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TEMA 1
ESPACIOS VECTORIALES
CONTENIDO
- La estructura de espacio vectorial sobre un cuerpo Introducción histórica. Definición de espacio vectorial sobre un cuerpo. Consecuencias de la definición: reglas de cálculo en un espacio vectorial. Ejemplos de espacios vectoriales; es- pacio vectorial de matrices nxm, con elementos en un cuerpo.
- Subespacios Definición de subespacio de un espacio vectorial. Ejemplos; subespacios del espacio vecto- rial de matrices nxm. Teorema de caracterización de subespacios. Intersección de subespa- cios. Suma y suma directa de subespacios. Combinaciones lineales de vectores; subespacio engendrado por un sistema de vectores. Teoremas relativos. Interpretación gráfica.
- Dependencia e independencia lineal de vectores Dependencia lineal de vectores: definición e interpretación. Sistemas ligados de vectores: propiedades. Vectores linealmente independientes; propiedades de los sistemas libres. Teo- remas relativos a la dependencia e independencia lineal de vectores. Rango de un sistema de vectores. Interpretación de las propiedades de los determinantes y del concepto de rango de una matriz.
- Base y dimensión de un espacio vectorial Definición de base de un espacio vectorial; consecuencias. Ejemplos. Existencia y determi- nación de bases para espacios vectoriales de tipo finito. Teorema fundamental; dimensión de un espacio vectorial. Dimensión de un subespacio. Coordenadas de un vector en una base. Cambio de base en un espacio vectorial. Orientación en un espacio vectorial.
TRANSPARENCIAS
1. ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
Sea K un cuerpo. Espacio vectorial sobre el cuerpo K es la estructura algebraica definida con un con- junto V y dos operaciones con las siguientes propiedades:
- La primera operación, que se denota con +, es una operación interna en V de modo que (V, +) es un grupo conmutativo.
- La segunda operación es una operación externa con dominio de operadores el cuerpo K: · K × V ⎯⎯⎯→ V con las propiedades: 2.a) a · (u+v) = a · u + a · v 2.b) (a+b) · v = a · v + b · v 2.c) a · (b · v) = (a·b) · v 2.d) 1 · v = v donde u y v son elementos cualesquiera de V, a y b son elementos cualesquiera de K y 1 es el uno del cuerpo K Si (V, +, · ) es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, a los elementos del conjunto V se les llama vectores y a los de K, escalares.
Sea (V, +, · ) un espacio vectorial sobre el cuerpo K y U un subconjunto de V. Si al hacer la restricción a U de las operaciones de V, resulta que (U, +, ·) es un es- pacio vectorial sobre K, se dice que (U, +, ·) es un subespacio de (V, +, ·), o, simplemente, U es subespacio de V.
Teorema. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K y U un subconjunto de V: U es subespacio de V ⇔ 1) u – v ∈ V, ∀u, v∈ V
- a·v ∈ V , ∀v∈ V, ∀a∈ K
3. COMBINACIONES LINEALES DE VECTORES
Sea K un cuerpo, V un espacio vectorial sobre K y S = {v 1 , v 2 , ..., vp} un sistema no vacio y finito de vectores de V.
DEFINICIÓN Una combinación lineal de vectores de S es un vector de V , resultado de calcular a 1 ·v 1 + a 2 ·v 2 + · · · + ap·vp, donde a 1 , a 2 ,... , ap ∈ K. El conjunto de todos los vectores de V que son combinación lineal de los de S será denotado con 〈 S 〉 = 〈 v 1 , v 2 , ..., vp 〉 = { a 1 ·v 1 + a 2 ·v 2 + · · · + ap·vp ⏐ a 1 , a 2 ,... , ap ∈ K }.
PROPIEDADES:
- 0 ∈ 〈 S 〉
- S ⊂ 〈 S 〉
- 〈 S 〉 es un subespacio de V.
- 〈 S 〉 es el menor subespacio de V que contiene a S.
TEOREMA Sean S = {v 1 , v 2 , ..., vp} y T = {u 1 , u 2 , ..., us} dos sistemas de vectores de V:
〈 S 〉 = 〈 T 〉 ⇔ vi ∈ 〈 T 〉 , ∀ i = 1,2 ,…,p y tambien uj ∈ 〈 S 〉 , ∀ j = 1,2 ,…,s.
4. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES
Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K y S = {v 1 , v 2 , ..., vp} un sistema de p vectores de V, p ≥ 1.
DEFINICIÓN:
Los vectores v 1 , v 2 , ..., vp son linealmente dependientes ⇔
⇔ ∃ a 1 , a 2 ,... , ap ∈K, no todos cero, tales que a 1 ·v 1 + a 2 ·v 2 + · · · + ap·vp = 0.
En ese caso, de S se dice que es un sistema ligado. DEFINICIÓN :
Los vectores v 1 , v 2 , ..., vp son linealmente independientes ⇔
⇔ ( a 1 ·v 1 + · · · + ap·vp =0 ⇒ a 1 = a 2 = · · · = ap = 0 ).
En ese caso, de S se dice que es un sistema libre.
PROPIEDADES:
- 0 ∈ S ⇒ S es ligado
- Si S es ligado, el sistema que resulta al añadir vectores a S, tambien es ligado.
- Si S es ligado, uno, al menos, de los vectores de S es combinación lineal de los de- más.
- Reciprocamente: si uno de los vectores de S es combinación lineal de los otros, en- tonces S es ligado.
- S es ligado si y sólo si existe un subconjunto propio de S que genera el mismo sub- espacio
6. S libre ⇒ vi ≠ 0, ∀ vi∈ S
- S libre y S’ ⊂ S ⇒ S’ libre
- S libre ⇒ cada vector de 〈 S 〉 puede escribirse de una única manera como combina- ción lineal de los de S.
- Si S es libre y S ∪ {v} es ligado, entonces v ∈ 〈 S 〉
10. Si S ≠ {0} , ∃ S 0 ⊂ S ⏐ S 0 es libre y genera el mismo subespacio que S.
TEOREMA: Si T = {u 1 , u 2 , ..., ur} es un sistema libre de vectores de V y S = {v 1 , v 2 , ..., vp} un sis- tema de generadores de V, entonces r ≤ p.
