Vista previa parcial del texto
¡Descarga Matemáticas 02 2012 y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Matemátiques l. Graus en ECONOMIA, ADE, ADE+DRET Examen final. 17 de gener de 2013. Problema 1. Considera la funció Ha) = 0 ES In(:) siz>0 a) Determinar el seu domini. b) Estudiar la seva continuitat i diferenciabilitat en = = 0. c) Identificar els punts crítics, d) Identificar les zones de concavitat i convexitat. e) Estudiar si els punts crítics són máxims, mínims o punts d'inflexió. f) Identifica les asímptotes horitzontals i verticals. 2) Representa gráficament la funció, h) Calcular la derivada de g(x) = aplicant la definició de derivada. 1 +22 Solució | a) El domini de la funció són tots els reals, D¡=R. b) Continuitat de f(w) en z =0: lim f(x) =1, lim = —>00 Pr 01 Per tant la funció és discontinua a z = 0. Aquesta discontinuitat im- Plica que tampoc será diferenciable a x = 0. e) Punts crítics: of —21-2 siz<( dr 1 siu>0 E per tant, zu =0ax =-—1, Note cap altra punt crític. d) Zones de concavitat i convexitat. ye | Da els punts on está definida. Atés que en x = 0 la segona derivada no | existeix, la funció f(x) és cóncava a (—oc, 0) U (0, 00). 2 Notem que H£ < 0, Va. Per tant, la funció f(x) és cóncava en tots e) En el punt crític x = —1, hem vist que pel < 0, Per tant, la funció hi Dx te un máxim. f) Asímptotes. e Horitzontals = liMo-3-=00 (7) — lima-++00 /(1) = 00 Per tant no hi ha cap asímptota horitzontal. e Verticals - limo 30- f (1) = 00 = limy jo0- Ha) =1 Per tant hi ha una asímptota vertical a —oo quan x + 0%. 2) Representa gráficament la funció. Figure 1: La funció f(x) e b) La funció de benficis está definida en el conjunt compacte [0,60]. A més és una funció continua sobre cl seu domini, per tant el teorema de Weierstrass ens diu que la funció II(q) te máxim (i mínim). c) La condició de primer ordre per a identificar el máxim de la funció de beneficis és: mí di — =92-—6 =0=> q = 46/3 da El q / Per a verificar si aquest volum de producció és un máxim, calculem la condició de segon ordre: Pr de 6<0 Per tant, efectivament, el volum de producció maximitzador de benefici és q* =46/3. Problema 3. Considerem un mercat descrit per les segiients funcions d'oferta i de de- manda: D(a) = 50 — 0.1q, S(a) = 20 + 0.29 a) Trobar el preu d*equilibri del mercat, p* b) Calcular l'excedent del consumidor a p”, calculant la integral correspo- nent. €) Calcular Pexcedent del productor a p*, calculant la integral correspo- nent. Solució a) El preu d'equilibri del mercat, p*, el calculem a partir de la solució de Pequació D(g) = S(q). Es a dir, 50 — 0.1q =20 +0.2q 0.3q = 30 q” =100 Per tant, substituint be a la funció d oferta, o a la de demanda obtenim p*=40 (b) L'excedent del consumidor és 'Area delimitada per la funció de de- manda i el preu d'equilibri. En conseqiéncia, 100 cs=/ Dd) —p*)dq= | (20-») 100 = / (50 — 0.19 — 40)dq = 0 100 = / (10 — 0.1q)dq = JU 0.1 . ¡100 2 Pl, = ((10(100) %2(100)) - = (1000 — 500) = 500. = (10q — (c) Lexcedent del productor és "área delimitada per la funció de oferta i el preu d'equilibri. En consegiiéncia, PS= OS - sg) dq = p100 E / (40 — 20 — 0.29)dq = 0 100 =/ (20 — 0.29) dq = 24 Figure 2: Lexcedent del consumidor i del productor 
