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Capítulo 1
INTEGRALES IMPROPIAS
Si alguna vez he hecho algún descubrimiento valioso, ha sido debido a mi paciente atención, más que a cualquier otro talento. ISAAC NEWTON
1.1. Logro de sesión
Reconocer y resolver ejercicios de integrales impropias usando los criterios para los tipos de primera o segunda especie, además de los metodos de integración.
1.1.1. Integrales impropias
Integral impropia de primera espe- cie:
Las integrales de este tipo son de las formas: ∫ (^) +∞ −∞ f^ (x) dx,^
a f^ (x) dx,^
∫ (^) b −∞ f^ (x) dx siendo f acotada en el intervalo indicado.
De nición. Las integrales mencionadas ante- riormente deben ser reescritas, usando límites para entender su convergencia (es decir, si ob- tenemos algun valor real). Así tenemos: ∫ (^) +∞ a f^ (x) dx^ =^
Lim r → +∞
∫ (^) r a f^ (x) dx
∫ (^) b −∞ f^ (x) dx^ =^
Lim t → −∞
∫ (^) b t f^ (x) dx
∫ (^) +∞ −∞ f^ (x) dx^ =^
Lim t → −∞
∫ (^) c t f^ (x) dx^ + Lim r → ∞
∫ (^) r c f^ (x) dx
Si los límtes existen, decimos que la integral impropia converge.
Ejemplo..
Integrales impropias de segunda es- pecie
Las integrales de este tipo son de la forma: ∫ (^) b a f^ (x) dx siendo x = a o x = b una asintota de la función y = f (x), es decir no es acotada en uno de los extremos.
De nición. La integrales mencionada ante- riormente deben ser reescritas, usando límites para entender su convergencia (es decir, si ob- tenemos algun valor real). Así tenemos:
Si x = b es una asíntota, tenemos ∫ (^) b a f^ (x) dx^ =^
Lim r → b−
∫ (^) r a f^ (x) dx
Si x = a es una asíntota, tenemos ∫ (^) b a f^ (x) dx^ =^
Lim t → a+
∫ (^) b t f^ (x) dx
Si x = a y x = b son asíntotas, y c ∈]a, b[ tenemos ∫ (^) b a f^ (x) dx^ = Lim t → a+
∫ (^) c t f^ (x) dx^ +^
Lim r → b−
∫ (^) r c f^ (x) dx
Si los límites existen, decimos que la inte- gral impropia converge.
Ejemplo..
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2
EJERCICIOS ADICIONALES
- Determine si la siguiente integral es con- vergente o divergente. −∫ 1 −∞
x (1 − x)^2
dx
Solución. :
Respuesta:
- Determinar el valor de la integral, si exis- te: 2 ∫ 1
x^2 + 3x − 4 dx
Solución. :
Respuesta:
- Determinar el valor de la integral, si exis- te: +∞ ∫ 0
x^2 e−^2 x^ dx
Solución. :
Respuesta:
- Determinar el valor de la integral, si exis- te: 1 ∫ −∞
dx x^2 − 4 x + 8 Solución. :
Respuesta:
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2
TAREA DOMICILIARIA
Calcule las siguientes integrales impropias:
+∞ ∫ −∞
xe−x 2 dx
+∞ ∫ 5
dx √ (x − 1)^3
3 ∫ 0
x^3 √ 9 − x^2
dx
0 ∫ −∞
(x + 1)ex^ dx
4 ∫ 2
x^2 √ x^3 − 8
dx
a ∫ 0
dx (a^2 − x^2 )^1 /^2
+∞ ∫ −∞
e−|x|^ dx
- Halle el volumen del sólido que generamos al hacer girar la región que encierran: y =
x
y el eje x, para x > 1. (justi que su respuesta)
- Halle el área que encierran: y =
x y el eje x para x > 1. (justi que su respuesta)
Respuestas:
- Converge a 0.
- Converge a 1
- Converge a 18
- Converge a -
- Converge a 4
- Converge a π/ 2
- Converge a 2
- Si
- No
