Método Simplex, ejercicios para práctica, Apuntes de Investigación de Operaciones

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2.2 PROGRAMACION LINEAL:

METODOS DE SOLUCION

1. METODO GRAFICO

2. METODO SIMPLEX - ALGEBRAICO

3. METODO SIMPLEX - TABULAR

4. METODO SIMPLEX - MATRICIAL

2.2.1 METODO GRAFICO

( modelos con 2 variables )

1. TRAZAR EN UN PLANO LAS RESTRICCIONES
2. IDENTIFICAR LA REGION FACTIBLE
3. TRAZAR LA DIRECCIóN DE MAX ASCENSO
4. IDENTIFICAR EL PUNTO OPTIMO NOTAS:

• En modelos con 2 variables:- Una restricción de exacta igualdad se representa por una recta
  • Una restricción “mayor igual” ó “menor igual” divide el espacio desoluciones en dos semiplanos
• La Región factible restricciones es el conjunto de puntos que satisfacen todas las
• Los Vértices ocurren en la intersección de 2 ó mas restricciones
• Los Vértices siempre estan localizados en la frontera de la region factible
• Toda función lineal f(x 1 ,x2,.. .) se puede expresar como el producto escalar del vector de coeficientes c = (c 1 , c 2 , … ) y el vector de variables de

decisión x = (x 1 , x 2 , … ). Es decir f(x 1 ,x 2 ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 = c ⋅ x

• Ladel vector dirección de max ascenso c sobre la función objetivo f es la dirección
• El punto óptimo tiene la mayor proyección sobre el vector es aquel en la región factible asociado con el vector que c.
• De existir, una solucion óptima de un modelo de PL siempre ocurre en un vértice de la región factible.

Modelo en forma estándar Máx sa. X 1 + 2X 2 4X 1 + 2X 2 + S 1 = 16 3X 1 + 3X 2 - S 2 = 18 X 2 - S 3 = 3 X 1 , X 2 , S 1 , S 2 ,S 3 ≥ 0 ß La solución básica de un sistema de ecuaciones lineales de n por m , si existe, es una solución en la que se forza a que (n-m) variables tomenvalor igual a cero.

ß A las (n-m) variables forzadas a tomar valor igual a cero se les llama variables no básicas. ß El valor de las variables restantes resulta de resolver el sistema de ß ecuaciones lineales. A estas variables se les llamaEl máximo número de soluciones BASICAS es igual al número de^ variables básicas. parejas que se pueden formar con 5 variables:  25 = 2 !( 55 −! 2 )!=^10

Solución Variables Función objetivo Z Básica No. 1 X (^1) 0 X (^2) 0 S 1 S 2 S (^3) No factible 23 (^00 ) 45 0 0 0 0 No factibleNo factible 67 00 0 0 No factibleNo factible 89 (^00 00) No factible 10 0 0 No factible

2.2.2 ANÁLISIS POSTERIOR A LA RESOLUCIÓN

Una vez resuelto un modelo de PL se debe distinguir entre:

RESTRICCIONES ACTIVAS Son aquellas que se cumplen con exacta igualdad en la solución óptima

RESTRICCIONES INACTIVAS Son aquellas que tiene holgura o excedente

Las restricciones activas son las que impiden el obtener una solución mejorque la solución óptima ya encontrada

RESTRICCIONES REDUNDANTES

Son aquellas que de no estar presentes en el modelo, no modificarían la región factible ni la solución óptima.

2.2.3 CASOS ESPECIALES

1. MULTIPLES OPTIMOS (óptimos alternos) Una restricción es paralela a la función objetivo Máx -3X 1 + 6X 2 sa. 5X 1 + 7X 2 ≤ 35 -X 1 + 2X 2 ≤ 2 X 1 , X 2 ≥ 0
2. SOLUCION OPTIMA ILIMITADA (no acotada) La región factible se extiende sin límites en alguna dirección Máx 2X 1 + X 2 sa. X 1 - X 2 ≤ 10 2X 1 - X 2 ≤ 40 X 1 , X 2 ≥ 0 (y si la función objetivo fuese Máx 2X 1 - 1.5 X 2? )
3. NO EXISTE SOLUCION (inconsistencia) No existe región factible Máx 3X 1 + 2X 2 sa. 2X 1 + X 2 ≤ 2 3X 1 + 4X 2 ≥ 12 X 1 , X 2 ≥ 0

