¡Descarga Matemáticas 06 2016 y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
MATEMÀTIQUES I GADE Grup D Model A 30/11/
COGNOMS:_____________________________________________NOM:____________________________________
1. Donada la funció f( , x y z , ) = z + exy a) Calcula la diferencial en el punt (1, 0, 1).
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3
d f( , , )( , , ) 1 ;
d f(1,0,1)( , , ) (1,0,1) (1,0,1) (1,0,1) 0 1 1 ;
x y z h h h f^ h f^ h f h ye xy^ h xe xyh h x y z h h h f^ h f^ h f h h h h h h x y z
= ∂^ + ∂^ + ∂ = + +
= ∂^ ⋅ + ∂^ ⋅ + ∂ ⋅ = + + = +
b) Calcula el valor de la funció en el punt (0.9, -0.1, 1.2) de forma aproximada mitjançant la diferencial.
f(0.9,-0.1,1.2) f(1,0,1)+d f(1,0,1)( 0.1,− −0.1,0.2) = 1 + e^ 1 0 ⋅ + 0 ( 0.1)⋅ − + 1 ( 0.1)⋅ − +1 0.2 ⋅ =2.
c) Calcula les direccions de màxim creixement, de màxim decreixement i de creixement nul de la funció en el punt (1, 0, 1).
2 2 2
2 2 2
1 2 3 1 2 3 2 3 2
DMC(1,0,1)= (1,0,1)^ = (0,1,1)^ (0, 1 , 1 )
DMD(1,0,1)=- (1,0,1)^ =- (0,1,1)^ (0, 1 , 1 )
DCN(1,0,1) d f(1,0,1)( , , ) (1,0,1) (1,0,1) (1,0,1) 0
f f f f h h h f^ h f^ h f h h h h x y z
= = ∂^ ⋅ + ∂^ ⋅ + ∂ ⋅ = + = ⇒
= − h
d) Si x = − 2 u + 1; y = u z ; = 3ln(u + v ) + 1 , calcula les derivades parcials de la funció composta mitjançant la regla de la cadena.
xy xy u u u u u u u u
x u f y u z u v f f dx f dy f z (^) ye xe ue ue e e u u x du y du z u u v u v u v f f z v z v u v
− + − + − + − +
2. Donada la equació F( , x y z , ) = x^2 + y^2 + z^2 = 14 , a) Comprova que existeix la funció implícita z = f( , x y ) al voltant del punt ( , x y z , ) = (1, 2,3).
Teorema de la funció implícita
- F és de classe C 1 perquè:
a) Existeixen les derivades parcials en el punt: (^ F^ (1, 2,3) 2; F^ (1, 2,3) 4; F (1, 2,3) 6 x y z
) b) Les derivades parcials son contínues (són polinomis).
-^ F (1, 2,3) 6 0 z
Per tant existeix la funció implícita z=f(x,y) al voltant del punt (x,y,z)=(1,2,3).
b) Calcula les derivades parcials de z en el punt (1, 2, 3).
F
z (^) x x z x F z x z
F z (^) y y z y F z y z
c) Si F són els beneficis de fabricar un producte i x, y, z són els factors de producció, interpreta^ z (1, 2) x
.
z x
Per cada unitat que s’incrementa el factor de producció x, el factor de producció z disminueix en
1/3, a partir d’un valor inicial dels factor de producció de (x,y,z)=(1,2,3) i per obtenir un benefici de 14 (F(x,y,z)=14).
3. La demanda d’un producte és D p ( 1 (^) , p 2 (^) ) = 300 − 20 p 1^2 + 30 p 2 ón p 1 és el preu unitari del producte i p 2 és el preu unitari del producte de la competència. Si els preus varien amb el temps segons p 1 (^) = 2 + 0.05 t i p 2 (^) = 2 + 0.1 t , on t es mesura en mesos, dins de 4 mesos:
A) La demanda augmentarà,
B) La demanda disminuirà,
C) La demanda romandrà constant.
D) Amb aquestes dades no es pot saber com variarà la demanda.
Raona la teua resposta.
1 2 (^1 ) 1 2 1 2 1 2 1 2
p (^) t D p t dD D dp D dp (^) p dt p dt p dt p p dD D dp D dp dt p dt p dt
= ∂^ ⋅ + ∂ ⋅ = − + ⋅
= ∂^ ⋅ + ∂ ⋅ = − <
Per tant la resposta correcta és la B, la demanda disminuirà.
Per tant existeix la funció implícita z=f(x,y) al voltant del punt (x,y,z)=(1,2,3).
Nota: En aquest exercici n’hi ha una errata, perquè el F(1,2,3)≠20 i deuria ser 20. De tota manera això no afecta a la resolució de l’exercici.
b) Calcula les derivades parcials de (^) x en el punt (1, 2, 3).
F
x y y x y F x y x
F x (^) z z x z F x z x
c) Si F són els beneficis de fabricar un producte i x, y, z són els factors de producció, interpreta^ x (2,3) z
.
x (2,3) 3; z
Per cada unitat que s’incrementa el factor de producció z, el factor de producció x disminueix en 3,
a partir d’un valor inicial dels factor de producció de (x,y,z)=(1,2,3) i per obtenir un benefici de 20 (F(x,y,z)=20).
Nota: En aquest exercici n’hi ha una errata, perquè el F(1,2,3)≠20 i deuria ser 20. De tota manera això no afecta a la resolució de l’exercici.
- Enuncia una condició suficient de diferenciabilitat i una condició necessària de diferenciabilitat.
Condició suficient:
Si f és de classe C 1 en el punt (existeixen les derivades parcials de primer ordre en el punt i les derivades són contínues) aleshores f és diferenciable en p.
Condició necessària: (només calia escriure 1).
Si f és diferenciable en el punt aleshores la funció és contínua en el punt.
O
Si f és diferenciable en el punt aleshores existeixen les derivades parcials de primer ordre en el punt.
