MATEMÁTICAS I – Grado en Economía. Grupo 211
6 de noviembre 2017.
1
er
Apellido …………………………….. 2º Apellido……………………………….…… Nombre………………….
Nota: Para alcanzar la máxima puntuación todas las preguntas deben ir correctamente
razonadas y desarrolladas.
1. (15 puntos) Sean las matrices
− −
=
−
−
2 3 0 2
2 1 1 1
2 1 2 2
0 1 3 1
A y
−
=
−
1 0 0 0
1 1 0 0
1 2 2 0
3 2 4 1
B. Calcula
A
y
B
.
2. (23 puntos)
Los valores propios de una cierta matriz A
∈ ×
( )
M n n
diagonalizable son las
raíces del polinomio característico
5 4 3 2
5( )
5 4 4
P
λ λ λ λ λ λ
+ − − + +
=
.
a)
Determina los valores propios y su multiplicidad.
b)
Determina la dimensión n de la matriz y
( )
Rg A
.
c)
Calcula, si es posible,
−
1
A
y
−
−
1
1
2
A
.
d)
Calcula los valores propios de A
2
y su multiplicidad.
3. (22 puntos)
Sea
=
1 1 0
200
1 1 2
A
a)
Calcula valores y vectores propios de A.
b)
¿Es A diagonalizable? En caso afirmativo calcula una matriz semejante diagonal D y
una matriz P tal que
1
.
−
=
D P AP
c)
¿Existe algún valor del parámetro a para que (3,-6,a) sea vector propio de A?
4. (15 puntos)
Sea
∈ ×
(3 3)
A M
la matriz asociada a una forma cuadrática Q(
x
). De A se
sabe que es una matriz simétrica, singular (no regular) y que
=
( ) 6
traza A
. Además, se
verifica que
= −
2
Ax x
. Determina el signo de la forma cuadrática y una expresión
diagonal para Q.
5. (25 puntos)
Considera la forma cuadrática Q(
x
) de matriz asociada
− −
= − −
− −
1 0 2
0 1 1
2 1 1
A
a)
Clasifica Q según su signo.
b)
¿La forma cuadrática Q admite la expresión = − −
ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
2 2 2
( , , ) 2 2 5 ?
Q x y z x y z
c)
Estudia el signo de Q restringida
{
}
3
( , , ) 0
S x y z z= ∈ =ℝ
.
d)
Estudia el signo de Q restringida
{
}
= ∈ + = + =ℝ
3
( , , ) 2 0, 0
S x y z x z y z
.