2.2.4 ANÁLISIS GRÁFICO

Sea la restricción : a 1 x 1 + a 2 x 2 ≤ b

que se puede escribir como: x 2 ≤ (^) ab 2 - (^) aa^12 x 1

y graficar como: X 2 b a 2

b a 1 X^1

Del gráfico se puede concluir que:

1. Si únicamente cambia el valor de b la recta se mueve paralelamente
2. Si sólo cambia el valor a 2 la recta rota girando alrededor de ba 1
3. Si sólo cambia el valor a 1 la recta rota girando alrededor de (^) ab 2

2.2.5 FORMA ESTANDARD

(Se usa para resolver un modelo por medio del algoritmo Simplex)

• Todas las variables son NO negativas
• Los elementos del lado derecho de cada restricción son No negativos Si el lado derecho es negativo debe multiplicarse toda la restricción por (-1) invirtiendo el sentido de la desigualdad
• Todas las restricciones se convierten a ecuaciones, agregando variables deholgura ó de excedente (excepto las restricciones de No negatividad)

Si la restricción es del tipo ≤ se debe sumar una

variable de holgura al lado izquierdo de la restricción

Si la restricción es del tipo ≥ se debe restar una

variable de excedente al lado izquierdo de la restricción

EJEMPLO Modelo Original Modelo en Forma Estándar Min Z = 5x 1 + 2x 2 - x 3 Min Z = 5x 1 - 2x 2 - x 3 + 0s 1 + 0 s 2 + 0s 3 sujeto a sujeto a -x 1 + x 2 - x 3 ≤ 16 -x 1 - x 2 - x 3 + s 1 = 16 2x 1 - 2x 3 ≥ 30 2x 1 - 2x 3 -s 2 = 30 8 x^1 + 2x^2 ≥^ -8^ -x^1 + 2x^2 +s^3 =

x 1 , x 3 ≥ 0 x 2 ≤ 0 x 1 , x2 , x 3 , s 1 , s 2 , s 3 ≥ 0 El convertir el modelo a forma estándar aumenta el número de variables, manteniendo el número de restricciones.

EJEMPLO

Máx Z = 18.5x 1 + 20 x 2 sujeto a 0.05x 1 + 0.05 x 2 ≤ 1100 0.05x 1 + 0.10 x 2 ≤ 1800 0.10x 1 + 0.05 x 2 ≤ 2000 x 1 , x 2 ≥ 0 este modelo tieney n = 2m = 3 variables de decisiónrestricciones (sin considerar las de no negatividad)

Este modelo convertido a forma estándar es:

sujeto a Máx Z = 18.5x^1 + 20x^2 + 0s^1 + 0s^2 + 0s^3 0.05x0.05x 1 + 0.05 x 2 + s 1 = 1100 0.10x^11 + 0.10 x+ 0.05 x^22 +s^2 +s 3 = 1800= 2000 x 1 , x 2 , s 1 , s 2 , s 3 ≥ 0 ahora el modelo tieney n = 5m = 3 variablesrestricciones

Forma matricial de las restricciones del modelo en forma estándar:

0.050.05 0.05 10.10 0 01 00 XX 1 1100 0.10 0.05 0 0 1 S 12 =^18002000 3x5 S 2 3x S (^3) 5x

DEFINICIONLa solución básica de un sistema de ecuaciones lineales de n por m existe si al eliminar (n-m) variables el sistema resultante de m por m es consistente. Esta definición indica que al forzar a que (n-m) variables tomen valor igual a cero puede ocurrirque las m ecuaciones lineales resulten en un sistema sin solución (inconsistente).

