente
- Si el límite no existe, se dice que la integral es oscilante