Matrices Invertibles Aplicación
Matrices invertibles
Profesores del curso:
Richard Acuña 1
Jhony Valverde 1
Ángel Ramírez 1
Clifford Torres 1
1Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, Perú
09/06/2020
Periodo 2020-1 Profesores del curso
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Matrices Invertibles: Concepto, Propiedades y Aplicaciones, Diapositivas de Álgebra Lineal
Documento sobre matrices invertibles, su definición, propiedades, cómo calcularlas y su aplicación en criptografía. Contiene ejemplos y ejercicios resueltos.
Tipo: Diapositivas
2021/2022
1 / 22
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Matrices invertibles
Profesores del curso: Richard Acuña 1 Jhony Valverde 1 Ángel Ramírez 1 Clifford Torres 1
(^1) Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, Perú
Tabla de contenidos
(^1) Matrices Invertibles Unicidad Relación entre el rango de una matriz y su inversa Cálculo de la inversa de una matriz Propiedades de las matrices invertibles Matriz ortogonal
(^2) Aplicación
Ejemplo 1: Determine la inversa de las siguientes matrices, si existen.
X =
, Y =
, Z =
Resolución: Se puede probar facilmente,
si A =
a b c d
, entonces su inversa es B = ( (^) ad^1 −bc )
d −b −c a
donde ad − bc 6 = 0.
Así tendremos
X =
, Y =
y Z no posee inversa.
Unicidad
Teorema 1 Sea A es una matriz n × n. Si B es una inversa de A y C es otra inversa de A entonces B = C.
Demostración : Como B es inversa de A, entonces BA = I, de esto BAC = IC, pero C es inversa de A, así BI = C, luego B = C. Es decir, si la inversa de una matriz existe, esta es única.
Notación: Por el teorema anterior como a lo sumo hay una matriz inversa, se denotará B = A−^1 si B es la inversa de A. Es decir, A−^1 es la única matriz tal que
AA−^1 = A−^1 A = In.
Relación entre el rango de una matriz y su inversa
Este resultado, es presentado en el siguiente teorema
Teorema 2 (Criterio de la invertibilidad de una matriz cuadrada en términos de su rango)
Sea An×n una matriz invertible. Entonces
A es invertible si y solo si rg(A) = n.
Ejemplo 2: Dadas las matrices
X =
, Y =
, Z =
Haciendo uso del Teorema 2, diga si las siguientes matrices son invertibles.
Cálculo de la inversa de una matriz
Teorema 3 Si An×n es una matriz invertible entonces es equivalente por filas a la matriz In, es decir, existe F = F 1 F 2 · · · Fp donde p ∈ N y Fi es una matriz elemental fila para todo i = 1 , · · · p; tal que
FA = (Fp · · · F 2 F 1 )A = In.
Cálculo de la inversa de una matriz
Dada la matriz invertible An×n, satisface
Rango máximo (Teorema 2), es decir, rg(A) = n. Equivalente por filas a la matriz identidad (Teorema 3), es decir,
Af = FA = (Fp · · · F 2 F 1 )A = In donde cada Fi es una matriz elemental fila.
Estos dos puntos nos proporcionan el siguiente algoritmo para calcular la inversa de una matriz An×n.
Cálculo de la inversa de una matriz
Algoritmo para el cálculo de la matriz inversa
- Construir el bloque matricial (An×n|In).
- Aplicar operaciones elementales fila sobre la matriz (An×n|In) hasta que ésta sea equivalente por filas a la matriz (Af |F ), es decir, (An×n|In) ∼ (Af |F ).
- Si Af = In, entonces A es invertible y A−^1 = F.
- Si Af 6 = In, entonces A no es invertible.
Cálculo de la inversa de una matriz
f 3 − 2 f 2 −−−−−→ F 32 (− 2 )
( 1 / 2 )f 2 −−−−→ F 2 ( 1 / 2 )
( 1 / 5 )f 3 −−−−→ F 3 ( 1 / 5 )
f 1 −f 3 −−−−−→ F 13 (− 1 )
Cálculo de la inversa de una matriz
f 2 +( 3 / 2 )f 3 −−−−−−→ F 23 ( 3 / 2 )
= (I|Y −^1 )
Observación:
E 23 ( 3 / 2 )E 13 (− 1 )E 3 ( 1 / 5 )E 2 ( 1 / 2 )E 32 (− 2 )E 31 (− 2 )E 21 (− 3 )E 13 Y = I
Propiedades de las matrices invertibles
Ejemplo 7: Resuelva la siguiente ecuación matricial para encontrar X (suponga que las matrices involucradas son tales que todas las operaciones indicadas están definidas): A−^1 (BX )−^1 = (A−^1 B^3 )^2.
Ejemplo 8: Proporcione un contraejemplo para demostrar que en general (A + B)−^1 6 = A−^1 + B−^1.
Ejemplo 9: Let the square matrices A, B and A + B are invertible. Show that A−^1 + B−^1 is invertible, and
(A−^1 + B−^1 )−^1 = A(A + B)−^1 B = B(A + B)−^1 A.
Ejemplo 10: Let An×n, Bn×n. Show that if B is invertible, then
traza(B−^1 AB) = traza(A).
Matriz ortogonal
Definition 2 (Matriz ortogonal)
Una matriz Qn×n se llama ortogonal si Q es invertible y
Q−^1 = QT^.
Ejemplo 11: Let A be a skew-symmetric matrix and I − A is invertible. Show that the matrix B = (I + A)(I − A)−^1 is orthogonal.
Ejemplo 12: Let A, B be real square matrices, and let the matrix P be orthogonal and B = P−^1 AP. Show that tr (At^ A) = tr (Bt^ B).
Ejemplo 13: Let W 1 ×n matrix (row vector) such that WW t^ = 1. The n × n matrix H = I − 2 W t^ W is called a Householder matrix. Show that H is symmetric and orthogonal.
Conceptos básicos de Criptografía
Criptografía: Se ocupa del diseño de algoritmos para la segura de mensajes.
En criptografía clásica, El cifrado de Hill fue inventado, basándose en el álgebra lineal, por el matemático norteamericano Lester S. Hill en 1929, y aparece explicado en su artículo Cryptography in an Algebraic Alphabet, publicado en The American Mathematical Monthly.
Conceptos básicos de Criptografía
Expliquemos en qué consiste el cifrado de Hill. En primer lugar, se asocia cada letra del alfabeto con un número. La forma más sencilla de hacerlo es con la asociación natural ordenada, aunque podrían realizarse otras asociaciones diferentes. Además, en este ejemplo solamente vamos a utilizar las 27 letras del alfabeto, pero también podrían añadirse otros símbolos usuales, como el espacio en blanco “_”, el punto “.” o la coma “,”, la interrogación “?”, las 10 cifras básicas, etcétera.
a = 1 g = 7 m=13 r =19 x = 25 b = 2 h = 8 n=14 s= 20 y = 26 c = 3 i = 9 ñ =15 t = 21 z = 27