¡Descarga La variable aleatoria y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
Capítulo 4 Variable aleatoria Frecuentemente, al realizar un experimento aleatorio nos interesa más que el resultado completo del experimento una. función real de los resultados. Por ejemplo, si el experimento aleatorio consiste en lanzar Lres veces una moneda, podemos estar interesados en determinar el número de caras obtenidas y para ello definimos una función XA que asigna un valor numérico (número de caras) a cada resultado del experimento. De esta manera, sí denotamos por € al suceso “salir cara” y por 4” al suceso “salir cruz”, tenemos por ejemplo que X(C41") =2 0 que X(IEFIE) = 0. Tales funciones, cuyos valores dependen de los resultados de un experimento aleatorio, se llaman variables aleatoris Las variables alcatorias y sus distribuciones de probabilidad, pueden considerarse una gene- ralización del concepto frecuentista de probabilidad. Se introducen como el modelo matemático ideal al que se aproximan las distribuciones de frecuencias que se obtendrían en una repetición indefinida de pruebas de este experimento. Por ello, nos recuerdan a las variables estadíslicas y asus distribucion de frecuencia estudiadas en Estadística Descipliva. Las variable aleatorias se clasifican usualmente de acuerdo con el número de valores que pueden asumir. En este capítulo estudiaremos las variables aleatorias discretas, que sólo pueden adoptar un número finito, o una infinidad contable de valores (número de defectos cn una inspección de productos, número de elementos en espera en una cola, ete.) y las variables alcatorias continuas que surgen cuando tratamos con cantidades que se miden en una escala continua (velocidad de un automóvil, resistencia a la tensión de una nueva aleación, cte.) 4.1 Variable aleatoria unidimensional Sca (Q, A, P) un espacio probabilístico asociado a un experimento alcatorio. Una variable alcatoria (v.a.) X cs una función definida sobre el espacio muestral 2 (conjunto de resultados de un experimento alcatorio) que toma valores en el cuerpo de los números reales. En términos matemáticos precisos, una v.a. unidimensional es ma aplicación X:0> IR tal que Vre IR el conjunto (uen/X(u4)< xr) € A, Ejemplo 4.1 Consideremos el experimento de lanzar dos dados y anotar los números obtenidos en las caras superiores. Entonces el espacio muestral es E =((11),(12), ...,(66)).. Consíde mos la variable aleatoria X' que suma el valor de las puntuaciones obtenidas en los dos dados. X:ES>IR talque X(j)=3+3 siendo (ij) € E por ejemplo, X(11) = 2, X(36) = 9 ó X(66) = 12. Una variable aleatoria puede ser discreta o continua según sca el rango de esta función. En cl ejemplo anterior la variable es dis Sin embargo, una variable que midi Lomar reta, porque sólo toma valores enteros entre 2 y 12. el tiempo que tarda una bombilla en [undirse podría ualquier valor real positivo y en tal caso la variable sería continua. También es posible encontrar variables que son una mezcla entre discretas y continuas, se denominan miz no se considerarán en este tema. 4.2 Función de distribución Sea X una y. siguiente inane . y asociada a ella definimos la función de distribución /": IR > [0.1] de la Mo) =PlueE/X(0)
Fízr,) < Fr). 3. Floo) = Jim F x)=F(oo pres F(o0) = P[X < 00] = P[E] =1. 5. F es contimua por la derecha, es decir, liza Fle+h) = Fl) L h=0- La función de distribución puede ser especialmente útil para calcular probabilidades ¿P(X 10=1-P(A) i=l y si desarrollamos el cuadrado y aplicamos las propiedades de la esperanza. oblenemos: Ejemplo: Calcular la varianza de la variable aleatoría definida. en el ejemplo 4.2. ante es cero. Ejemplo: Probar que la varianza de una v.a.d. (Y = k) que sea consi La desviación típica de una vad. X os la raíz cuadrada positiva de la varianza y viene dada por: 0x=+y0%=+, (a: 0)? P[X =x,] i=1 Ejemplo: Calcular la desviación típica de la variable aleatoria definida en el ejemplo 4.2. 