Pr`actica 11, GDC-Grup A, 06/07
Canvi de coordenades. Aplicacions diferenciables
Considerem les seg¨uents tres cartes de l’esfera S={(x, y, z )∈R3:x2+y2+z2= 1}
−→
x:{(u, v)∈R2:u2+v2<1} → S
−→
x(u, v) = (u, v, +p1−u2−v2),
−→
y: ]0,2π[×]−π
2,π
2[→S
−→
y(u, v) = (cos ucos v, sin ucos v, sin v),
−→
zN:R2→S
−→
zN(u, v) = 1
1 + u2+v2(2u, 2v, u2+v2−1).
(1) Calcula els seg¨uents canvis de coordenades: −→
x−1◦−→
y,−→
x−1◦−→
zNi−→
zN−1◦−→
y.
Ajuda:−→
zN−1(x, y, z) = ( x
1−z,y
1−z).
(2) La carta −→
zN´es la inversa de la projecci´o esterogr`afica des del pol nord quan
l’esfera est`a centrada en l’origen de coordenades i quan es pro jecta no sobre un
pla que passa per l’altre pol, sin´o sobre el pla horitzontal que passa pel centre
de l’esfera. Denotem-la ara per −→
zN. Considerem tamb´e, −→
zS, corresponent a la
projecci´o esterogr`afica des del pol sud:
−→
zS:R2→S
−→
zS(u, v) = 1
1 + u2+v2(2u, 2v, 1−u2−v2).
Recordem que ja hem vist que el parell de cartes {−→
zN,−→
zS}defineix un atles de
l’esfera.
Demostra que l’aplicaci´o canvi de coordenades,
−→
zN−1◦−→
zS:R2− {(0,0)} → R2− {(0,0)}
no ´es altra que l’aplicaci´o anomenada inversi´o p= (u, v )→p
||p||2=(u,v)
u2+v2.
(3) Demostra que l’aplicaci´o antipodal, φ:S→S, de l’esfera ´es una aplicaci´o difer-
enciable fent servir aquest atles. (Noteu que l’aplicaci´o antipodal ´es simplement
l’aplicaci´o φ(p) = −p.)
1