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UNIVERSIDAD DE MURCIA
Departamento de Matem´aticas
Optica y Optometr´^ ´ ıa Res´umenes Curso 2006-
N´umeros y funciones.
LOS N UMEROS REALES.´
Los n´umeros reales se pueden ordenar de la siguiente forma: se dice que a es menor que b si b − a es un n´umero positivo, y lo escribimos:
a < b si b − a es positivo.
Se verifican las siguientes propiedades:
- Si a < b y b < c entonces a < c (propiedad transitiva).
- Si a < b y c < d entonces a + c < b + d.
- Si a < b entonces a + c < b + c.
- Si a < b y c > 0 entonces ac < bc.
- Si a < b y c < 0 entonces ac > bc.
Propiedades similares se tienen para las desigualdades >, ≤ o ≥.
INTERVALOS: Abierto (a, b) = {x : a < x < b}; cerrado [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b}; semiabierto o semicerrado [a, b) = {x : a ≤ x < b}, (a, b] = {x : a < x ≤ b}. Intervalos no acotados (semirrectas) (−∞, b) = {x : x < b}; (−∞, b] = {x : x ≤ b}; (a, ∞) = {x : x > a}; [a, ∞) = {x : x ≥ a} y (inf ty, ∞) = R.
VALOR ABSOLUTO
Se define el valor absoluto de un n´umero real x como: |x| =
x si x ≥ 0 −x si x < 0
Se verifican las propiedades siguientes:
- |x| ≥ 0.
- |x| = | − x|.
- |x + y| ≤ |x| + |y|.
- |xy| = |x||y|
- −|x| ≤ x ≤ |x|.
- |x| ≤ r si, y s´olo si −r ≤ x ≤ r.
- |x| ≥ r si, y s´olo si r ≤ x o x ≤ r.
FUNCIONES
Una funci´on es una correspondencia que asocia a cada elemento x de un conjunto A, denominado dominio, exactamente otro elemento f (x) en un conjunto B. El elemento f (x) se dice que es el valor de la funci´on f en x o la imagen de x mediante f. El conjunto formado por todas las im´agenes f (x) es denominado conjunto imagen. En las definiciones de l´ımites nos quedaremos, pr´acticamente, en una idea intuitiva: Decimos que la funci´on f (x) tiene como l´ımite el n´umero real L por la izquierda (respec. L′ por la derecha), cuando x tiende hacia a siendo x < a (respec. x > a), si f (x) se aproxima a L (recpec. L′) tanto como se desee, con la condici´on de que x est´e lo suficientemente cerca de a. Se escribe
l´ım x→ax<a f (x) = l´ım x→a−^
f (x) = L (respec. l´ım x→ax>a f (x) = l´ım x→a+^
f (x) = L′).
Si existen los dos l´ımites laterales y coinciden, se dice que f (x) tiene l´ımite L cuando x tiende hacia a y escribimos: l´ım x→a f (x) = L.
CONTINUIDAD
Una funci´on f (x) es continua en un punto a si verifica:
- Existe f (a).
- Existe l´ım x→a
f (x) y vale, precisamente f (a).
Si existe l´ım x→a−^
f (x) = f (a) decimos que f es continua en a por la izquierda; y si existe l´ım x→a+^
f (x) = f (a) que lo es por la derecha.
La suma de dos funciones continuas, el producto de un escalar por una funci´on continua, el producto de dos funciones continuas y el cociente de dos funciones continuas (siempre que el denominador no se anule), son funciones continuas.
Teorema del valor intermedio.- Si f es una funci´on continua en [a, b] y k es cualquier valor entre f (a) y f (b), entonces existe, al menos, un n´umero real c ∈ [a, b], tal que f (c) = k.
Teorema de Bolzano.- Si f es una funci´on continua en [a, b] y f (a)f (b) < 0, entonces existe al menos un punto c ∈ [a, b] tal que f (c) = 0.
L´IMITES INFINITOS
Si f es una funci´on tal que dado cualquier n´umero real M > 0 (respec. N < 0), existe un valor de x suficientemente pr´oximo a un punto a tal que f (x) > M (respec. f (x) < N), decimos que el l´ımite de f (x) cuando x tiende hacia a es ∞ (respec. −∞); y se escribe
l´ım x→a
f (x) = ∞, (respec. l´ım x→a
f (x) = −∞ ).
Igual que antes, se puede hablar de l´ımites por la izquierda y por la derecha y escribimos:
l´ım x→a−^
f (x) = ∞, l´ım x→a−^
f (x) = −∞, l´ım x→a+^
f (x) = ∞, l´ım x→a−^
f (x) = −∞.
h(x) = f (x) + g(x) h′(x) = f ′(x) + g′(x)
h(x) = λf (x) (λ ∈ R) h′(x) = λf ′(x)
h(x) = f (x)g(x) h′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)
h(x) = f g^ ((xx)) (g(x) 6 = 0) h′(x) = f^
′(x)g(x)−f (x)g′ (^) (x) [g(x)]^2 h(x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)) h′(x) = f ′(g(x))g′(x)
Una funci´on f es creciente (respec. decreciente) en un punto a si existe un intervalo abierto I que contiene a a y tal que f (x) ≤ f (a) (respec. f (x) ≥ f (a)) si x ∈ I con x < a y f (a) ≤ f (x) (respec. f (a) ≥ f (x)) si x ∈ I con x > a.
Teorema.- Si f es derivable en a, se verifican:
a) Si f ′(a) > 0, entonces f es creciente en a. b) Si f ′(a) < 0, entonces f es decreciente en a.
Una funci´on f (x) tiene en a un m´aximo relativo (respec. m´ınimo) si existe un intervalo abierto I que contiene a a y que verifica que f (x) ≤ f (a) (respec. f (x) ≥ f (a)), para todo x ∈ I. A estos puntos se les llama extremos.
Teorema.-Si f tiene un extremo en a y es derivable en a, entonces f ′(a) = 0.
Teorema.-Si f es derivable dos veces en a y f ′(a) = 0, se verifican:
a) Si f ′′(a) > 0, entonces, f (a) es un m´ınimo relativo. b) Si f ′′(a) < 0, entonces, f (a) es un m´aximo relativo.
Teorema de Rolle.- Sea f una funci´on continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) tal que f (a) = f (b). Entonces existe un punto c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
Teorema del valor medio.-Sea f una funci´on continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Entonces existe un punto c ∈ (a, b) tal que
f (b) − f (a) = f ′(c)(b − a)