Por ejemplo en el siguiente sistema 2x3x 11 + 4 x+ 6 x 22 + 3x+ 3x 33 = 8= 17

si se consideran variable no basica a la variable xtiene solución. 3 entonces el sistema resultante mostrado no 2x3x 11 + 4 x+ 6 x 22 = 8= 17

DEFINICIONLa solución básica de un sistema de ecuaciones lineales de n por m se dice factible (y se denota por SBF) si todas las variables toman valor no negativo. En nuestro ejemplo: n-m = 5 - 3 = 2 variables SS 23 = 0= 0 (^) ⇒ XX 12 = 14,666.66= 10,666.66 Esta es una Solucion BASICA No Factible S 1 = - 166. Si:X 2 = 0 X 1 = 20, S 3 = 0 ⇒ S S 21 == 800100 Esta es una Solución BASICA Factible

Se llama BASE al conjunto de VARIABLES BASICAS. PROPOSICIONCada SBF de un modelo de programación lineal corresponde a un punto extremo de su región factible. Por tanto la solución optima de un modelo de programación lineal, si existe y no es ilimitada,correponde a una solución básica factible. En otras palabras, cada SOLUCION BASICA FACTIBLE representa un vértice de la región factible.

En el ejemplo, el máximo número de soluciones BASICAS es igual al número de parejas quese pueden formar con 5 variables:

 25 = 2 !( 55 −! 2 )!=^10 En general, el máximo número de soluciones BASICAS es igual al número de conjuntos de elementos, que se pueden formar con n variables, es decir m

 mn = m !( nn −! m )!

EJEMPLO

Considere el siguiente modelo de PL

Máx Z= 5x 1 -6x 2 +3x 3 -5x 4 +12x 5 sujeto a x 1 + 3x 2 + 5x 3 +6x 4 +3x 5 ≤ 90 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0

a) Cuántas varibales básicas tiene? b) Cuántas soluciones básicas existen? c) Cuáles son las soluciones básicas? d) Cuál es la solución óptima?

Modelo en Forma Estándar

Máx Z= 5x 1 -6x 2 +3x 3 -5x 4 +12x 5 + 0 s sujeto a x 1 + 3x 2 + 5x 3 +6x 4 +3x 5 + s = 90 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , s ≥ 0

a) Cuántas variables básicas tiene? m = 1 variable básica

b) Cuántas soluciones básicas existen ?básicas Cmn^ = C 16 = 6 soluciones

c) Cuáles son las soluciones básicas?

Sol.Bas (^) X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 S Z 1 90 0 0 0 0 0 450 2 0 30 0 0 0 0 - 3 0 0 16 0 0 0 90 4 0 0 0 15 0 0 - 5 0 0 0 0 30 0 360 6 0 0 0 0 0 90 0

2.2.6.1 METODO SIMPLEX -ALGEBRAICO

PROCEDIMIENTO

1. Encontrar una Solucion Basica Factible inicialExpresando el modelo en forma estándar identificando las columnas de una matriz identidad de m x m.
2. Expresar las variables basicas y la funcion objetivo en funcion de las variables No basicas
3. Verificar Optimalidad La solución es óptima si: La función objetivo no puede mejorar de valor al incrementarel valor de cualquiera de las Variables No Basicas
4. Identificar Nuevas variables básica y No básica Nueva VB : la VNB que mejora más la función objetivo. Nueva VNB: la VB que se hace igual a 0 al tomar la nueva VB el máximo valor posible.
5. Regresar al paso 2.

EJEMPLO

En forma original: En Forma estándar: Máx Z = 10x 1 + 14x 2 Máx Z = 10x 1 + 14x 2 + 0s 1 + 0s 2 sujeto a: sujeto a: 4x 1 + 6x 2 ≤ 24 4x 1 + 6x 2 + 1s 1 + 0s 2 = 24 2x 1 + 6x 2 ≤ 20 2x 1 + 6x 2 + 0s 1 + 1s 2 = 20 x 1 , x 2 ≥ 0 x 1 , x 2 , s 1 , s 2 ≥ 0

Inicio: Base (VB’s) VNB’s ss 1 = 24 x 1 = 0 Z = 0 2 = 20^ x 2 = 0

Expresar VB’s y Z en función de VNB (del modelo en forma estándar ) S S 1 = 24 - 4x 1 - 6x 2 Z = 0^2 = 20 - + 10x^ 2x^1 -^ 6x^2 (1) 1 + 14x 2 No estamos sobre el vértice óptimo !Variable que entra a la base es x 2

Variable que sale de la base es:

S 1 = 24 - 6x 2 ≥ 0 x 2 ≤ 4 S 2 = 20 - 6x 2 ≥ 0 x 2 ≤ 3.33 x 2 entra a la base con valor x 2 =

3. 33 ( s 2 = 0 es la variable que sale )