Dpt. Estad´ıstica i Investigaci´o Operativa 21/01/2016
Examen de Programaci´o Matem`atica
1. Dado el problema:
Min x3+x4+x5
s.a.: x1−x3+x4−x5=−2
x2−x3+x5= 1
x1, x2, x3, x4, x5≥0
cuya tabla ´optima es:
x1x2x3x4x5rhs
z-1 0 0 -2 0 2
x3-1 0 1 -1 1 2
x2-1 1 0 -1 2 3
Contestar a las siguientes preguntas:
a) ¿Existen soluciones ´optimas alternativas? En caso afirmativo encontrar una soluci´on po-
sible b´asica ´optima alternativa.
b) Escribir el dual del problema. Sin necesidad de resolverlo encontrar la soluci´on dual ´optima.
c) Partiendo de la soluci´on actual calcular la nueva soluci´on ´optima si cambiamos b2= 1 por
b0
2=−3.
d) Considerando otra vez el problema original, suponer que hay una nueva variable x6con
una columna asociada a6= (−2,−2)tyc6= 1. ¿Cambia la soluci´on ´optima? En caso
afirmativo calcularla.
e) Considerando otra vez el problema original, ¿es posible que cambiando uno de los costes
el problema sea no acotado? En caso afirmativo, explicar c´omo.
2. a) Considerar el problema de Programaci´on Lineal: (P) Max{cx:Ax ≤b, x ≥0}. Sea x∗
la soluci´on ´optima de (P) y supongamos que x∗no cumple con igualdad la restricci´on
aix≤bi. Demostrar que x∗es tambi´en la soluci´on optima del problema que resulta
de eliminar de (P) la restricci´on aix≤bi.Sugerencia: utilizar el teorema de holgura
complementaria.
b) Demostrar con un contraejemplo que esta propiedad no se cumple en un Problema Lineal
Entero. Sugerencia. Utilizar un ejemplo adecuado del Problema de la Mochila.
3. Una empresa qu´ımica tiene 4 f´abricas para fabricar un cierto producto qu´ımico en su forma
bruta. A la compa˜n´ıa le gustar´ıa incorporar al negocio el refinamiento qu´ımico de su producto
para lo que va a construir varias refiner´ıas a las que enviar´ıa el producto bruto de todas las
f´abricas. Tiene identificados tres posibles lugares para las refiner´ıas. La tabla 1 contiene para
cada lugar el coste fijo en euros (coste de mantenimiento anual) y el n´umero de toneladas de
producto que podr´ıa refinar semanalmente (capacidad). La tabla 1 contiene tambi´en para cada
f´abrica la producci´on semanal en toneladas. Finalmente, la tabla 1 contiene el coste en euros de
transportar semanalmente la producci´on desde cada f´abrica a cada posible lugar. La empresa
tiene que decidir los lugares donde instalar las refiner´ıas y a qu´e refiner´ıa ir´a la producci´on de
cada f´abrica de forma que se minimice el coste total anual (considerar un a˜no de 52 semanas).
Formular (sin resolver) un PLE para este problema.