4.3.5 Momentos Dada una v.a.d. XA, se llama momento de orden k respecto del parámetro c a la esperanza matemática de la variable (X — e), es decir 2 Male) = Nte — 0 -P(X = 135) i=l Si c=0 tenemos los momentos respecto al origen que los representamos por me » mp=E[x] = Y ut .P(X=x,) 11 Si c= px tenemos los momentos centrales que los representamos por ¿2 1 = EX — 1)*] = Ni uo) P(X = 25) relaciones entre ellos son análogas a las que «riptiva. Las propiedades de los momentos se determinaron en el Tema 1 de Estadística Des 4.4 Variable aleatoria continua Muchas variables alcatorias que se observan en la vida real no son v.a.d. porque la cantidad de valores que pueden asumir no se pueden contar. Es decir, no toman valores aislados, sino que pueden tomar enalquier valor de un intervalo real de la forma (a, b), (—0c, b), (a, 00), (00,00), o uniones de ellos. A las variables de este tipo las definiremos como variables alcatorias continuas o simplemente v.a.c. Matemáticamente, una variable alcatoria X se dice que es contínua si su función de dis- tribución F(x) correspondiente es continua. Ejemplos: El tiempo de espera en una cola, la durabilidad de un componente electrónico, la velocidad de un automóvil o la resistencia a la tensión de una nueva aleación. En las variables aleatorias contimias hay que observar que la probabilidad de que la variable tome un valor particular es cero, annque sea posible. Por tanto la probabilidad medirá intervalos de ocurrencia. de la variable. Para las definiciones que siguen a continuación, consideraremos una v.a.c. X que toma los valores en el intervalo (—00, 00). 4.4.1 Función de distribución Dada una v.a.c. X, ala función acumulativa Fo) =PX o, “[X]=E [6% 4) ] =/ (2) f(x) de 0 y si desarrollamos cl cuadrado y aplicamos las propiedades de la esperanza obtenemos: V[x] =E [x?] - (E[37P Ejemplo: Calcular la varianza de la variable aleatoría definida. en el ejemplo 4.3. vación típica de una v.a.c. X cs la raíz cuadrada positiva de la varianza y viene dada La « por: ox =+y/0%= o px > H(r) de Ejemplo: Calcular la desviación típica de la variable aleatoria definida en el ejemplo 4.3. 4.4.5 Momentos Dada una v.a.c. X, se llama momento de orden k respecto del parámetro c a la esperanza table (X — e), es decir Mplc) = ] =x a de la vi matemát px), POQS7). Zalcular y representar la función de distribución. 3. Se lanza tres veces una moneda trucada que tiene 2/3 de probabilidad de salir cara (C) y 1/3 de probabilidad de salir cruz (F). Consideramos las siguientes variables alcatorias: A = “mayor número de caras consecutivas obtenidas en los tres lanzamientos”. Y = “número total de caras obtenidas en los tres lanzamientos”. Para cada variable, se pide: a) Calcular y representar la distribución de probabilidad de X. (b) Calcular y representar la función de distribución de X. (c) Calcular la esperanza, la varianza y desviación típica de X. (4) Probabilidad de que salgan a lo sumo dos caras consecutivas. (e) Probabilidad de que salgan al menos dos caras (no necesariamente consecutivas). 4. Distribución Uniforme Discrela. Considerar la v.a.d. E que toma n valores con la misma probabilidad. Calcular la distribución de probabilidad, su media y su varianza. nin +1)(2n + 1 " Nota: para calcular la varianza se necesita saber que $ k?= 6 K=1 5. Distribución de Bernoulli: Encontramos frecuentemente experimentos aleatorios que ad- miten sólo dos posibles resultados excluyentes: - Suceso Á (exito) con probabilidad P(A) =p. - Suceso A” (fracaso) con probabilidad P(A%) =1-p=q. Consideramos la v.a.d. asociada a este experimento que toma el valor 0 cuando ocurre un fracaso y el valor 1 en caso de éxito. Calcular la. media, varianza y desviación típica. de la variable. (0) P(95 35]X' > 1). 10 
